Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Билеты / матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2024

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

15. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора.

Утверждение: Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора в окрестности т x0 необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора для этой функции стремился к 0 на этом множестве (в этой окрестности)

1. = 1 + +

+ +

( )

( ) =

0 < < 1

( +1)!

= 0

→∞

( +1)!

= ∑

∞

( (−∞; +∞)) – область сходимости

∞

(−1) 2

Аналогично: = ∑

(2 )!

∞

(−1) 2 +1

= ∑

(2 +1)!

(1 + ) = −

− + (−1) −1

( )

Остаточный член в форме Лагранжа:

( ) = (−1)

, 0 < < 1

(

)

+1 1+

) +1

( )| = |(−1)

(

| <

, [0,1]

( ) → 0,

→ ∞,

[0,1]

Остаточный член в форме Коши:

( ) = (−1) +1

(1− )

(1+ ) +1

[− , 0]

0 < < 1

( )|

= |(−1)

1−

(

) | <

1−

<1, т.к. x <1 минимальный знаменатель

( )

→ 0,

→ ∞

1−

∞

(1 + ) = ∑

(−1)

(−1,1]

- область сходимости степен-

ного ряда

5. Аналогично получим:

∞

( −1) ( − +1)

(1 + ) = 1 + ∑

> 0,

(−1,1) - область сходи-

мости степенного ряда

16. Ортогональные системы функций. Ортогональность основной тригонометрической системы функций.

Опр. Линейное пространство называется бесконечномерным, если в нем существует любое наперед заданное число линейно независимых элементов Опр. Линейное пространство Е называется евклидовым, если , ставится в

соответствие число, называемое скалярным произведением ( , ), которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1) ,	( , ) = ( , )
2) , ,	( + , ) = ( , ) + ( , )
3) ,		( , ) = ( , )
4) ,	( , ) ≥ 0	и ( , ) = 0 ттт,к = 0

Опр. Функция, определенная на [ , ] называется кусочно-непрерывной, если она непрерывна на [ , ], кроме конечного числа точек разрыва I-го рода (устранимый/скачки)

Введем в л.п. всех кусочно-непрерывных на [ , ] функций скалярное произведение следующим образом:

( ), ( )	( , ) = ∫	( ) ( )	(1)

Легко проверить, что при таком скалярном произведении аксиомы 1)-3) выполняются.

Для того, чтобы выполнялась 4) аксиома потребуем, чтобы в точках разрыва

̅̅̅̅̅

= 1, выполнялось условие:

( +0)+( −0)

( ) =

(2)

Тогда получим: ( , ) = ∫ 2( ) ≥ 0

- выполняется ( , ) = ∫ 2( ) = 0

Для каждого сегмента непрерывности

[

, ] - ( ) – непрерывна

−1

2( ) = 0

( ) ≡ 0

(

, )

∫

−1

в частности

( + 0) = 0

и ( − 0) = 0

−1

Эти соотношения выполняются для всех

Тогда в силу (2) ( )

= 0 ( , ) = 0

т.е. ( ) = 0

[ , ]

 = 0

Т.о. пространство кусочно-непрерывных функций на [ , ] с условием (2) в каждой точке разрыва и скалярным произведением (1) является евклидовым пространством.

Во всяком пространстве можно ввести понятие нормы (расстояния).

Об. ‖ ‖ = √( , )

Свойства нормы

1)‖ ‖ ≥ 0 и ‖ ‖ = 0  = 0;

2)‖ ‖ = ‖ ‖;

3)‖ + ‖ ≤ ‖ ‖ + ‖ ‖ – неравенство треугольника.

Опр. Два элемента , называются ортогональными, если ( , ) = 0 Рассмотрим в пространстве кусочно-непрерывных функций на [ , ] произвольную функциональную последовательность 1( ), 2( ), … , ( ), … (3) Опр. Система функций (3) { ( )}∞=1 называется ортогональной на [ , ], если

∫	( ) ( ) = {0,		≠
		> 0,	=

и ортонормированной, если = 1 Примером ортонормированной системы функций в пространстве кусочно-непре-

рывных на [ , ] функций является тригонометрическая система функций:

( ) =

, ( ) =

, …

(4)

√2

√

Проверим, что (4) – ортонормированная система (ОНС):

∫ (

)

2 = 1

−

√2

1+ 2

∫

(

)

∫

(

) =

= 1

√

−

1− 2

∫

(

) =

∫ (

) = 1

√

−

∫

[ ( + ) + ( − ) ] = 0 ,

≠

−

√

2 −

Остальные проверяются аналогично

17. Ряд Фурье по данной ортонормированной системе. Экстремальное свойство частных сумм Фурье. Неравенство Бесселя.

Е – это бесконечное евклидово пространство.

{ }∞

- ОНС

E, k N

Опр. 1 Рядом Фурье элемента f Е по ОНС ∞

назовем ряд вида ∑∞

, в ко-

тором число =( ,

) k N называют коэффициентом Фурье.

Об. Ряд Фурье

∑∞ ( ,

)

Пусть

= ∑

- произвольная частичная сумма ряда Фурье

∑

-произвольная линейная комбинация первых n элементов

Т 3.1 Экстремальное свойство коэффициентов Фурье

Среди всех длин

∑

наименьшее отклонение от элемента E по

норме данного евклидова пространства имеет n-ая частичная сумма ряда

Фурье

(‖ − ‖ − отклонение элемента от )

►‖∑

− ‖ 2= (∑

− , ∑

− ) =

∑

2(( ) = {1})

− 2 ∑

( )+( , ) = ∑

2−2

∑

+ ‖ ‖ 2 =

∑ (

− )2

− ∑

+‖ ‖2 отклонение будет наименьшим при =

◄

Следствие (Тождество Бесселя)

Для и для ОНС

, где

;

‖∑

− ‖

‖ ‖ 2 − ∑

Т 3.2 Неравенство Бесселя

Для и для ОНС {

}

∞, где

справедливо нервенство

∑∞

2 ≤ ‖ ‖2

=>∑∞

2 ≤ ‖ ‖2 ≥ 0

∑

►Из

тождества

Бесселя

2=>

∑∞

ряд

2=> сходится, т.к имеет ограниченную последовательность частич-

ных сумм(Т 1.2 чтобы ряд с положительными членами сходился  чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена)

Переходя к пределу при → ∞ получим неравество Бесселя. ◄

18. Тригонометрический ряд Фурье. Свойство коэффициентов Фурье.

Рассмотрим пространство всех кусочно-непрерывных на [− , ] функции. И в этом пространстве ОНС: Тригонометрическую систему уравнений.


	( ) =			1	;

1	√2
	( ) =	cos					;	(4)

2			√

	( ) =		sin			;

3			√

…

Ряд Фурье по тригонометрической системе (4) произвольной кусочно-непреры- вен [− , ] функция f имеет вид:

∞

cos

̃ cos

+ ∑

(

√2

√

где 0 = ∫

( )

;

√2

−

cos

= ∫

( )

∫

−

√

−

√

Исторически сложилось в теории тригонометрических рядов Фурье своя истина

обозначений.

Тригонометрический ряд Фурье

∑∞

(

cos +

sin ), где

∫

( )

−

∫

( ) cos

(5)

−

∫

( ) sin

−

Замечание: Неравенство Бесселя для тригонометрического ряда Фурье.

‖ ‖2= ∫− 2( )

= √2

;

где k

√

∑∞

2≤ ‖ ‖2

+ ∑∞

( 2

+ 2)

≤ ∫

2( )

−

+ ∑∞

( 2

+ 2) ≤

∫

( ) .

(6)

−

Свойство коэффициентов Фурье.

Из (6) следует, что для любой кусочно-непрерывной функции на [− , ] в силу необходимого условия сходимости числового ряда

∑∞	( 2	+ 2)		2	+ 2	→ 0, → ∞ => {	→ 0,	{	(5)
∑∞	( 2	+ 2)		2	+ 2	→ 0, → ∞ => {	→ 0,	{	→ ∞
=1

lim ∫			( ) cos
→∞ −					= 0				(7)
{					= 0				(7)
lim ∫			( ) sin
→∞ −

19. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье.

Опр. Функция : → называется периодической с периодом Т, если x ; F(x+T)=F(x) – условие периодичности

Замечание:		∫сс+Т ( ) =		∫0 ( )
c+T	0	T		c+T		+
►∫c	F(x)dx= ∫c	F(x)dx+ ∫0	F(x)dx+ ∫T		F(x)dx = \| x\|		= T + E\|0	\| =

∫c0 F(x)dx+ ∫0T F(x)dx+ ∫0c F(E+T)dE = - ∫0c F(x)dx+ ∫0T F(x)dx+ ∫0c F(x)dx = ∫0 ( ) ◄

Следствие: Тригонометрическая с-ма ф-ий ортонормирована на интервале 2π. Опр. Ф. F(x) называется кусочно-гладкой на [a,b], если её первая производная кус. непрерывна на [a,b]

Т 3.3.

Пусть F(x) – непрерывная, кусочно-гладкая на [-π,π] и F(-π)=F(π). Тогда триг ряд Фурье ф F(x) сх равномерно и абсолютно на [-π,π]

►Найдем коэф-ты Фурье ф-ии F’(x) (F’(x) – кус -непрерывна => разложима в триг. ряд Фурье)

′

( )

(

)

(

)

αk =

π ∫−π

= π

[

|−π + | −π

] =kBk , где Bk –

коэф Фурье ф-ии F(x)

′( ) = −

β =

∫−π

|−π ( ) = -kak

, где ak - коэф Фурье ф-ии

F(x)

Т.к. F’(x)- кусочно-непрерыв., то для неё вып. нер-во Бесселя

αо2

∞

(αk2 + β2) ≤

∫π F′(x)2dx

+ ∑

−π

∞

∫ ′( ) =

( )| π = 0 => ∑(α2

+ β2) − сходится

−π

Докажем равномерную сходимость ряда Фурье используя признак Вейерштрасса:

| + b

| ≤ | | + |b

| =

|β |

≤

(

+ β2)

| |

+ 2)

| =

≤

(

∞

∑

– сходится

+ | ≤ |

+ |b

| ≤

+ β

;

∞

∑ 2

+ β2 − сходится

∞

{ =1

о2

По пр Вейштр. триг ряд Фурье

+ ∑ ( +

b ) сходится равномерно и абсолютно◄

20. Теорема о сходимости ряда Фурье в точке.

Т 3.4 О поточечной сходимости

Пусть F(x) – кусоч. непрерывна и в каждой точке х [-π, π] имеет конечные односторонние производные F’(x + 0) и F’(x - 0) (Слева и справа). Тогда ряд Фурье ф. F(x) в каждой точке х [-π, π] сходится и его сумма равна

F(x + 0)+F(x− 0) (А в точках непрерывности F(x))

► Нужно доказать что ( ) → F(x + 0)+F(x− 0)

При n → ∞

x [−π, π]

aо

S(x) =

+ ∑

( + b )

∫ ( )

−π

∫

( )

−π

∫

( )

−π

S(x) =

∫–ππ F(t)dt + ∑k=1n

(∫−ππ F(t)(coskt coskx + sinkt sinkx))dt =

2π

∫π

f(t)(1 + 2 ∑k=1n cosk(t − x)dt) =

∫π F(t)Dn (t − x)dt,

2π

−π

2π −π

где ( − ) = 1 + 2 ∑ cosk(t − x) − Ядро Дирихле(четн 2π периодич)

k=1

Она непрерывна и верно 2π1 ∫−ππ Dn (Е)dЕ = 1; Тогда верно π1 ∫0π Dn (Е)dЕ = 1

sin E

+ 2 ∑k=1n coskЕ sin E

(2n + 1)E

(Е) = 1 + 2 ∑ coskЕ =

sin

k=1

∫π F(t)D

Тогда

( ) =

(t − x)dt = |T = t − x; dT = dt; T [−π − x, π − x]| =

2π

−π

∫π F(T + x)D

(T)dT =

∫0

F(T + x)D (T)dT +

∫π F(T + x)D (T)dT =

2π −π

2π 0

(S−(x) + S+(x)) →

(F(x − 0) + F(x + 0))

2π

Покажем, что

Sn+(x) →

F(x+0)

Sn−(x) →

F(x − 0)

lim

→+0

F(x + 0)

S+(x) →

∫ F(T + x)D

(T)dT −

∫ D (T)dT

2π

sin (2n + 1)T

∫(F(x + T) − F(x + 0))

2π

sin

(

( + ) − ( + 0)

)

= lim (

( + ) − ( + 0)

)

→ +0

( + ) − ( + 0)

= lim (

)

= ′( + 0); Она существует по усл

→ +0

( + )− ( +0)

[0; π], а значит, интегрируема

=> lim

( + )− ( −0)

sin(

2 +1

) = 0

∫−π

→∞

=> S+(x) →

F(x+0)

→ 0

Аналогично

Sn−(x) →

F(x−0)

=> Sn (x) → ( + )− ( +0) 2

21. Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. Комплексная форма ряда Фурье. Ряд Фурье четных и нечетных функций.

1. Пусть >0 - число, ƒ(x)-2 период: удовлетворяет всем условиям теоремы “о поточечной сходимости ряда Фурье” на [- ; ], тогда заменим x на , тогда ƒ( )

станет 2π-периодичной.

[- ; ]→ [-π; π] и по Т.“о поточечной сходимости ряда Фурье” получим

ₒ

∑∞

ƒ(x)→

, где ₒ =

∫

ƒ( ) ,

∫

ƒ( )cos

−

∫

ƒ( )sin

−

ₒ

∑

2. Т.к

∫

…=∫

… для ƒ(x) С[a,b] => ƒ(x)→

−

∫

−2

∫

где ₒ =

ƒ( ) ,

ƒ( )cos

ƒ( )sin

−

3. Комплексный ряд Фурье

По ф. Эйлера: φ = φ + sinφ

x+ − x

x = + sin

}

− x = − sin

x−− x

x+ − x

x−− x

Тогда ƒ(x)→

ₒ

+∑∞

(

) =

ₒ

+∑∞

(

ₒ

∑∞

((

− ) +(

+ ) −)=

ₒ

∑∞

(

−

) +

∑∞

(

) −

Возьмем: =

−

;

ₒ

;

−

Тогда: ƒ(x)→ ₒ+∑∞

+∑∞

− , (∑∞

−

∑−∞

′) =>

−

′=−1

′

ƒ(x)→

∑∞

−∞

−

∫ ƒ(t)( − sin ) =

∫

ƒ(t) −

−

Если ƒ(x) С, 2 период→ƒ(x) = ∑∞

∫

ƒ( ) −

, где =

−∞

−

4. Из формулы для

и следует, что если

ƒ(x)-четная => [- ; ], то = 0

ƒ(x)-нечетная, то

= 0

Таким образом, четная ф-ия разлагается по cos, нечетная по sin.

22. Интеграл Фурье.

Пусть ƒ(x) на каждом отрезке удовлетворяет условиям обеспечения ее разложения в тригоном. ряд Фурье;

Пусть ƒ(x)-абсолютно интегрируема на , т.е. ∫∞

ƒ(x) = Ј<+∞

−∞

Разложим ƒ(x) на [- ; ] в тригоном. ряд Фурье (потом →∞)

ƒ(x)→

ₒ

+∑∞

ₒ =

∫

ƒ( ) ;

∫

ƒ( )

; ,

∫

ƒ( )sin

−

∑∞

=> ƒ(x)→

∫

ƒ( ) +

∫

ƒ( ) (

) =

−

∑∞

(

)

∑∞

(

)

∫

ƒ( ) +

∫

( − ) =

∫

ƒ( ) +

∫

( −

−

)

Теперь →∞

Т.к. ƒ(x)-асб. интегрируема: (∫−∞∞ ƒ(x) = Ј<+∞)

∫−

ƒ( )

∫− | ƒ( )| <Ј<+∞

абс. интегрируема

=> lim

∫

(

)

→∞

−

1 ∑∞

(

)

ƒ(x)=lim

∫

( − )

→∞

−

Введем

, k=1,2,3,…

−

→0, →+∞

−1

ƒ(x)= lim

∑∞

∫

(

)

( − )

→+∞

−

Об. F(λ)=

∫−

ƒ( ) ( − )

ƒ(x)= lim

∑∞

)Δ

– напоминает интегральную сумму

→+∞

∑∞

)Δ

– интегральная сумма

Для ∫0∞

ƒ( ) – свели к интегралу Римана

По определению интеграла Римана:

ƒ(x)=

∫0∞ ∫−∞∞ ƒ( ) ( − ) – интеграл Фурье для ƒ(x)

Традиционное обозначение интеграла Фурье:

∞

(

)

ƒ(x)=∫

( +

) , где

= ( )=

∫

= ( )=

−∞

1 ∫−∞∞ ƒ( )

Т 3.5 О поточечной сходимости

Пусть функция ƒ(x) удовлетворяет след. условиям: 1)абсолютно интегрируема;

2)кусочно-непрерывна на конечном промежутке (имеет конечное число точек разрыва);

3)удовлетворяет в т. x R усл. Гёльдера с показателем (0< <1) ( c>0 ƒ(x + r) − ƒ(x) c )

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Билеты

#
20.12.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
20.12.20248.88 Mб1матан 3 семестр.pdf
#
20.12.202417.53 Mб1Матан 3 семестрр.pdf
#
20.12.20241.22 Mб3матан.pdf
#
20.12.202478.05 Mб1Математический анализ Ф3 Леонов.pdf