осуществляется либо по принимаемому сигналу со снятием манипуляции, либо по известному пилот-сигналу. Если фаза изменяется медленно, и ее значения могут быть предсказаны по предыдущим элементам сигнала, то такой прием называют квазикогерентным.
Тема «Оптимальный когерентный приемник на базе согласованных фильтров»
Изучаемые вопросы:
1.Передаточная функция согласованного фильтра.
2.Основные свойства согласованных фильтров.
3.Структурная схема оптимального когерентного приемника.
4.Трансверсальный согласованный фильтр с импульсной реакцией.
5.Согласованный с прямоугольным радиоимпульсом фильтр.
Передаточная функция согласованного фильтра
Скалярное произведение наблюдаемого случайного процесса z(t) и опорного сигнала S(t) можно вычислить не только с помощью корреляции, но и с использованием пассивного линейного фильтра с постоянными параметрами. Одним из таких фильтров является согласованный фильтр, обладающий такой передаточной функцией K(jω), при которой в момент времени t = T, то есть при снятии отсчета, отношение сигнал-шум на его выходе является максимальным. Найдем выражение для передаточной функции K(jω) согласованного фильтра. Пусть S(jω) – комплексный спектр сигнала на входе фильтра. В этом случае спектр на его выходе определяется произведением S(jω)K(jω).
Используя обратное преобразование Фурье, запишем выходной сигнал в момент времени t = t0:
|
1 |
|
|
U (t0 ) = |
S( j )e |
||
2 |
|||
|
− |
||
|
|
j t0
K ( j )d
(1)
Пусть помехой является белый шум n(t) с равномерным энергетическим спектром на всех частотах G(ω) = N0/2. Спектр шума на выходе фильтра будет определяться выражением
G |
( ) = K ( j ) |
2 |
N |
|
/ 2 |
|
0 |
||||
вых |
|
|
|
|
(2)
Используя теорему Винера-Хинчина, запишем дисперсию помехи на выходе фильтра:
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
D[n(t)] = |
|
Gвых ( )d = |
0 |
|
K ( j ) |
2 |
d |
(3) |
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
|
4 |
|
|
||||||
|
− |
|
− |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда отношение сигнал-шум в момент времени снятия отсчета t = t0 будет иметь вид
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
S( j )e |
j t |
K ( j )d |
|
S( j )e |
j t |
|
K ( j )d |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
U (t |
) |
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
q = |
0 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
D[n(t )] |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( j ) |
2 |
d |
|
|
|
|
K ( j ) |
2 |
d |
|||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
− |
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(4)
Чтобы найти значение K(jω), при котором значение q в момент t = t0 является максимальным, используем известное соотношение БуняковскогоШварца:
|
2 |
|
|
|
|
x( f ) y( f )df |
= |
|
x( f ) |
2 |
df |
|
y( f ) |
2 |
df |
, |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||
− |
|
|
− |
|
|
|
− |
|
|
|
|
где x(f), y(f) – любые комплексные функции.
При этом знак равенства имеет место только в том случае, если
(5)
|
( f ) , |
(6) |
x( f ) = Cy |
где C = const, y*(f) – функция, комплексно-сопряженная с y(f). Теперь предположим, что
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y( f ) = S( j )e |
j t |
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( f ) |
|
|
|
( j )e |
− j t |
|
|
|
|
(8) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= S |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S( j )e j t0 K ( j )e− j t0 d |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− j t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
q = |
K ( j ) → K ( j )e |
= |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( j ) 2 d |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
− |
|
|
|
|
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
S( j ) 2 d |
|
K ( j ) 2 d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2F |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
S( j ) |
2 |
d = |
||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K ( j ) |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 − |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
E = |
|
|
S ( j ) |
2 |
d |
– энергия сигнала, определяемая согласно ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
венству Парсеваля.
Из полученного выражения видно, что максимальное значение на выходе фильтра не зависит от формы сигнала, а целиком определяется
отношением его энергии к спектральной плотности шума. Отношение q максимизируется, если передаточная функция фильтра равна
K ( j )
= CS |
|
( |
|
j )e |
− j t |
|
0 |
||
|
,
(10)
где C – некоторая постоянная, характеризующая усиление фильтра; S*(jωt0) – функция, комплексно-сопряженная со спектральной плотностью сигнала, поступающего на вход фильтра.
Основные свойства согласованных фильтров
Приведем основные свойства согласованных фильтров.
1.Из всех возможных линейных фильтров, согласованный фильтр позволяет получить на выходе максимально возможное значение, отношение энергии элемента сигнала к спектральной плотности мощности шума q = 2E/N0, причем это значение не зависит от формы сигнала.
2.Согласованный фильтр инвариантен (независим) относительно момента времени поступления сигнала, то есть времени задержки. Иными словами, для этого фильтра безразлично, когда на его вход поступит сигнал. В любом случае, если сигнал согласован по форме, на выходе фильтра будет получен максимум отношения сигнал-шум.
Вотличие от согласованного фильтра, коррелятор не инвариантен к задержке и для максимизации сигнала на его выходе необходимо иметь точную тактовую синхронизацию. Заметим также, что напряжения на выходах обоих устройств совпадают только в момент окончания посылок сигналов (t = T). В остальные моменты они различны.
Согласованный фильтр являются устройством, которое вычисляет функцию взаимной корреляции между принимаемым сигналом Y(t) и опорным
(ожидаемым, эталонным) сигналом Si(t) при
i =1, N
.
Выходное напряжение U(t0) согласованного фильтра, как и в случае любого другого линейного устройства, определяется интегралом свертки:
|
|
U (t0 ) = U ( )g(t0 |
− )d = C U ( )S( )d = CB(0) = C(U (t)S(t)) |
− |
− |
(11)
Это выражение с точностью до постоянного множителя C является функцией взаимной корреляции при нулевом значении аргумента или скалярным произведением принимаемой смеси и сигнала S(t).
Структурная схема оптимального когерентного приемника
Структурная схема оптимального когерентного приемника (демодулятора) на основе согласованных фильтров
В качестве критерия использован критерий идеального наблюдателя.
Из этого рисунка видно, что согласованный (пассивный) фильтр, в отличие от активного фильтра (коррелятора), заменяет сразу 3 элемента в приемнике: генератор опорного колебания, перемножитель, интегратор. Казалось бы, схема приемника за счет этого стала проще, но на самом деле сложности, возникающие при реализации оптимальных приемников на согласованных фильтрах, оказываются весьма существенными.
Сложность реализации заключаются в том, что на выходе фильтра, так же, как и в корреляционном приемнике, отсчет должен производиться с точностью до начальной фазы. При этом оказывается, что эта точность должна быть значительно выше, чем в случае активного фильтра. В случае активного фильтра достаточно, чтобы неточность была мала по сравнению с длительностью посылки сигнала, а при согласованном фильтре она должна быть меньше, чем период высокочастотного заполнения радиоимпульсами, поступающих на вход оптимального приемника.
Данные сложности реализации оптимальных приемников соизмеримы со сложностью реализации когерентного опорного колебания в активном фильтре.