Линейное программирование

Пример 4.1. Решить геометрическим методом задачу 1, §2

(задача планирования производства).

2 1 + 5 2 ≤ 20

8 1 + 5 2 ≤ 40 − система ограничений.

5 1 + 6 2 ≤ 30

1 ≥ 0, 2 ≥ 0

Требуется найти значения переменных 1, 2, удовлетворяющие системе ограничений и обращающие в max целевую функцию

1, 2 = 50 1 + 40 2 →

Решение.

11

Вывод. Если целевая функция ЗЛП достигает оптимального значения, то это имеет место, по крайней мере, в одной из вершин области допустимых решений.

III. ЗЛП с системой ограничений в виде неравенств и числом переменных = .

Система ограничений

11 1 + 12 2 + 13 3 ≤ 1

… … … … … … … … … … … … . .

1 1 + 2 2 + 13 3 ≤1 ≥ 0, 2 ≥ 0, 3 ≥ 0,

Целевая функция

Каждое неравенство системы ограничений есть полупространство в 3 Если система ограничений совместна, то пересекаясь, эти полупространства образуют в 3 многогранник решений.

Построить вектор = ( 1; 2; 3) и плоскость 1 1 + 2 2 + 3 3 = 0, которую следует перемещать параллельно самой себе в направлении

вектора .

12

IV. Система ограничений в стандартной (канонической) форме (ОЗЛП)

− = 2

− число неизвестных;

− число уравнений;

− число базисных переменных 3, 4, … , ; 2 − число свободных переменных 1, 2

Преобразуем систему ограничений, выразив базисные переменные через

свободные переменные

3 = 31 1 + 32 2 + 3

4 = 41 1 + 42 2 + 4

… … … … … … … … … … . .

= 1 1 + 2 2 +1 ≥ 0, 2 ≥ 0, … , ≥ 0

Преобразуем целевую функцию

1, 2 = 1 1 + 2 2 → ( )

Базисные переменные 3 ≥ 0, 4 ≥ 0, … , ≥ 0. Для построения области D построим прямые

Из геометрического метода решения ЗЛП получим, что оптимальное решение (если оно существует) всегда достигается в одной из вершин многоугольника, в точке, где, по крайней мере, две переменные равны нулю

(для случая − = 2).

при ограничениях

11 1 + + 1 = 1

… … … … … … … … … … . .

1 1 + + =1 ≥ 0, … , ≥ 0

Или в матричной форме

= ∙ →

при ограничениях

∙ =

≥ 0

где

По теореме Кронекера – Капелли система совместна, если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы (если система несовместна, то модель противоречива).

Теорема о решении ОЗЛП.

Пусть система уравнений ∙ = совместна и имеет ранг r. Тогда

оптимальное решение ОЗЛП достигается в такой точке = ( , … , ), в

1

которой обращаются в нуль по крайней мере s переменных, где

= −

− число степеней свободы;− число неизвестный;− ранг матрицы .

(если все уравнения линейно независимы, то = − ).

При = 2: изображается точкой на плоскости, лежащей в одной из вершин многоугольника решений.

При = 3: область D есть многогранник, и есть одна из его вершин. При > 3: геометрическая интерпретация теряет смысл; область D будем называть многогранником решений; оптимальное решение достигается в одной из его вершин.

15

§7. Симплекс – метод решения ОЗЛП.

Решение ЗЛП геометрическим методом является наглядным в случае двух переменных, в случае трех переменных менее наглядным, а в случае большего числа переменных невозможным (если − > 2).

Потому необходим другой метод.

Было показано, что оптимальное решение ОЗЛП достигается в одной из вершин многогранника решений. Простой перебор опорных решений и выбор из них оптимального решения при большом числе переменных крайне затруднителен. Необходим целенаправленный перебор.

Симплекс – метод то упорядоченный переход от одного опорного решения к другому (от одной вершины к другой) до тех пор, пока не придем к оптимальному решению.

Пример 7.1. Максимизировать целевую функцию

= −4 + 5 →

при ограничениях

1 + 4 − 2 5 = 12 − 2 4 + 5 = 23 + 3 4 + 5 = 31 ≥ 0, … , 5 ≥ 0

Решение.

16

17

18

Блок – схема симплекс – метода.

при ограничениях

11 1 + + 1 = 1

… … … … … … … … … … . .

1 1 + + =1 ≥ 0, … , ≥ 0

5). Пусть − свободная переменная в целевой функции с положительным коэффициентом (если таких несколько, то выбираем с большим положительным коэффициентом).

Находим наибольшее значение переменной , при котором остальные переменные остаются неотрицательными (≥ 0).

При этом одна из переменных, например , станет равной нулю, = 0. Свободная переменная → в базисные переменные; базисная переменная → в свободные переменные.

Переходим к блоку 2.

Рассмотренный метод называют также методом последовательного

улучшения плана.

Замечание. В ходе метода последовательного улучшения плана из числа свободных переменных выбирается одна переменная , подлежащая увеличению и включению в число базисных переменных; а из числа базисных переменных одна переменная , становится равной нулю и включается в число свободных переменных.

19

Эту операцию можно провести иначе. 1. Целевую функцию привести к виду

− 1 1 − 2 2 − = 0

Затем выразить через свободные переменные. Среди свободных переменных, входящих в целевую функцию, выбрать такую переменную , коэффициент при которой отрицательный.

2. В системе ограничений найти отношение свободных членов к положительным коэффициентам при и выбрать из них минимальное, которое и определяет выбор переменной .

Симплекс – таблица.

Метод последовательного улучшения плана связан с эквивалентными преобразованиями задачи, которые целесообразно проводить не с самими уравнениями, а с таблицами, составленными из коэффициентов при переменных.

Требуется решить ОЗЛП. Целевая функция

= ∙ →

Система ограничений

∙ =

≥ 0

где

= − ранг матрицы А; = − − число степеней свободы.

1, … − базисные переменные;+1, … − свободные переменные.

Целевую функцию преобразовать к виду

+ +1 +1 + + = 0

(т.е. выразить базисные переменные через свободные и перенести влево).

Составить начальную таблицу, строки которой будут соответствовать коэффициентам при переменных системы ограничений, а последняя строка – коэффициенты целевой функции.

20