Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

алгебраические структуры

.pdf
Скачиваний:
1
Добавлен:
04.12.2024
Размер:
1.09 Mб
Скачать

Задача 1.

Найти матрицу линейного оператора A в указанном базисе линейного

пространства L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Ln линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает n ,

 

 

 

 

 

. Ap

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x,..., xn

 

p(t

 

1)dt , где p(x) L4 , Ap

L5 .

 

 

с базисом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

L – пространство геометрических векторов с базисом

i , j,k .

Ax [a,[b, x]] ,

 

 

 

1,1,0

 

1,1,1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x L , a

и b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

L – линейное пространство функций вида

y(x) c ex c xex c x2ex

с

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

 

 

 

ex , xex , x2ex

Ay

 

y(x

 

1)

 

y(x

 

1) , где y(x)

 

L .

 

 

базисом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

L – линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

0

1

0

 

0

 

0

0

 

 

 

1

0

1

2

, где X L .

 

,

 

 

,

 

 

,

 

 

.

A( X )

2

X

 

 

X T

0

0

0

0

1

 

0

 

0

1

 

 

 

 

1

0

1

 

 

Здесь X T

– транспонированная матрица X .

 

 

 

 

 

5.

L

линейное пространство многочленов,

 

порядок которых не превышает

 

 

 

 

 

 

 

1, x, x

2

, x

3

.

Ap (x 1)

2

 

 

 

трех,

с базисом

 

 

 

 

p (x) 2(x 1) p (x) 2 p(x)

, где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(x) L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Ln

линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает n ,

 

 

 

 

 

 

 

. Ap

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1, x,..., xn

 

(3t

 

2) p(t)dt , где

 

p(x) L3 ,

Ap L5 .

 

с базисом

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. L – линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

 

0 1

0

0

0

 

0

3

0

 

 

 

 

 

,

,

 

 

,

 

 

 

 

.

A( X )

 

 

X X T , где X L . Здесь

0

0

 

0 0

 

1

0

0

 

1

 

2

7

 

 

 

X T – транспонированная матрица X .

8 L – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j . A

оператор симметрии относительно прямой x3 y 0 .

9. L линейное пространство функций вида

y(x) c1 c2 cos x c3 sin x с

базисом 1,cos x,sin x . Ay y (x) 2y (x) 2 y(x) ,

где y(x) L .

10.L –линейное пространство функций вида y(x) c1 c2 cos x c3 sin x с

базисом 1,cos x,sin x . Ay y(x / 6) y(x / 6) 2 y(x) , где y(x) L .

Здесь X T – транспонированная матрица X .

11.L – линейное пространство функций вида y(x) c1ex c2 xex c3 x2ex с базисом ex , xex , x2ex . Ay 3y(x) , где y(x) L .y (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. L

– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k .

A – оператор

ортогонального проектирования на плоскость 2x 2 y z 0 :

 

 

 

,

Ax

x

(x, n)n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где x L , n

– единичный нормальный вектор плоскости.

 

 

 

 

13. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

 

1 0

 

0

1

0

0

0

0

1

2

 

 

 

 

 

 

,

 

,

 

,

.

A( X )

X T , где X L . Здесь X T

 

0 0

 

0

0

1

0

0

1

3

4

 

 

 

 

транспонированная матрица X .

14.L линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, с базисом 1, x, x2 , x3 . Ap p(x) p(x 1) p(x 2) , где p(x) L .

15.L линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает

 

 

 

 

x, x

2

, x

3

 

 

 

Ap (x

2

 

 

 

 

 

 

трех,

с

базисом

1,

 

 

.

 

 

 

 

где

 

 

 

 

 

 

 

x 1) p (x) (x 1) p (x) p(x) ,

p(x) L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. L

линейное пространство многочленов,

порядок которых не превышает

 

 

 

 

 

x, x

2

, x

3

 

 

Ap

 

 

2

 

 

 

 

трех,

с

базисом

1,

 

.

(x

 

где

 

 

 

 

 

5x 3) p (x) (4x 10) p (x) ,

p(x) L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

17. L –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает

 

 

 

 

x,

x2

, x3

 

 

 

 

Ap p(x 1) 2 p(x) p(x 1) , где

p(x) L .

 

трех, с базисом 1,

 

 

.

 

 

18.L линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, с базисом 1, x, x2 , x3 . Ap xp(x 1) xp(x) 2 p(x) , где p(x) L .

19.Ln линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает n ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

4

5

 

 

 

 

n

. Ap

 

 

 

 

 

 

с базисом 1,

x,..., x

 

 

 

(t 1) p (t)dt , где p(x) L ,

Ap L .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

20. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

0

1

0

 

0

0

0

 

 

3 1

 

 

 

 

 

,

 

,

 

 

 

,

 

.

A( X ) X T

, где X L . Здесь X T

0

0

0

0

1

 

0

0

1

 

 

5 8

 

 

 

транспонированная матрица X .

 

 

 

 

 

 

21. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

0

1

0

 

0

0

0

 

 

10

1

T

, где X L . Здесь BT

 

 

,

 

,

 

 

 

,

 

.

A( X )

X

 

 

0

0

0

0

1

 

0

0

1

 

 

2 1

 

 

транспонированная матрица B .

 

 

 

 

 

 

22. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

0

1

0

 

0

0

0

 

 

1 3

X

T

, где X L . Здесь BT

 

 

,

 

,

 

 

 

,

 

.

A( X )

 

 

 

0

0

0

0

1

 

0

0

1

 

 

7 1

 

 

 

транспонированная матрица B .

 

 

 

 

 

 

23. L – линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

0

1

0

 

0

0

0

1

0

0

 

2

 

 

,

 

,

 

 

 

,

 

.

A( X )

 

X

 

 

, где X L .

0

0

0

0

1

 

0

0

1

0

2

1

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24. L

– пространство геометрических векторов плоскости с базисом i ,

j

.

 

 

 

– оператор поворота на угол

 

 

 

, а S – оператор

Ax

(TS ST )x , где T

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

симметрии относительно прямой x y 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. L

– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax

[a, x] 5[x,b] , где

x

L , a

1, 2, 2 и b 1, 1, 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26. L

– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k .

 

 

 

 

 

1, 1,

 

2, 2, 1 .

 

 

Ax

(a, x)b (b, x)a , где x L ,

a

2

 

 

 

 

и b

 

 

27. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом

1

0

0

1

0

0

0

0

1

3

 

X L .

 

0

0

 

,

0

0

 

,

1

0

 

,

0

1

.

A( X )

3

 

X , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

28. L

– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k .

A

ортогонального проектирования на плоскость 5y 12z 0 :

 

 

 

Ax

x

 

 

 

 

 

x L

, n – единичный нормальный вектор плоскости.

 

 

 

– оператор

(x, n)n , где

29.L – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j . A – оператор симметрии относительно прямой y 3x .

30.L – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j .

 

 

 

 

 

Ax

(TP PT )x

, где T – оператор поворота на угол

6

, а P – оператор

проектирования на ось Ox .

Задача 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A . Указать матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица A этого преобразования имеет диагональный вид. Сделать проверку, вычислив матрицу

 

 

 

 

 

 

A .

 

 

 

 

 

 

 

2

1

2

 

1.

 

1

2

2

 

A

.

 

 

2

2

5

 

 

 

 

 

4

2

7

 

 

 

 

 

 

 

2.

A

1

3

1 .

 

 

4

4

7

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

3.

A

1

4

1

 

 

2

2

1

 

 

 

 

 

3

5

7

 

 

 

 

 

4.

 

1

3

1

 

 

 

 

 

A

.

 

 

 

 

 

3

3

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

A

6

4

 

6

 

.

 

 

5

5

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

1

 

6.

 

1

4

 

1

 

 

A

 

.

 

 

1

1

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

4

4

 

 

 

7.

 

4

 

2

4

 

 

 

A

 

.

 

 

 

4

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

A

2 5

 

4

.

 

 

2

4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

2

 

2

 

 

9.

 

2

4

 

0

 

 

 

A

 

 

.

 

 

2

0

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

2

 

0

 

 

 

10.

A

 

2

5

 

2

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

0

4

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

2

 

11.

A

 

2

3

 

2

 

 

 

.

 

 

 

1

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

1

 

 

 

 

12.

A

 

2

8

 

1

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

0

2

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

13.A 46

1

14.A 43

2

15.A 44

7 16. A 0

28

17. A 861

18. A 21

1 19. A 3

37

20.A 23

0

21.A 12

3

22.A 22

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1 .

3

 

0

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

6 4

 

 

 

 

.

 

 

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

6

 

8

 

 

4

 

8

 

 

 

.

6

 

10

 

 

 

 

 

1

 

3

 

 

6

 

2

 

 

 

.

2

 

2

 

 

 

 

 

2

 

6

 

 

1

 

7 .

2

 

4

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

5

 

4 .

2

 

2

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

1

3

 

 

 

.

 

1

5

 

 

 

 

 

 

2

 

12

 

2

 

 

0

 

 

 

 

 

.

0

 

4

 

 

 

86

96 .10 6

48

58 .

47

1

23.A 204

24.A 52

4

25.A 11

0

26.A 23

0

27.A 12

3

28.A 02

2

29.A 32

2

30.A 23

2

0

 

1

 

 

2

.

2

1

 

 

 

4

 

6

 

 

1

 

3 .

 

2

 

 

 

 

 

 

 

4

 

3

6

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

.

 

1

 

3

 

 

 

 

 

 

 

4

 

2

 

 

2

 

2 .

 

4

 

5

 

 

 

 

 

 

 

10

 

 

3

 

 

9

 

 

3

 

 

 

 

.

 

28

 

9

 

 

 

 

0

2

 

 

 

5

2

 

 

 

.

 

2

4

 

 

 

 

 

 

0

1

 

 

 

 

5

5

 

 

 

 

.

 

 

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

5

2

 

 

 

.

 

3

1

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием и определить тип кривой.

1.5x2 6xy 5y2 16x 16 y 16 0

2.2xy 2x 2 y 3 0 .

3.3x2 4xy 10x 12 y 2 0 .

4.x2 2xy y2 8x 4 y 7 0 .

5.7x2 24xy 38x 24 y 175 0 .

6.3x2 2xy 3y2 6x 2 y 1 0 .

7.5x2 2xy 5y2 10x 2 y 1 0 .

8.4x2 2xy 4 y2 10x 10 y 1 0 .

9.7x2 16xy 23y2 14x 16 y 32 0 .

10.xy 2x 2 y 2 0 .

11.6xy 8 y2 12x 26 y 11 0 .

12.4x2 4xy y2 2x 14 y 7 0 .

13.x2 3xy y2 6x 4 y 1 0 .

14.2x2 2xy 2 y2 6x 6 y 3 0 .

15.3x2 24xy 3y2 30x 60 y 10 0 .

16.x2 4xy y2 2x 4 y 5 0 .

17.7x2 10xy 7 y2 20x 28y 16 0 .

18.x2 18xy y2 54x 6 y 31 0 .

19.2x2 2xy 2 y2 8x 4 y 1 0 .

20.2x2 6xy 2 y2 12x 8 y 3 0 .

21.2x2 4xy 2 y2 5x 3y 10 0 .

22.x2 4xy y2 4x 8y 13 0 .

23.x2 xy y2 2x y 2 0 .

24.5x2 4xy 2 y2 4x 4 y 4 0 .

25.3x2 4xy 3y2 12x 8 y 7 0

26.6xy 8 y2 12x 26 y 11 0 .

27.11x2 20xy 4 y2 20x 8y 1 0 .

28.5x2 8xy 5y2 18x 18y 9 0 .

29.5x2 14xy 5y2 20x 28y 32 0 .

30.x2 2xy y2 6x 2 y 5 0 .

 

 

 

 

и НОК чисел a и b.

Задача 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 5