Правило решения для оптимального приемника по критерию идеального наблюдателя в случае непрерывного наблюдения, следующее из формулы (18) будет иметь вид

Правило максимального правдоподобия будет записано в виде

i

i{z(t)} j{z(t)}, j =1, M , j i

Правило решений, определяемые формулами (18) и (19), являются основой для синтеза оптимальных цифровых приемников, работающих при дискретном наблюдении.

Правило решений, определяемые формулами (21) и (22), позволяют определять структуры оптимальных приемников при непрерывном наблюдении.

Рассмотренная постановка задачи синтеза относится к классу так называемых задач различения сигналов, то есть в этом случае определяют, какой конкретно из двух или нескольких вариантов сигнала присутствует в наблюдаемом колебании, являющимся смесью сигналов и помех. Именно такие задачи в основном и являются предметом рассмотрения в теории обработки информации.

По отношению к рассматриваемым задачам несколько иными являются задачи по обнаружению сигналов на фоне помех.

В этом случае предполагается, что получателю неизвестен факт наличия или отсутствия сигналов в принятом колебаний. Следовательно, по результатам наблюдения нужно принять соответствующее решение. В такой постановке задачи рассматриваются в системах передачи защищенной информации, например, в системах охранной сигнализации.

Тема «Статистические критерии оптимального приема сигналов»

Изучаемые вопросы:

1.Критерий Неймана-Пирсона

2.Байесовский критерий минимума среднего риска

Критерий Неймана-Пирсона

Рассмотренный критерий идеального наблюдателя представляется наиболее целесообразным для применения, но имеет и недостатки:

− необходимость наличия априорной информации о вероятностях передачи какого-либо сообщения, которая в некоторых случаях может быть неизвестна.

− равновероятность появления любой из ошибок. В некоторых случаях может быть неважно. Например, при передаче буквенно-цифрового текста, любая ошибка является одинаково нежелательной. Однако в других случаях разные ошибки могут приводить к разным последствиям. Например, в системах сигнализации значительно опаснее пропустить сигнал, чем сделать ложную тревогу. Такого рода последствия в военной сфере характерны для систем радио- и гидролокации. То есть значительно больше проблем создает пропуск воздушной или подводной цели, которая может применить оружие по объекту, чем объявление ложной тревоги, которая не повлечет каких-то последствий.

В таких ситуациях, когда невозможно определить априорную вероятность передачи сообщений, а последствия возникающих ошибок разные, применяют критерий Неймана-Пирсона. В соответствии с критерием, приемник считается оптимальным, если при заданной вероятности ложной тревоги Pлт будет обеспечена минимальная вероятность пропуска сигнала Pпр.

Представим непрерывные реализации z(t) в интервале наблюдения (0, T) в виде вектора координат z = (z1, …, zn) при разложении по координатному базису.

Пусть ωn(z|1) и ωn(z|0) – n-мерные условные плотности распределения координат вектора или условия, что в применяемой смеси содержится или отсутствует сигнал.

В соответствии с этим всё пространство принимаемых решений можно разделить различными способами на 2 области:

1.Область решения об отсутствии сигнала.

2.Область решения о наличии сигнала.

При этом всегда найдется оптимальный способ разделения пространства, который обеспечит равенство вероятности ложной тревоги некоторому наперед заданному значению C, т.е.

ωn(z|0) – плотность распределения помехи, так как символ «0» соответствует в данном случае отсутствию сигнала.

Иными словами, вероятность ложной тревоги зависит от вероятностных характеристик помехи и выбора области V1 о наличии сигнала.

С другой стороны, задание этой области определяет вероятность правильного обнаружения и, соответственно, пропажу сигнала, которая должна быть минимальна

Pпр = (z |1)dz =1− (z |1)dz

Здесь и далее интегрирование осуществляется по векторному аргументу, а область интегрирования и интегралы являются многомерными. Если Pлт известна, то минимум Pпр достигается при выполнении неравенства

(z |1) / (z | 0)

λ – значение порога, определяемое заданным значением Pст = ε.

Таким образом, в отличие от критерия идеального наблюдателя, данный критерий не требует знания априорных вероятностей передаваемых сообщений.

Байесовский критерий минимума среднего риска

Наиболее общим критерием, при котором устраняется второй недостаток, является Байесовский критерий минимума среднего риска.

Сущность заключается в том, что любой паре переданных символов αi и принятого символа αj (i ≠ j) приписывают числовое значение L(αi, αj), называемое потерей или стоимостью. Чем более нежелательна ошибка, тем большую стоимость она имеет. Правильному приему в этом случае будет соответствовать нулевая потеря.

Введем понятие условного риска, то есть условное математическое ожидание значения потери при передаче некоторого символа αi

где ω(z|αi) – условная плотность распределения колебания z(t) на входе приемника при передаче символа αi; Aj – область принятия решения о появлении колебания z(t) в приемнике, если передавался символ αj.

При усреднении Ri по всем символам αi (где i = 1÷M) получим значение среднего риска:

Согласно рассмотренному критерию, оптимальным будет приемник, обеспечивающий наименьшее значение среднего риска.

Приемник, в котором достигается этот минимум, называется байесовским. В этом случае потери, обусловленные ошибками в принятии решения, будут сведены к минимуму.

Ограниченность применения этого критерия обуславливается, во-пер- вых, необходимостью знания априорных вероятностей, а во-вторых, некоторой неопределенностью при назначении стоимости потерь.

В частном случае, когда ошибки одинаково нежелательны, критерий минимального среднего риска совпадает с критерием идеального наблюдателя.