Если выбрать любую пару ненулевых кодовых слов Vi и Vj, то расстояние Хемминга между ними ρ(Vi, Vj) будет равно весу w(Vk) некоторой третьей комбинации Vk, которая тоже принадлежит этому коду.
Путем последовательного перебора несложно найти некоторое кодовое слово, которое будет иметь минимальный вес и, следовательно, минимальное расстояние Хемминга относительно нулевого кодового слова.
Важнейшее свойство линейного кода: минимальное кодовое расстояние линейного корректирующего кода равно минимальному весу его ненулевого кодового слова, то есть
d = min w(V ); V 0 |
||
V V |
i |
i |
i |
|
|
Пример задания линейного корректирующего кода
(15)
В качестве примера рассмотрим метод задания линейного корректирующего кода (7, 4), который имеет M = 24 = 16 разрешенных кодовых слов.
Номер |
Кодовое слово |
Номер |
Кодовое слово |
|
|
|
|
1 |
0001110 |
9 |
1010010 |
|
|
|
|
2 |
0010101 |
10 |
0101101 |
|
|
|
|
3 |
0100011 |
11 |
1110001 |
|
|
|
|
4 |
1000111 |
12 |
0111000 |
|
|
|
|
5 |
1001001 |
13 |
1011100 |
|
|
|
|
6 |
1100100 |
14 |
1101010 |
|
|
|
|
7 |
0011011 |
15 |
1111111 |
|
|
|
|
8 |
0110110 |
16 |
0000000 |
|
|
|
|
Здесь минимальный вес ненулевых кодовых слов w(Vi) = 3, поэтому
d = 3.
Определим кратность ошибок t. Поскольку минимальное кодовое расстояние является нечетным, то для расчета t используем формулу (10):
|
( |
) |
|
( |
|
) |
|
t |
|
d −1 |
/ 2 |
|
3 |
−1 |
/ 2 1 |
Следовательно, данный код способен с гарантией исправить 1 ошибку.