величины Kk имеют одинаковый порядок, а фазовые сдвиги являются достаточно большими. Тогда дисперсии квадратурных составляющих X и Y будут равны σ2, а математические ожидания mX = mY = 0. В этом случае модуль коэффициента передачи K перейдет к рэлеевскому распределению:

В этом случае предполагается, что фаза θ имеет равное распределение в интервале от 0 до 2π, а дисперсия σ2 квадратурных составляющих равна средней мощности принимаемого сигнала.

Кроме того, в каналах связи возможны случаи, при которых в одном из лучей распределения коэффициент передачи может оказаться значительно большим, чем другой. В результате в точку приема поступит регулярный (незамирающий) луч. Тогда коэффициент передачи будет подчиняться обобщённому распределению Рэлея:

флуктуационных составляющих; I0(x) – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка.

РАЗДЕЛ «ПОМЕХОУСТОЙЧИВЫЙ ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ И НЕПРЕРЫВНЫХ СООБЩЕНИЙ»

Тема «Постановка задачи синтеза оптимального приемника»

Изучаемые вопросы:

1.Общий подход к задаче синтеза оптимального приемника.

2.Критерий идеального наблюдателя.

3.Оптимальный прием дискретных отсчетов сигналов.

4.Оптимальный прием непрерывной реализации сигналов.

Общий подход к задаче синтеза оптимального приемника

В процессе передачи по каналу связи сигналы подвергаются непредсказуемым искажениям, после чего правильное восстановление сообщений может быть затруднено. Однако при этом приемник можно построить таким образом, чтобы он обеспечивал максимум возможной вероятности приема, то есть минимум средней вероятности ошибки. Такой подход впервые был предложен Котельником.

Данный подход является основным в теории помехоустойчивой передачи информации. Идеальным приемником он назвал такое устройство,

которое при заданных условиях обеспечивает максимум вероятности правильного приема сигналов или минимум средней вероятности ошибки. Помехоустойчивость такого приемника принято считать потенциальной. Смысл приведенного определения заключается в том, что принципиально невозможно превысить значение помехоустойчивости такого приемника, хотя и можно к ней приблизиться.

Критерием идеального наблюдателя (критерий Котельникова) принято называть такой критерий, согласно которому качество приемника оценивается значением вероятности приема элемента сигнала.

С использованием этого критерия далее рассмотрим общий подход к задаче синтеза оптимального приемника.

Обычно под синтезом оптимального приемника принято понимать нахождение оптимального, в соответствии с некоторым критерием, качества приема процедуры, обработки наблюдаемого случайного процесса z(t), который является смесью полезного сигнала и помехи. Далее на основе такого синтеза создается устройство, реализующее найденную процедуру обработки. Бу-

Соответствующие им сигналы Si(t) полностью известны на приемной стороне, поскольку считается, что сигнал передается по каналу с постоянными параметрами, когда коэффициент передачи μ и время задержки τ в канале известны.

Получатель не знает, какой вариант сигнала передается, то есть ему неизвестен индекс i. Источником ошибок при принятии решения в приемнике являются шум n(t). Задача состоит в синтезе структуры оптимального приемника, который при полностью известных параметрах сигнала называется когерентным. Будем считать, что применяемые сигналы Si(t) являются финитными (предопределенными) и их длительность равна T. Предположим, что известны границы тактового интервала, на котором происходят обработка применяемого колебания, то есть в системе обеспечена надежная тактовая синхронизация.

Критерий идеального наблюдателя

Найдем, какое правило решения будет оптимальным, если критерием оптимальности является критерии идеального наблюдателя, то есть найдем правило решения, обеспечивающее минимальные вероятности ошибок.

Пусть приемник по результатам наблюдения принимаемой смеси вычисляет апостериорную вероятность P{αi|z(t)}, то есть условную вероятность того, что поступивший на вход канала символ является αi при условии, что на вход приемника поступает реализация z(t).

Апостериорная вероятность – это условная вероятность того, что для случайного события известны данные, полученные после опыта.

приемнике формируется апостериорная вероятность P{αi|z(t)}, которая в данном случае является вероятностью правильного приема. Тогда вероятность ошибочного решения:

Сравним между собой два приемника, из которых один выбирает решение βi = αi, а другой z(t) – βi = αi

Следовательно, вероятность ошибки будет меньше у того приемника, который выбирает решение, соответствующее большей апостериорной вероятности. Таким образом, приемник, выбирающий решение соответствующее максимально апостериорной вероятности:

обеспечивает наименьшую вероятность ошибок, чем любой другой приемник, то есть является оптимальным по критерию идеального наблюдателя. Иными словами, символ αi регистрируется при выполнении неравенства (3). Это же неравенство в сокращенной форме может быть записано в следующем виде:

i = arg{maxj P[ j | z(t)]}, j =1, M ,

где «arg» означает выбор аргумента функции P{αj|z(t)}.

Таким образом, в качестве решения βi = αi принимается такое решение, для которого апостериорная вероятность максимальна.

При передаче двоичных символов данное правило решения принимает

вид

P{0 | z(t)} P{1| z(t)}

Если это неравенство выполняется, то регистрируется символ «0».

Оптимальный прием дискретных отсчетов сигналов

В начале получим алгоритм оптимального приема при поступлении в приемник дискретных отсчетов принимаемой реализации. Приемник, работающий по такому алгоритму, называют цифровым. Такой приемник широко используется при цифровой обработке сигнала. Из оптимального цифрового приемника получим оптимальный аналоговый приемник, то есть приемник, обрабатывающий непрерывную наблюдаемую реализацию. Пусть на вход приемника поступает отсчет смеси сигнала и помехи:

где n – число отсчетов на длительности посылки сигнала. При этом интервалы между отсчетами:

Следовательно, выборки делают на основе теоремы отсчетов. Алгоритм работы оптимального цифрового приемника можно получить из формул (5) и (7), выполнив подстановку P{ i | z1, z2 , ..., zn}, под которой понимается услов-

ная апостериорная вероятность того, что действительно передавался символ αi, если в приемник поступила совокупность отсчетов z1, z2, …, zn.

Тогда для цифрового приемника правило решения имеет вид:

представляет собой n-мерную условную плотность распределения вероятности отсчетов принятой реализацией в точках tk (k = 1÷n), которые определяются реализацией сигнала и помехами в канале связи.