
алгебраические структуры
.pdf
Задача 1. |
Найти матрицу линейного оператора A в указанном базисе линейного |
|||||||||||||||||||||
пространства L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
Ln –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает n , |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
. Ap |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1, x,..., xn |
|
p(t |
|
1)dt , где p(x) L4 , Ap |
L5 . |
|
|
|||||||||||||
с базисом |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
L – пространство геометрических векторов с базисом |
i , j,k . |
Ax [a,[b, x]] , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
1,1,0 |
|
1,1,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где x L , a |
и b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
3. |
L – линейное пространство функций вида |
y(x) c ex c xex c x2ex |
с |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
ex , xex , x2ex |
Ay |
|
y(x |
|
1) |
|
y(x |
|
1) , где y(x) |
|
L . |
|
|
|||||||
базисом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. |
L – линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
|||||||||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
1 |
0 |
1 |
2 |
, где X L . |
|||||
|
, |
|
|
, |
|
|
, |
|
|
. |
A( X ) |
2 |
X |
|
|
X T |
||||||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
Здесь X T |
– транспонированная матрица X . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
L |
–линейное пространство многочленов, |
|
порядок которых не превышает |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1, x, x |
2 |
, x |
3 |
. |
Ap (x 1) |
2 |
|
|
|
|||
трех, |
с базисом |
|
|
|
|
p (x) 2(x 1) p (x) 2 p(x) |
, где |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
p(x) L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Ln |
–линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает n , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. Ap |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, x,..., xn |
|
(3t |
|
2) p(t)dt , где |
|
p(x) L3 , |
Ap L5 . |
|
|||||||
с базисом |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. L – линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
|||||||||||||||||||
1 |
0 |
|
0 1 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
3 |
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
, |
, |
|
|
, |
|
|
|
|
. |
A( X ) |
|
|
X X T , где X L . Здесь |
|||
0 |
0 |
|
0 0 |
|
1 |
0 |
0 |
|
1 |
|
2 |
7 |
|
|
|
X T – транспонированная матрица X .
8 L – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j . A –
оператор симметрии относительно прямой x3 y 0 .
9. L – линейное пространство функций вида |
y(x) c1 c2 cos x c3 sin x с |
базисом 1,cos x,sin x . Ay y (x) 2y (x) 2 y(x) , |
где y(x) L . |
10.L –линейное пространство функций вида y(x) c1 c2 cos x c3 sin x с
базисом 1,cos x,sin x . Ay y(x / 6) y(x / 6) 2 y(x) , где y(x) L .
Здесь X T – транспонированная матрица X .
11.L – линейное пространство функций вида y(x) c1ex c2 xex c3 x2ex с базисом ex , xex , x2ex . Ay 3y(x) , где y(x) L .y (x)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. L |
– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . |
A – оператор |
|||||||||||
ортогонального проектирования на плоскость 2x 2 y z 0 : |
|
|
|
, |
|||||||||
Ax |
x |
(x, n)n |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x L , n |
– единичный нормальный вектор плоскости. |
|
|
|
|
||||||||
13. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
|
||||||||||||
1 0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
, |
|
, |
|
, |
. |
A( X ) |
X T , где X L . Здесь X T – |
|
|||
0 0 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
транспонированная матрица X .
14.L –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, с базисом 1, x, x2 , x3 . Ap p(x) p(x 1) p(x 2) , где p(x) L .
15.L –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает
|
|
|
|
x, x |
2 |
, x |
3 |
|
|
|
Ap (x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
трех, |
с |
базисом |
1, |
|
|
. |
|
|
|
|
где |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1) p (x) (x 1) p (x) p(x) , |
|||||||||||||||||
p(x) L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16. L |
–линейное пространство многочленов, |
порядок которых не превышает |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x, x |
2 |
, x |
3 |
|
|
Ap |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
трех, |
с |
базисом |
1, |
|
. |
(x |
|
где |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5x 3) p (x) (4x 10) p (x) , |
|||||||||||||||||||
p(x) L . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. L –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
x, |
x2 |
, x3 |
|
|
|
|
Ap p(x 1) 2 p(x) p(x 1) , где |
p(x) L . |
|
||||||||||||
трех, с базисом 1, |
|
|
. |
|
|
18.L –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает трех, с базисом 1, x, x2 , x3 . Ap xp(x 1) xp(x) 2 p(x) , где p(x) L .
19.Ln –линейное пространство многочленов, порядок которых не превышает n ,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
n |
. Ap |
|
|
|
|
|
|
|||||
с базисом 1, |
x,..., x |
|
|
|
(t 1) p (t)dt , где p(x) L , |
Ap L . |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
20. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
||||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
3 1 |
|
|
|
||
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
. |
A( X ) X T |
, где X L . Здесь X T – |
||||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
5 8 |
|
|
|
||
транспонированная матрица X . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
21. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
||||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
10 |
1 |
T |
, где X L . Здесь BT |
||
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
. |
A( X ) |
X |
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
2 1 |
|
|
|||
транспонированная матрица B . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
22. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
||||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
1 3 |
X |
T |
, где X L . Здесь BT |
||
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
. |
A( X ) |
|
|
|
||
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
7 1 |
|
|
|
||
транспонированная матрица B . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
23. L – линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом |
||||||||||||||||
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
2 |
|||
|
|
, |
|
, |
|
|
|
, |
|
. |
A( X ) |
|
X |
|
|
, где X L . |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
–
–
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24. L |
– пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , |
j |
. |
||||||||
|
|
|
– оператор поворота на угол |
|
|
|
, а S – оператор |
||||
Ax |
(TS ST )x , где T |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
симметрии относительно прямой x y 0. |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25. L |
– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax |
[a, x] 5[x,b] , где |
x |
L , a |
1, 2, 2 и b 1, 1, 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26. L |
– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . |
||||||||
|
|
|
|
|
1, 1, |
|
2, 2, 1 . |
|
|
Ax |
(a, x)b (b, x)a , где x L , |
a |
2 |
|
|
||||
|
|
и b |
|
|
27. L –линейное пространство квадратных матриц второго порядка с базисом
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
3 |
|
X L . |
|||||||||
|
0 |
0 |
|
, |
0 |
0 |
|
, |
1 |
0 |
|
, |
0 |
1 |
. |
A( X ) |
3 |
|
X , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
28. L |
– пространство геометрических векторов с базисом i , j,k . |
A |
||
ортогонального проектирования на плоскость 5y 12z 0 : |
|
|
|
|
Ax |
x |
|||
|
|
|
|
|
x L |
, n – единичный нормальный вектор плоскости. |
|
|
|
– оператор
(x, n)n , где
29.L – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j . A – оператор симметрии относительно прямой y 3x .
30.L – пространство геометрических векторов плоскости с базисом i , j .
|
|
|
|
|
Ax |
(TP PT )x |
, где T – оператор поворота на угол |
6 |
, а P – оператор |
проектирования на ось Ox .
Задача 2. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы A . Указать матрицу T перехода к новому базису, в котором матрица A этого преобразования имеет диагональный вид. Сделать проверку, вычислив матрицу
|
|
|
|
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
2 |
|
1. |
|
1 |
2 |
2 |
|
A |
. |
||||
|
|
2 |
2 |
5 |
|
|
|
|
|
4 |
2 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
A |
1 |
3 |
1 . |
|
|
|
4 |
4 |
7 |
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
A |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
3 |
5 |
7 |
|
|
|
|
|
||
4. |
|
1 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
. |
|
|
|
||||||
|
|
3 |
3 |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4 |
2 |
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
A |
6 |
4 |
|
6 |
|
. |
|||
|
|
5 |
5 |
|
7 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
1 |
1 |
|
|||||
6. |
|
1 |
4 |
|
1 |
|
|
|||
A |
|
. |
||||||||
|
|
1 |
1 |
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
4 |
4 |
|
|
|
||
7. |
|
4 |
|
2 |
4 |
|
|
|
||
A |
|
. |
|
|||||||
|
|
4 |
4 |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
A |
2 5 |
|
4 |
. |
|||||
|
|
2 |
4 |
|
5 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5 |
2 |
|
2 |
|
|
|||
9. |
|
2 |
4 |
|
0 |
|
|
|
||
A |
|
|
. |
|||||||
|
|
2 |
0 |
|
6 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
3 |
2 |
|
0 |
|
|
|
|
10. |
A |
|
2 |
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
0 |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
2 |
|
2 |
|
||||
11. |
A |
|
2 |
3 |
|
2 |
|
|||
|
|
. |
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
12. |
A |
|
2 |
8 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
13.A 46
1
14.A 43
2
15.A 44
7 16. A 0
28
17. A 861
18. A 21
1 19. A 3
37
20.A 23
0
21.A 12
3
22.A 22
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 . |
|||
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
|
6 4 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
8 |
|
|
|
4 |
|
8 |
|
|
|
|
. |
||||
6 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
3 |
|
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
|
. |
||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
6 |
|
|
|
1 |
|
7 . |
|||
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
5 |
|
4 . |
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
3 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
. |
|
||||
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
12 |
|
||
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
. |
||
0 |
|
4 |
|
||
|
|
86
96 .10 6
48
58 .
47
1
23.A 204
24.A 52
4
25.A 11
0
26.A 23
0
27.A 12
3
28.A 02
2
29.A 32
2
30.A 23
2 |
0 |
|
1 |
|
|
2 |
. |
|
2 |
1 |
|
|
|
4 |
|
6 |
|
||
|
1 |
|
3 . |
|||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|||
3 |
6 |
|
|
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
|
2 |
|
||
|
2 |
|
2 . |
|||
|
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
10 |
|
|
3 |
|
|
|
9 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
. |
|||
|
28 |
|
9 |
|
||
|
|
|
||||
0 |
2 |
|
|
|
||
5 |
2 |
|
|
|
||
. |
|
|||||
2 |
4 |
|
|
|
||
|
|
|
||||
0 |
1 |
|
|
|
|
|
5 |
5 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
2 |
|
|
|
||
5 |
2 |
|
|
|
||
. |
|
|||||
3 |
1 |
|
|
|
||
|
|
|
Задача 3. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду ортогональным преобразованием и определить тип кривой.
1.5x2 6xy 5y2 16x 16 y 16 0
2.2xy 2x 2 y 3 0 .
3.3x2 4xy 10x 12 y 2 0 .
4.x2 2xy y2 8x 4 y 7 0 .
5.7x2 24xy 38x 24 y 175 0 .
6.3x2 2xy 3y2 6x 2 y 1 0 .
7.5x2 2xy 5y2 10x 2 y 1 0 .
8.4x2 2xy 4 y2 10x 10 y 1 0 .
9.7x2 16xy 23y2 14x 16 y 32 0 .
10.xy 2x 2 y 2 0 .
11.6xy 8 y2 12x 26 y 11 0 .
12.4x2 4xy y2 2x 14 y 7 0 .
13.x2 3xy y2 6x 4 y 1 0 .
14.2x2 2xy 2 y2 6x 6 y 3 0 .
15.3x2 24xy 3y2 30x 60 y 10 0 .
16.x2 4xy y2 2x 4 y 5 0 .
17.7x2 10xy 7 y2 20x 28y 16 0 .
18.x2 18xy y2 54x 6 y 31 0 .
19.2x2 2xy 2 y2 8x 4 y 1 0 .
20.2x2 6xy 2 y2 12x 8 y 3 0 .
21.2x2 4xy 2 y2 5x 3y 10 0 .
22.x2 4xy y2 4x 8y 13 0 .
23.x2 xy y2 2x y 2 0 .
24.5x2 4xy 2 y2 4x 4 y 4 0 .
25.3x2 4xy 3y2 12x 8 y 7 0
26.6xy 8 y2 12x 26 y 11 0 .
27.11x2 20xy 4 y2 20x 8y 1 0 .
28.5x2 8xy 5y2 18x 18y 9 0 .
29.5x2 14xy 5y2 20x 28y 32 0 .
30.x2 2xy y2 6x 2 y 5 0 .

|
|
|
|
и НОК чисел a и b. |
|
Задача 4 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

Задача 5