Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Билеты / матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2024

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

7. Функциональный ряд. Сходимость и равномерная сходимость функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

a (x)

∞

Опр. Ряд вида ak (x) , где

→

= ≠ будем называть функци-

k 1

ональным рядом.

Опр. Функциональный ряд ∑∞

( ) называется сходящимся в точке

, если

сходится последовательность его частичных сумм в точке

(

( ) = ∑

( ))

(Или. Если сходится соответствующий числовой ряд ∑∞

(

))

Опр. Точка 0 в этом случае называется точкой сходимости функционального ряда, а множество всех точек сходимости называется областью сходимости функционального ряда.

Об.

В области D тем самым определена функция ( ): ( )					[ , ]	( ), → ∞, которая
В области D тем самым определена функция ( ): ( )					→	( ), → ∞, которая

называется суммой функционального ряда
Таким	образом,		∑∞
Таким	образом,		∑∞	( ) = ( ), ( ) → ( ), → ∞
			=1			∑∞
( ) =			\| ( ) − ( )\| = 0,			∑∞	( ) =
→∞	( ),	→∞			→∞	= +1

0, => получили утверждение

Утверждение: сходимость функционального ряда в области сходимости D эквивалентно тому, что n-ый остаток ряда поточечно стремится к 0 при → ∞ в

области D

Опр. Функциональный ряд ∑∞

( ) называется равномерно сходящимся в обла-

сти

т.е.

( )

= ∑

( ) ( ), → ∞ или > 0

( ): >

|∑∞

( )| <

= +1

Т 2.5 Критерий Коши равномерной сходимости

Функциональный ряд ∑∞

( ) сходится равномерно на G  > 0

( ): >

|∑ +

( )| <

/*сразу для всех G*/

= +1

►Пусть

( )

= ∑

( ). По определению равномерная сходимость функцио-

нального ряда ∑

( )

в G равносильна равномерной сходимости {

( )} в G.

По критерию Коши для ф.п. {

( )} равномерно сходится на G  > 0

( ): >

( ) −

( )|

< ,

( ) − ( )

∑ +

( ) => |∑ +

( )| < ◄

= +1

Т 2.6 Признак Вейерштрасса

Пусть задан функциональный ряд ∑∞

( ) и числовой ряд ∑∞

, > 0 и

( )| ≤

пусть |

Тогда, если ряд

∑∞

сходится, то ∑∞

( ) сходится равномерно на G.

►|∑ +

( )| ≤

∑ +

( )| ≤ ∑ +

. Т.к. ряд ∑∞

– сходится по

= +1

условию, то по критерию Коши сходимости числового ряда > 0 0: > 0

\|∑ +		\| <
= +1

Следовательно, при этих же условиях \|∑ +					( )\| < => по Т 2.5
∑∞				= +1
∑∞		( ) сходится равномерно◄
=1
	Замечание 1: Функциональный ряд ∑∞				( ) сходится абсолютно на G, т.к.
\|∑ +				=1
\|∑ +			\|	( )\|\| <
= +1
	Замечание 2: В признаке Вейерштрасса ряд ∑∞					называют мажорантным
					=1

рядом. В качестве мажорантного ряда можно использовать							= sup\|	( )\| на G

	Замечание 3: Признак Вейерштрасса достаточный, но не необходимый!
				∞	(−1)
					(−1)
	Пример: ∑					[0, +∞]
	Пример: ∑					[0, +∞]
	(−1)			=1	+
sup\|	(−1)	\| =	1	− расходящийся гармонический ряд
sup\|	+	\| =		− расходящийся гармонический ряд
	+

∑1 – расходится, а функциональный ряд сходится равномерно на [0, +∞]

8. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Признак Абеля

(без доказательства).

Т 2.7 Признак Дирихле равномерной сходимости

Функциональный ряд

∑∞

( ) ( )

равномерно сходится на , если

выполнены следующие условия:

∑

1)Последовательность частичных сумм

( ) =

( )

равномерно

ограничена на G в совокупности, т.е. > 0: |

( )|

≤ , ;

2)Функциональная последовательность {

( )} монотонна

;

3) { ( )} 0, k → ∞.

►Преобразование Абеля

.∑ +

( )

( ) =

∑ +

( −

) = (

−

)

( −

= +1

−1

)

+ + (

−

)

= −

(

−

)

+−1

(

−

)

= =

(

−

) +

− +

+−1

∑ +−1

( −

= +1

Используя условия 1) и 2) Т 2.7, получим |∑∞

( )

( )|≤|

( )

( )| +

| ( )

( )|

+ |

∑ + −1 ( −

)| ≤ 4 {sup|

( )|, sup|

( )|}

= +1

Из условия 3) Т 2.7 => > 0

= ( ): >

( )| <

=> >

( ): >

| ∑ +

( )

( )| < 4

= => по Кри-

= +1

терию Коши ∑∞

( )

( ) сходится равномерно на G◄

Замечание: В случае, когда и постоянные, Т 2.7 превращается в признак Дирихле сходимости числовых рядов. Аналогично и для признака Абеля.

Т 2.8 Признак Абеля равномерной сходимости

Функциональный ряд ∑∞=1 ( ) ( ) сходится равномерно на G, если:

1)∑∞=1 ( ) сходится равномерно на G;

2)Функциональная последовательность { ( )} – монотонна и рав-

номерно ограничена(т.е. > 0: | ( )| ≤ )

►без док-ва ◄

9. Теоремы о непрерывности предельной функции для равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося функционального ряда.

Т 2.2 О непрерывности предельной функции для равномерно сходящейся последовательности

	Пусть	(x) [ , ], n N; (x) f(x) на [a,b], n→∞

	Тогда f(x) C[a, b]
►Пусть [ , ] и + [ , ]:
	\| ( + ) − ( )\| = \| ( + ) − ( + ) + ( + ) −					( ) + ( ) − ( )\|

		≤ \| ( + ) − ( + )\| +		\| ( + ) − ( )\| + \| ( ) − ( )\|

Выберем произвольно > 0 для него				( ): >	\| ( ) − ( )\| <
			0	0
	[ , ]
3	[ , ]
3
И \| ( + ) − ( + )\| <			+ [ , ](т. к. по условию (x) f(x))
И \| ( + ) − ( + )\| <			+ [ , ](т. к. по условию (x) f(x))
		3
		3

Используем непрерывность функции:

При фиксированном > 0( ) в силу непрерывности функции (x) на [a,b]

> 0 ( ) > 0: < | (x + h) − (x)| < 3

Таким образом, > 0 ( ) > 0 | ( + ) − ( )| < 3 + 3 + 3 = , то есть( ) [ , ] ◄Ж

Т 2.9 О непрерывности суммы равномерно сходящегося функционального ряда Пусть

1)(x) C[a, b] N

2)Функциональный ряд ∑∞=1 ( ) сходится равномерно на [a, b] к

S(x)

Тогда ( ) [ , ]

► 1) ( ) [ , ] Sn(x)= ∑=1 ( ) непрер. на [a,b] для n N

2) (по опр. ф. ряда) Sn(x) (равномерно сходится на [a, b] к) S(x), n→∞по Т.2.2 ( ) [ , ] ◄

10. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда).

Т 2.3 Предельный переход под знаком интеграла

Пусть 1) (x) C[a, b], n N;

2) (x) f(x) на [a,b], n→∞

Тогда ∫ 0 ( ) ∫ 0 ( ) , n → ∞, x0 [a, b]

►Т.к. (x) C[a, b] и (x) f(x) на [a,b] по Т о непрер-ти предельной ф-ции для равн. сх-ся посл-ти f(x) C[a, b] интегрируема по Риману на [a, b]

Т.к. (x) C[a, b], n N; (x) (равномерно сходится на [a, b]) к f(x), n→∞> 0 0( ): > 0 | (x)-f(x)|<−

Оценим разность: \| ∫						( ) − ∫ ( ) \| = \| ∫ [ ( ) − ( )] \|≤
				0								0		0
∫ \|		( ) − ( )\| <					\| − \| ≤ , [ , ]
∫ \|		( ) − ( )\| <					\| − \| ≤ , [ , ]
0					−					0				0
Таким образом, > 0									=		(	)					(	)
Таким образом, > 0									=			: > [ , ] \| ∫						−
								0		0				0		0
∫	(		)	\| < , т.е. ∫				(	)	∫			(	)		[a, b]◄
∫				\| < , т.е. ∫						∫				, n → ∞, x	0	[a, b]◄
0				0								0			0

Т 2.10 О почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда.

Пусть

1)(x) C[a, b] N

2)Функциональный ряд ∑∞=1 ( ) сходится равномерно на [a, b] к S(x)

Тогда , 0 [ , ]

∫

(

)

∫

∑∞

(

)

∑∞

∫

(

)

, причем последний в фор-

=1 0

муле ряд сходится равномерно.

►1) Sn(x)= ∑

( ) [ , ]

2) Sn(x) (равномерно сходится на [a, b]) к S(x), n→∞

по Т 2.3 о предельном переходе под знаком интергала ∫

( )

∫

(

)

∫

∑

(

)

∑

∫

(

)

(

)

, n → ∞

, n → ∞ т.е.

∫

lim

∑

∫

(

)

= ∫

(

)

→∞

∫

∑∞

(

)

∑∞

∫

(

)

◄

11. Предельный переход под знаком производной. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.

Предельный переход под знаком производной.

Пусть: 1)

1 [ , ]

{

( )}сходится хотя бы при 1

[ , ]

{ ′( )} ( ), → ∞

[ , ]

Тогда: 1) { ( )}

( ), 1[ , ]

2) ′( ) = ( lim ( ))′ = lim ′( ) = ( )

→∞

►Из сходимости числовой последовательности

( ) (2)и равномерной

сходимости функциональной последовательности{ ′( )} на [ , ] следует:

> 0 0( ) > 0 [ , ]

(

)

−

( )| <

(1)

| ′

( ) − ′( )| <

2( − )

Пусть [ , ] произв. Тогда по т. Лагранжа ( ) − ( )

= ′( )( − )

( )

(

)

( , )

для ф − ии

−

( )) = ( ′

′( ))( − )

(

( ) − ( )) − (

( ) −

( )

−

оцениваем по модулю |

( ) − ( )| ≤ |

(

)

−

(

)| +

′

( ) − ′( )|

| − | ≤

( − ) = для любого x включая

2( − )

[ , ]

по критерию Коши равномерной сходимости ( )

( ), → ∞

Т. к. ( ) 1[ , ]

′

( )

[ , ]

Т. к. ′( )

[ , ]

( ) ( ) [ , ]

∫

Тогда lim

′( ) = ∫

(lim ′( )) = ∫ ( )

→∞

(∫

′(

)

(

)

−

(

)

lim

(

)

−

(

)

= ∫

(

)

→∞

Переходя к пределу при → ∞ получим ( ) − ( 0) = ∫ ( ) ( )

Т. к. ( ) [ , ] то ∫ 0

( ) [ , ]

Т.о. ( ) 1[ , ]

Дифференцируем равенство (*) получим:

′( ) = (∫ 0 ( ) )′ = ( ) ◄

Т2.11 О почленном дифференцировании. Пусть:

1.( ) 1[ , ], ;

2.∑∞=1 ( ) сходится хотя бы в 1 точке 0 [ , ];

3.∑∞=1 ′ ( ) сходится равномерно на [ , ].

Тогда

(∑∞

( ) )′ =

∑∞

′ ( )

∑∞

′

( ) сходится равномерно на [a,b]

►1)=>

( )

= ∑

( )

[ , ]

2)=> { ( )}

сходится в точке [a,b]

[ , ]

′

3)=>

( ) =

∑

( )

[ , ]

тогда из 1,2,3 следует, что

( )

S(x) где S(x) C’[a,b] и

′

( ) = (lim

( ))′ =

lim

′

( )

( ))’=lim

′

( )

= ( ) или (lim

−>∞

→∞

(∑∞

( ))’=∑∞ ′ ( ) ◄

12. Степенные ряды. Формула Коши - Адамара. Радиус и интервал сходимости степенного ряда.

Опр. Функциональный

ряд

вида

∑∞

( − ) =

+ ( − )1 + ( −

+ где

(n = 1,2,3. ..) называется степенным рядом. Числа

называ-

ются коэффициентами степенного ряда, а 0 - центр степенного ряда.

∑∞

Замечание: Т.к. заменой −

= Степенной ряд

сводится к

∑∞

дальнейшем будем рассм ряд

Т 2.12

Пусть задан степенной ряд

∑∞

и число

lim

√| |

Формула Коши−Адамара

Тогда:

1)| | < степенной ряд сходится абсолютно;

2)| | > степенной ряд расходится.

отметим, что при j=0 мы считаем R→ ∞ т.к. ряд сходится абсолютно на всей числовой оси. При j=+∞ R=0 Степенной ряд сходится в единственной точке х=0

► Фиксируем x: | | < =

0 ≤ ≤ +∞ и берём числовой ряд ∑∞

| | =

∑∞

|| | = lim| | |

| =

|| | . Применяем к нему признак коши = lim √|

| |lim | | = | | √

Если = | | < 1 то ряд сходится абсолютно |x|< 1 = или x (-R,R) - сходится аб-

солютно

Если = | | > 1 то расходится=>при x (-∞,R) и (R,+∞) ряд расходится ◄ Таким образом R - радиус сходимости, а (-R,R) - интервал сходимости

Замечание: Формула Коши-Адамара не даёт ответа, как ведёт себя степенной ряд на границе радиуса сходимости

13. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства его суммы. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда.

Т 2.13
Степенной ряд ∑∞	xn	сходится равномерно на замкнутом мн-ве
=0
(−R, R), где R-радиус сходимости, R>0
► Пусть G (R,R) - замкнутое мн-во. Тогда (0, ): [− , ] (− , ) и G
[− , ]
Док-м, что степенной ряд ∑∞		xn сх-ся равномерно на [− , ]. Тогда он будет
	=0
равномерно сх-ся на (−R, R)

Так как (0, ), то в точке x= степ.ряд сх-ся абсолютно по Т 2.12 (сх-ся абсо-

лютно при |x|<R). Т.е. сх-ся числовой ряд ∑∞=0 | n |=∑∞=0 | | . Но sup[-α,α] |anxn|= sup[-α,α] |an ||xn|=|an| αn . Сл-но по признаку Вейерштрасса равн. сх-ти степ.ряд рав-

номерно сх-я на [-α,α], следовательно на G ◄

Замечание: На интервальной сх-ти (-R,R) степ.ряд ∑∞=0 xn может сх-я и не равномерно.

Пример: ∑∞n=0 xn (-1,1)

– сходится неравномерно, радиус сх-ти 1.

Однако, если на концах интервала ряд сх-ся, то имеет место следующая теорема.

Т2.14

1)Если ∑∞=0 хn сх-ся при x = R , то он сх-ся равномерно на [0,R];

2)Если ∑∞=0 xn сх-ся при x= - R, то он сх-ся равномерно на [-R,0];

3)Если ∑∞=0 xn сх-ся при x= ± R, то он сх-ся равномерно на [-R,R]; Положим ∑∞=0 n0xn R-радиус сходимости

►Самостоятельно по признаку Вейерштрасса (как в предыдущей)◄

Т2.15 О непрерывности суммы степенного ряда

Сумма степенного ряда S(x)= ∑∞	xn	непрерывна x (-R,R) R>0, а если
=0

ст.ряд сходится в каком-либо из концов интервала cх-ти x=±R, то S(x) непрерывна и на этом конце.

► Следует из равномерной сх-ти ст. ряда на соотв. мн-ве и Т. о непрерыности суммы равн. сх-ся функц. ряда ◄

Т 2.16 О почленном интегрировании ст. ряда

Ст. ряд ∑∞=0 xn = S(x) с радиусом сх-ти R>0 можно почленно интегрировать на отрезке [α,β] (-R,R) и справедливо:

∑∞

+1− +1

∫

S(x)dx =

∫

(

)

n=0

В частности при β=x (-R,R) и α=0 ∫

( ) =

∑∞

► Следует из равн.сх-ти ст ряда на [α,β] (-R,R) Т 2.13 и теоремы о почленном интегр. равн. сх-ся ф. ряда Т 2.10 ◄

Т 2.17 О почленном дифференцировании ст. ряда

Ст.ряд S(x)= ∑∞=0 xn можно почленно дифференцировать во всех точках интервала сх-ти (-R,R) и справедливо:

S’(x)= ∑∞	(	xn )'= ∑∞			−1,
=0		=1

причем последний ряд также является степенным и имеет тот же радиус сх-ти R`=R.

► Док-во следует из теоремы о почленном дифф. ф. р. Т 2.11

Докажем, что R`=R;

R`=

lim

√( +1) +1

∑∞

−1 = ∑∞

→∞

( + 1)

=1  R`=R ◄

lim

+ 1= lim

→∞

√

→∞

√

Следствие: Степенной ряд внутри его интервала сх-ти (-R,R) можно дифф. сколько угодно раз. Ряд, полученно n-кратным почленным дифференцированием исход. степ. ряд имеет тот же радиус сх-ти, что и исходный ряд.

14. Разложение функций в степенные ряды.

Опр. Говорят, что ф-ция f(x) на (-R,R) (мн-ве х) может быть разложена в степенной ряд, если сходящийся к ф-ции f(x) степенной ряд на (-R,R)

Т 2.18

Для того, чтобы ф-ция f(x) могла быть разложена в степенной ряд на (-R,R) необходимо, чтобы эта ф-ция имела на (-R,R) непрерывные производные порядка.

Об. f ∞(-R,R);

► По Т 2.17 о почленном дифф-нии ст. ряда степенной ряд внутри его интервала сх-ти можно почленно дифференцировать сколько угодно раз, причем все полученные ряды сходятся внутри того же интервала. Но тогда суммы рядов, полученных n-кратным дифференцированием по Т 2. 15 О непрерывности суммы степенного ряда является непрерывными ф-ями внутри своих интервалов сходимости, а следовательно ∞(-R,R) n N ◄

Т 2.19

Если ф-ция f(x) может быть разложена на интервале (-R,R) в степенной ряд, то лишь единственным образом.

► Пусть f(x)= ∑∞=0 xn . Продифф. Этот ряд почленно n раз (по Т 2.17 о почленном

дифф-нии ст. ряда			это можно делать внутри (-R,R))
( ) = ! +				( + 1)! + …
		+1				(0)
Отсюда при x=0  fn(0)=ann!  an =						(0)		(1)
Отсюда при x=0  fn(0)=ann!  an =						!		(1)
Т.о коэффициент ст.ряда ∑∞						!
Т.о коэффициент ст.ряда ∑∞					xn , в кот. может быть разложена наша ф-ция f(x)
				=0
однозначно определяются ф-ми (1) ◄
Замечание: Для степенного ряда общего вида ∑∞								(x-x0)n соответственно
	( )						=0
	( )
получ. an =	0							(2)
получ. an =	!							(2)

Пусть ф-ия f( ) ∞(-R,R);

Опр. Степенной ряд ∑∞=0 (x-x0)n, коэфф. Которого опр. формулой (2) называется рядом Тейлора

Утверждение: Если f(x) может быть разложено в окрестности т. Х0 в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора ф-ции f(x).

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Билеты

#
20.12.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
20.12.20248.88 Mб1матан 3 семестр.pdf
#
20.12.202417.53 Mб1Матан 3 семестрр.pdf
#
20.12.20241.22 Mб3матан.pdf
#
20.12.202478.05 Mб1Математический анализ Ф3 Леонов.pdf