Добавил:

okley Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

Векторный и тензорный анализ

Файл:

Билеты / матан

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

20.12.2024

Размер:

1.22 Mб

Скачать

☆

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.Понятие числового ряда. Сходящийся числовой ряд, сумма ряда. Критерий Коши

сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда. .......		3
2.	Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. .........................	5
3.	Признаки сходимости Коши и Даламбера...............................................................	6

4. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена. Сходимость обобщенного

гармонического ряда................................................................................................................		7
5.	Абс. и усл. сходящиеся ряды. Признаки Дирихле и Абеля. Ряд Лейбница.		8
6.	Функц. последовательности. Поточечная и равномерная сходимость ф.п.
Критерий Коши равномерной сходимости...............................................................		10
7.	Функциональный ряд. Сходимость	и равномерная сходимость


функционального	ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости
функционального ряда. .......................................................................................................		11

8. Признак Дирихле равномерной сходимости функционального ряда. Признак

Абеля(без доказательства)................................................................................................

9. Теоремы о непрерывности предельной функции для равномерно сходящейся последовательности и суммы равномерно сходящегося функционального ряда.

............................................................................................................................................................14

10. Предельный переход под знаком интеграла. Теорема о почленном интегрировании равномерно сходящегося функционального ряда).......15

11.Предельный переход под знаком производной. Теорема о почленном дифференцировании равномерно сходящегося функционального ряда.16

12.Степенные ряды. Формула Коши - Адамара. Радиус и интервал сходимости

степенного ряда. ......................................................................................................................

13. Равномерная сходимость степенного ряда. Свойства его суммы. Теоремы о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда....17

14.	Разложение функций в степенные ряды............................................................	20
15.	Разложение элементарных функций в ряд Тейлора. ..................................	21

16.Ортогональные системы функций. Ортогональность основной

тригонометрической системы функций....................................................................		21
17.	Ряд Фурье по данной ортонормированной системе. Экстремальное свойство
частных сумм Фурье. Неравенство Бесселя..............................................................		24
18.	Тригонометрический ряд Фурье. Свойство коэффициентов Фурье...	25
19.	Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. ...............	26
20.	Теорема о сходимости ряда Фурье в точке........................................................	27
21.	Разложение в ряд Фурье функции с произвольным периодом. Комплексная
форма ряда Фурье. Ряд Фурье четных и нечетных функций..........................		29
22.	Интеграл Фурье.................................................................................................................	30

23.	Лемма Римана ................................................	Ошибка! Закладка не определена.
24.	Теорема о поточечной сходимости интеграла Фурье.................................		32
25.Интеграл Фурье в комплексной форме. Преобразование Фурье...........			33
26. Измеримые по Жордану множества. Множествомеры нуль в смысле Жордана.
Мера Жордана измеримого множества. .....................................................................			34
27.	Определение кратного интеграла по измеримому множеству. Свойства
кратных интегралов. .............................................................................................................			35
28.	Суммы Дарбу. Критерий интегрируемости Дарбу. Классы интегрируемых
функций. .......................................................................................................................................			37
29.	Теорема Фубини ...............................................................................................................		39
30.	Замена переменных в кратном интеграле. Полярные, цилиндрические и
сферические координаты...................................................................................................			41
31.	Криволинейный интеграл I рода и его свойства. Его вычисление. ....		43
32.	Криволинейный интеграл II рода. Его вычисление.....................................		45
33.	Формула Грина. .................................................................................................................		47

34.Понятие поверхности. Площадь поверхности. Вычисление площади

поверхности с помощью двойного интеграла. .......................................................

35.Поверхностные интегралы первого и второго рода и их вычисление.51

36.Понятие скалярного и векторного полей. Градиент, дивергенция, ротор и их

свойства. .......................................................................................................................................

1.Понятие числового ряда. Сходящийся числовой ряд, сумма ряда. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости ряда.

Рассмотрим

произвольную

числовую

последовательность

{

}∞

, , … , , … ( , )

1 2

и формально составим из ее членов сумму

+ … + +. ..

(1)

Опр. Выражение (1) обозначают символом ∑∞

и называют рядом (числовым

{ })

рядом). При этом отдельные слагаемые (элементы последовательности

называются членами ряда.

– k-тый член ряда ∑∞

∑

Опр. Сумму

называют n-ой частичной суммой ряда.

Таким образом, по определению:

= ;

; … ;

= +

+ … +

1 2

; …

Таким образом каждому ряду ∑∞=1 однозначно соответствует последовательность его частичных сумм { }∞=1. Поэтому можно сказать, что под рядом подразумевается упорядоченная пара последовательностей { } и { }, связанные соот-

ношением ∑ =1 = .

Опр. Ряд ∑∞=1 называется сходящимся, если сходится последовательность его частичных сумм. Ряд ∑∞=1 называется расходящимся, если { } расходится.

Опр. Если ряд ∑∞=1 сходится, то предел = lim называется суммой ряда. В

→∞

этом и только в этом смысле мы будем понимать запись ∑∞=1 = .

Отметим простые свойства ряда, непосредственно вытекающие из определения:

Свойство 1: если ≠ 0, то ряд ∑∞

сходится тогда и только тогда, когда

сходится ряд ∑∞

∞

►Обозначим частичные суммы рядов ∑

и ∑

и и

соответственно

тогда

и только тогда,

когда

учтем, что

=> lim существует

→∞

= lim ◄

lim ( lim

→∞

Свойство 2: изменение конечного числа членов ряда, отбрасывание конечного числа членов ряда, добавление к ряду конечного числа членов не влияют на сходимость или расходимость этого ряда.

►Следует из того, что в результате перечисленных операций все частичные суммы, начиная с некоторого номера, изменяются на одно и то же число .◄

Главный вопрос теории рядов: вопрос об их сходимости.

Т 1.1 Критерий Коши сходимости числового ряда

Для того чтобы ряд ∑∞ сходился, необходимо и достаточно, чтобы >

( ): > |

∑ +

| < .

= +1

►По определению ряд ∑∞

сходится тогда и только тогда, когда сходится по-

следовательность { } его частичных сумм  последовательность {

} сходится

по критерию Коши тогда и только тогда, когда {

} − фундаментальная, т. е.: >

− = ∑ +

0 =

( ) > 0: > |

− | < ,

но

−

∑

= ∑ +

.◄

= +1

Следствие: необходимый признак сходимости

Для сходимости ряда ∑∞

необходимо, чтобы последовательность

{

}

была бесконечно малой. Т. е., если ∑∞

– сходится, то lim

= 0.

→∞

►Пусть ∑∞

сходится => по Т 1.1 > 0 : > | ∑ +

| < . В

= +1

частности при = 1 |

| < . Таким образом, > 0 ̃ =

+ 1: > ̃|

 lim = 0. ◄

→∞

Пример 1

Ряд ∑∞=1 −1 = 1 + + 2+. . . (2) называется суммой бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем на сходимость: при | | ≥ 1 ряд расходится, так как не

выполняется

необходимый

признак

lim −1 ≠ 0.

При

| | < 1

= 1 +

→∞

(1− )

+. . . + −1 =

lim

= lim

=> так как предел существует, то по

1−

→∞

1−

опр. ряд (2) сходится. Итак, ряд (2) сходится при | | < 1.

Пример 2

Ряд ∑∞=1

= 1 +

+. . . называется гармоническим рядом. Необходимый при-

знак lim

= 0 выполняется, но гармонический ряд расходится. Докажем с помо-

→∞

> : | ∑ +

щью критерия Коши: > 0

| ≥ .

= +1

1 (>

)

1 (>

)

1 1

Пусть = , =

; | ∑ = +1

| = |

+ +

| >

. Итак, гармонический ряд ∑∞=1

расходится.

2.Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения.

Рассмотрим ряды с неотрицательными членами. Так как все члены ряда ∑∞=1 неотрицательные, то последовательность частичных сумм является неубывающей 1 ≤ 2 ≤. . . ≤ ≤. .. . Отсюда сразу следует:

Т 1.2 Для того чтобы ряд ∑∞=1 ( ≥ 0) сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм { } была ограничена.

►

=> Пусть ∑∞=1 сходится => (по определению) { } – сходится => { } – ограничена.

<= { } – ограничена + { } – неубывающая => { } – сходится.◄

Признаки сравнения

Т 1.3 Теорема сравнения Пусть ∑∞=1 и ∑∞=1 – два ряда с неотрицательными членами, и пусть

≤ (3). Тогда из сходимости ∑∞=1 следует сходимость ∑∞=1 , а из расходимости ∑∞=1 следует расходимость ∑∞=1 .

►Обозначим частичные суммы рядов ∑∞=1 и ∑∞=1 соответственно и . Из неравенства (3) => ≤ . Но тогда из ограниченности { } следует ограниченность { } и, наоборот, из неограниченности { } следует неограниченность { }. Тогда в силу Т 1.2 Т 1.3 доказана. ◄

Замечание: в силу св-ва 2 можно потребовать, чтобы в Т 1.3 неравенство (3) выполнялось, начиная с некоторого номера.

Т 1.4 Предельная форма признака сравнения Пусть последовательности { } и { } удовлетворяют условиям:

1) ≥ 0, > 0;

2) существует конечный предел lim = ≠ 0

→∞

Тогда ряды ∑∞=1 и ∑∞=1 сходятся или расходятся одновременно. ( =( ), = ( ), → ∞, одного порядка малости)

►По условию 2) Т 1.4 > 0 0: > 0 − < < + (пусть < ) => начи-

ная с некоторого номера < ( + ) . Тогда по Т 1.3 и свойству 1 из сходимости ∑∞=1 следует сходимость ∑∞=1 , а из расходимости ∑∞=1 следует расходи-

мость ∑∞=1 .

Аналогично ( − ) < по Т 1.3 и св-ву 1 из сходимости ∑∞=1 следует сходимость ∑∞=1 , а из расходимости ∑∞=1 следует расходимость ∑∞=1 . Таким об-

разом, ряды ∑∞=1 и ∑∞=1 сходятся или расходятся одновременно.◄

3. Признаки сходимости Коши и Даламбера.
Т 1.5. Признак Коши.
Пусть	ряд	∑∞	ряд	с	неотрицательными	членами
̅̅̅̅̅		=1
̅̅̅̅̅
и =	√
→∞	√

Тогда справедливо:

1)если α<1, то ряд сходится

2)если α>1, то ряд расходится. ►Рассмотрим случай 1)

Тогда можно выбрать (по 1ой аксиоме (аксиоме полноты)) число R: < < 1.

Так как - верхний предел в соответствии с определением верхнего предела

найдется такой номер 0 : > 0

√ <q

То при k>

< ,

а т. к.

∑∞

сходится при |q|<1, то

∑∞

сходится по

Т.1.3

1) α<1

доказано

2) α>1

т.к. α>1

α – частный верхний предел

подпоследовательность

{

√

} :

lim √

= α > 1

начиная с некоторого номера

→∞

√

> 1 то есть начиная с некоторого номера

> 1, а это

значит, что не будет выполняться необходимый признак сходимости:

lim α

= 0

при α>1 ряд расходится. ◄

→∞

Замечание: При α=1 признак Коши не дает ответа.

Т 1.6. Признак Даламбера.

Если для ряда ∑∞

( > 0)

lim |

| = , тогда:

→∞

1)при α<1 ряд сходится

2)при α>1 ряд расходится.

►

1) α<1

< < 1.

Фиксируем . Тогда по определению предела 0:

или

< . Т.к. конечное число членов ряда не влияют на

сходимость, будем считать, что

<q*

< ,

< < 2,

q<1

Но ряд

∑∞=1

при < 1 сходится (пример 2:

∑∞=1

расходится)

Постоянная 1 не влияет на сходимость

По признаку сравнения ряд ∑∞

сходится.

2) α>1. Тогда с некоторого номера

> 1 или

> >0, т.е. не выполняется необходимый признак lim α

= 0

→∞

ряд ∑∞

- расходится. ◄

4. Интегральный признак сходимости Коши-Маклорена. Сходимость обобщенного гармонического ряда.

Т 1.7. Интегральный признак Коши-Маклорена

Пусть

функция

f(x)

неотрицательная

и не

возрастает

всюду на [m,

+∞), где - произвольное фиксированное число.

Тогда числовой ряд ∑∞=1 ( ) сходится тогда и только тогда, когда сходится

последовательность

=∫ ( )

►Пусть k - номер такой, что k>=m+1, а x - значение из отрезка [k-1, k].

(k-1<=x<=k). Так как f(x) не возрастает на указанном отрезке, то

x [k-1, k] справедливо f(k)<=f(x)<=f(k-1)

f(x) – ограничена и монотонна f(x) – интегрируема на [k-1, k].

∫ −1 ( ) ∫ −1 ( ) ≤ ∫ −1 ( − 1)

f(k) ∫ −1 ( ) ≤ f(k-1)

(

)

k=m+1:

f(m+1) ∫

≤ f(m)

k=m+2:

f(m+2) ∫ +1+2 ( ) ≤f(m+1)

…

f(n)≤ ∫ −1 ( ) ≤ f(n-1)

k=n:

Просуммируем эти неравенства:

∑

(

)

≤ ∫

(

)

∑ −1

( ), (

∫

(

)

= +1

≤

= )

Об. =∑

( )

{ }, { } -f(m)<=

(*)

−1

Так как

{ }

− неубывающая, то для сходимости

{ }

необходимо

и достаточно ее ограничить.

Для сходимости ряда

∑∞

( )

необходимо и достаточно ограничить { } (ча-

стичная сумма) Т 1.2.

А из (*) { } ограничена тогда и только тогда, когда { } − ограничена <=>

{ } и { }

сходятся или расходятся одновременно. ◄

Замечание: ∑∞=1 ( ) и ∫+∞ ( ) сх. или расх. одновременно.

Пример 1. Обобщенный гармонический ряд. ∑∞

(α R)

k=1

1) α ≤ 0 не выполняется необходимый признак сходимости

( lim

=0) , то есть ряд расходится.

Ответ: Обобщенный гармониче-

k→∞ k α

2) α > 0

ский ряд

∑k=1∞

сходится при

Применим Т 1.7 при m=1.

α > 0.

Произвольный числ. ряд

∞

≠ 0

∑k=1 k α

∫1 x α

lim |

| =

→∞

x−α+1

1−α−1

Тогда если α<1, то ряд сходится

= ∫

α ≠ 1

1n=

абсолютно, если

α>1 — расхо-

−α+1

1−α

1 x α

α = 1 lnx 1n= ln(n)

дится.

lim

существует при

α > 1 и не существует при 0 < α ≤ 1

→∞

5. Абс. и усл. сходящиеся ряды. Признаки Дирихле и Абеля. Ряд Лейбница.

Опр 1. Числовой ряд ∑∞=1 наз. абсолютно сходящимся, если ряд ∑∞=1| | сходися.

Т 1.8

Из сходимости ряда ∑∞=1| | следует сходимость ряда ∑∞=1

►Т.к. ∑∞=1| | по крит. Коши > 0 0 > 0 |∑ =+ +1| || < , а т.к. |∑ =+ +1 | ≤ ∑ =+ +1| | по крит. Коши для ∑∞=1 этот ряд сходится. ◄

Опр 2. Числовой ряд ∑∞

наз. условно сх-ся,

если ряд ∑∞

сх-ся, а ∑∞ |

расх.

Для установления расходимости рядов с членами знака можно применить

признаки Даламбера и Коши.

Т 1.5’ Признак Коши.

Пусть ряд ∑∞=1 произвольный числ. ряд и = lim

√

→∞

Тогда если α<1, то ряд сходится абсолютно, если α>1 — расходится.

Т 1.6’ Признак Даламбера.

Пусть ряд ∑∞

произвольный числ. ряд

≠ 0

lim |

| =

→∞

Тогда если α<1, то ряд сходится абсолютно,

если α>1 — расходится.

Условная сходимость?

Т 1.9 Признак Дирихле.

Для сходимости ряда

∑∞

достаточно, чтобы выполнялись след. уло-

вия:

1) Пос-сть частичных сумм

∑

ограничена ( > 0 | |

≤

);

2) Пос-сть {bk} монотонна и lim

= 0.

→∞

►Док-во приводится для равн. сход-сти. функц. рядов. Преобразования Абеля. Условия для функц. рядов: 1) такое же; 2) Функц. пос-сть {bk(x)} монот. ;

{ ( )}

0 на , → ∞;

∑ +

( ) ( ) = ∑ +

( −

) =

(

−

)

+ (

−

)

= +1

−1

+ +(

−

)

= −

(

−

) +

(

−

) +

+ −1

+ +

(

−

)

−

+ ∑ + −1

( −

+ −1

+ +

= +1

)

Используя

условие

получим

|∑ + −1

( ) ( )|

≤ |

| + |

+ |∑ +

( −

)| ≤ 4

= +1

+ +

= +1

max {sup|

( )| , sup|

( )|}

Из условия

{ } 0 на , → ∞ получим > 0

( ) >

( )| <

4 > 0 0 = 0( ) > 0 |∑=+ +1 ( ) ( )| < 4 4 =

по крит. Коши ряд сходится равномерно ◄

Т 1.10 Признак Абеля.

Ряд ∑∞=1 сходится, если

1)∑∞=1 — сходится;

2)Последовательность {bk} — монотонна и ограничена.

—Ряд Лейбница (знакопеременный ряд)

►без док-ва ◄

Т 1.11 Признак Лейбница.

Пусть ряд ∑∞=1(−1)−1 удовлетворяет условиям

1) > 0; 2) > +1;

3) lim = 0.

→∞

Тогда этот ряд сходится и называется рядом Лейбница.

►Ряд Лейбница удовлетв. условиям 1) и 2) Т 1.9 сходится по признаку Дирихле.◄

∑∞	(−1)		∑∞	(−1) < 2 — ограничена.
=1			=1

6. Функц. последовательности. Поточечная и равномерная сходимость ф.п. Критерий Коши равномерной сходимости.

Рассм. послед. функций f1(x), f2(x)…fn(x)							{	( )}∞	fn:X→R; ∞	= ≠
								=1	=1
Опр. 1 П-ть ф-ий {				( )}∞		наз. сходящейся в т. x0 X если сх-ся числовая п-ть
					=1
{	(	)}∞	или lim		( ) = ( )
	0	=1	→∞		0	0

Опр. 2 Мн-во всех точек x0 X в которых ф.п. { ( )}∞=1 сх-ся, наз. областью сходимости данной ф.п.

Пусть ф.п. имеет область сход D. Совокупность пределов, взятых для всех x D порождает мн-во знач. f(x), опред. на D. Эту ф-ию наз. предельной ф-ией ф.п. {fn(x)}. Опр. 3 Ф.п. {fn(x)} наз. поточечно сход. к предельной ф-ии f(x) на мн-ве всех D X

если x D lim ( ) = ( ) или > 0 0 = 0( , ): > 0 | ( ) −

→∞

( )| <

Опр. 4 Ф.п. { ( )}∞=1 наз. равномерно сход. к предельной ф-ии f(x) на мн-ве D X

если > 0 0 = 0( ): > 0 | ( ) − ( )| < . Обозн ( ) ( ) , → ∞.

Замечание: Критерий равн. сх-сти ф.п. В опр. 4 нерав-во | ( ) − ( )| < вып-ся сразу при > 0( ). Но тогда > 0 вып-ся sup| ( ) − ( )| < и


наоборот. Т.о. ф.п. явл. равномерно сход на D если > 0 0 = 0( ): >
	sup\|	( ) − ( )\| < или lim sup\| ( ) − ( )\| = 0
0
		→∞

Геом. смысл равномерной сх-сти.{ ( )}: [ , ]; ( ) f(x)на [ , ]; → ∞. Равн. сход. ф.п. {fn(x)} означает: = 0( ) графики ф-ий fn(x) будут лежать в криволин. полосе, шириной 2ε в направлении предельной ф-ии f(x).

Т 2.1. Критерий Коши равномерной сходимости.

Пусть задана ф.п. {fn(x)} и = ∞=1 ≠ . Для того, чтобы ф.п. {fn(x)} равн. сходилась на мн-ве D X НиД, чтобы > 0 0 = 0( ): > 0: | + ( ) − ( )| <

►

Необходимость. Пусть ( ) f(x)на , → ∞. По опр 4

> 0 0( ): > 0 | ( ) − ( )| < 2;

> 0 0( ): > 0 | + ( ) − ( )| < 2

| + ( ) − ( )| = | + ( ) − ( ) + ( ) − ( )| ≤ | + ( ) − ( )| + | ( ) − ( )| ≤ 2 + 2 =

Достаточность. Пусть > 0 0( ): > 0 | + ( ) − ( )| < 2

На основании критерия Коши для числ. посл-тей при фиксированном X D ч.п. fn(x) явл. фундаментальной сходится, т.е. {fn(x)} поточечно сход. на D, т.е предель-

ная ф-ия f(x) ( ) → ( ) на → ∞. фиксируем n=n0 и переходим к lim при p→+∞ в неравенстве | + ( ) − ( )| < 2

Получим | ( ) − ( )| ≤ 2 < > 0 ( ) равномерно сходится к f(x) на D.◄

1 / 61 2 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Билеты

#
20.12.202460.8 Mб1Билеты ВТА.pdf
#
20.12.20248.88 Mб1матан 3 семестр.pdf
#
20.12.202417.53 Mб1Матан 3 семестрр.pdf
#
20.12.20241.22 Mб3матан.pdf
#
20.12.202478.05 Mб1Математический анализ Ф3 Леонов.pdf