Введем также безусловную n-мерную плотность вероятностей отсчетов, принятой реализации, которую можно определить по формуле полной вероятности:
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
(z |
, z |
, ..., z |
) = |
|
P( |
) {z |
, z |
, ..., z |
n |
| |
} |
n |
1 |
2 |
n |
|
i |
n 1 |
2 |
|
i |
|
||
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда условную вероятность P{αi | z1, z2, …, zn}можно найти из формулы Байеса:
P{ i |
| z1, z2 |
, , zn |
} = |
P( i ) n (z1, z2 , , zn | i ) |
|||
n |
(z1, z2 , |
, zn ) |
|||||
|
|
|
|
||||
Определим теперь отношение правдоподобия:
|
|
|
|
|
|
n |
(z |
, z |
, ..., z |
n |
| |
) |
|
|
||||||
|
{z |
, z |
, ..., z |
} = |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
(z , |
z |
, ..., |
|
z |
|
) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В случае, когда все сообщения равновероятны, то есть |
P( i ) = |
1 |
||||||||||||||||||
M |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ное правило решение будет упрощено и примет следующий вид:
, дан-
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
{z |
, z |
, , z |
} |
{z |
, z |
, , z |
}, j =1, M , j i |
i |
1 |
2 |
n |
j |
1 |
2 |
n |
|
С учётом формулы (16) из выражения (15):
P{ |
| z |
, z |
, , z |
} = P( |
) {z |
, z |
, , z |
} |
i |
1 |
2 |
n |
i |
1 |
2 |
n |
|
Подставив выражение (17) в формулу (11) получим выражение, соответствующее алгоритму оптимального цифрового приемника, реализующего критерий идеального наблюдателя:
{z |
, z |
, , z } |
i |
P( |
||
i |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
||||
|
{z |
, z |
, , z |
} |
|
P( |
j |
1 |
2 |
n |
|
|
|
j i
) |
, j =1, M , j i |
|
) |
||
|
Оптимальный прием непрерывной реализации сигналов
Теперь найдем правило решения при обработке непрерывной реализации z(t) без ее дискретизации. Для этого необходимо, чтобы число отсчетов n на отрезке длительности t → ∞.
Функционал отношения правдоподобия i-той гипотезы по отношению к нулевой гипотезе:
|
{z(t)} = lim |
(z |
, z |
, , z |
) |
|
i |
n→ |
i |
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|