Тема «Математические модели дискретных каналов связи»
Изучаемые вопросы:
1.Основные характеристики дискретных каналов связи.
2.Математическая модель дискретного симметричного канала связи без памяти.
3.Математическая модель дискретного двоичного симметричного канала связи со стираниями.
4.Математическая модель дискретного несимметричного канала связи без памяти.
5.Математическая модель дискретного канала связи с памятью.
Основные характеристики дискретных каналов связи
В состав дискретных каналов связи входят непрерывные каналы, следовательно, от модели непрерывных каналов связи можно перейти к модели дискретных каналов, которая по существу является отображением тех процессов, которые происходят при передаче информации в непрерывных каналах, однако это значительно усложняет модель канала, поэтому при анализе нередко используются упрощенные математические модели дискретных каналов связи при заданий которых свойства входящих в них непрерывных каналов не учитываются.
Будем полагать, что модель дискретного канала связи задана, если известно множество входящих сигналов, а также распределение условных вероятностей сигналов на выходе.
Далее входными сигналами считают любую из множества последова-
тельностей |
B |
n |
, а выходными сигналами – последовательности |
B |
n |
, каждая |
|
||||||
|
|
из которых содержит n кодовых символов. В частном случае кодовые символы являются двоичными («0» и «1»). В общем случае число различных кодовых символов, или основание кода, обозначается m. Тогда все последовательности длиной n, число которых равно mn, образуют n-мерное конечное векторное пространство. В этом пространстве задается операция сложения в виде поразрядного суммирования по модулю m, а также умножение на скаляр.
При m = 2 векторное пространство называется пространством Хемминга, для которого скалярное произведение равно
|
n |
|
k |
|
k |
|
|
(x, y) = |
x |
y |
|
|
k =1 |
|
|
.
Норма двоичного вектора представляется выражением
|
|
x = 0 |
|
|
|
n |
n |
||
|
|
|
||
x = xk2 = |
= |
xk |
||
|
k =1 |
x =1 |
k =1 |
|
Таким образом, норма двоичного вектора будет определяться числом единиц, содержащихся в векторе. В этом случае норма вектора называется весом вектора w.
Расстояние между векторами равно норме их разности:
|
|
|
|
|
n |
k |
k |
|
n |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d (x, y) = |
|
x − y |
|
= |
k =1 |
(x |
− y |
) = |
k =1 |
(x |
y |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– сложение по модулю 2 (mod 2), выполняется по правилам:
0 0 = 0; 0 1 =1; 1 0 =1; 1 1 = 0.
В пространстве Хемминга расстояние между двоичными векторами равно числу позиций (элементов), которыми различаются эти векторы.
Введем понятие вектора ошибок, под которым принято понимать поэлементную разность между принятым и переданным векторами. Иными словами, при передаче по дискретному каналу вектор сигнала складывается с вектором ошибок:
B |
n |
|
= B |
n |
|
+
E |
n |
|
,
где E[n] – вектор ошибок, который в дискретном канале играет такую же роль, как и помеха в непрерывном канале.
В двоичном канале при n = 2 смысл векторных ошибок заключается в том, что каждая ошибка в этом векторе указывает на то, что именно в данной позиции в векторе сигнала произошла ошибка. Нулевая позиция в векторной ошибке говорит о правильном приеме соответствующего элемента сигнала. Таким образом, переход от непрерывного канала к дискретному будет соответствовать преобразованию любой помехи в поток ошибок. При этом различные ошибки дискретного канала будут описываться разными распределениями вероятностей этих векторов ошибок.
Математическая модель дискретного симметричного канала связи без памяти
Пусть имеются последовательности символов на входе и выходе канала связи соответственно
B = (b1, ..., bk , ..., bn ) B = (b1, ..., bk , ..., bn )
где k =1, n
Тогда вероятность появления символа bk при условии, определяется условной, или переходной, вероятностью P(bk |
чтобы bk задано,
bk ) .
Дискретный канал связи называется каналом без памяти, если каждый символ на его выходе зависит только от соответствующего символа на входе,
а условная вероятность выходной последовательности
при заданной входной последовательности |
B = (b1, ..., bk |
||
равенством |
|
|
|
|
n |
|
k |
|
|
||
P(B | B) = |
|
|
P(bk | b ) |
|
k =1 |
|
|
B=
,...,
(b1, bn )
..., bk , ..., |
bn ) , |
, определяется
Пусть ошибки любого из символов возникают независимо с вероятностью P, а правильный прием происходит с вероятностью (1 – P). Тогда условную вероятность приема символа bj при передаче bi запишем в виде
|
|
|
|
|
P |
, j i |
P(b |
j |
i |
|
|
|
|
m −1 |
|
|||||
|
| b ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− P, j = i |
|
|
|
|
|
|||
Далее будем рассматривать передачу двоичных символов «0» и «1». Вероятность появления любого n-мерного вектора ошибок, содержащего t единиц, которые соответствуют фактическим ошибкам, определяется выражением
P(E |
n |
t |
(1 − P) |
n−t |
|
) = P |
|
В n-мерном векторе t ошибок, расположенные произвольно в пределах последовательности длиной n, определяются по формуле
|
|
t |
t |
(1− P) |
n−t |
= |
|
n! |
|
t |
(1 |
− P) |
n−t |
||||||
P(t) = C |
P |
|
|
|
|
P |
|
||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
t!(n − t)! |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Cn – биномиальный коэффициент, равный числу различных сочета- |
|||||||||||||||||||
ний t ошибок. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для случая, когда переходная вероятность |
P |
|
1 |
, вероятность ошибоч- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
ного приема последовательности длиной n определяется выражением |
|||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
= |
|
|
t |
t |
(1 − P) |
n−t |
=1 − (1 − P) |
n |
nP |
|||||||||
|
C |
P |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ош |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
t=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Эту модель обычно изображают в виде переходных вероятностей (графа переходных вероятностей двоичных символов канала связи).
«0» |
1 – P |
«0» |
|
«1» |
1 – P |
«1» |
|
Данная модель дискретного канала связи является аналогом рассмотренного ранее канала связи с аддитивным белым шумом, в котором отсутствуют замирания.
Математическая модель дискретного двоичного симметричного канала
связи со стираниями
Данная модель является обобщением предыдущей рассмотренной модели для случая, когда на выходе появляется дополнительный 3 символ, если не удается достоверно распознать переданный элемент (символ).
Для получения такой модели вводят двухпороговое устройство со значением порога |J|. Тогда сигнал будет иметь вид
|
+1, |
z J , |
|
Z = |
|
|
− J z J , |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
−1, |
z −J |
|
|
||
|
|
|
|
Данный канал называется каналом со стиранием в нулевой зоне, в котором правильное решение может быть, если значение порога превышено при фактически переданном символе, а ошибочная – если превышение порога соответствует непереданному символу.
Когда значение выходного символа z, оказывается в интервале -J ≤ z ≤ J – происходит стирание этого символа. Вероятности этих событий, соответственно 1 – P0 – PC, P0 и PC, где P0 – вероятность ошибки, а PC – вероятность стирания.
Рассматриваемый канал можно описать матрицей переходных вероятно-
стей:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− P |
− P |
P |
|
P |
|
|
|
|
0 |
C |
0 |
|
C |
|
, |
|
P |
1 − P − P |
P |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
0 |
C |
C |
|
||
которая соответствует графу: |
|
|
|
|
|
|||
«+1» |
1 – P0 – PC |
|
«+1» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
«0» символ стирания
«–1» |
1 – P0 |
– PC |
«–1» |
|
|