чм4
.pdfМинистерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ» (ТУСУР)
Кафедра комплексной информационной безопасности электронновычислительных систем (КИБЭВС)
ЧИСЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ.
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ Отчёт по лабораторной работе №4
по дисциплине «Численные методы»
Студент гр. 713-1
________ В.С. Колосова
________
Принял Старший преподаватель кафедры КИБЭВС
_________ Е.С. Катаева
________
Томск 2024
Введение
В ходе выполнения лабораторной работы необходимо написать программу для численного вычисления определённого интеграла и исследовать точность вычислений при разном числе разбиений, для различных методов численного дифференцирования, для методов группы Рунге-Кутта для численного решения дифференциального уравнения первого порядка (задачи Коши).
2
2 ХОД РАБОТЫ
2.1 Численное интегрирование
Для решения первого задания использовались формулы левых, правых прямоугольников, формула метода трапеций, формула метода Симпсона
(рисунки 2.1 – 2.4). На рисунке 2.5 представлен пример работы программы. В
таблице 2.1 представлены все результаты работы программы для = ∑42 cos(0.56 ) ∙ ln(0.52 ) . Листинг программы представлен в приложении А.
Рисунок 2.1 – Формула левых прямоугольников
Рисунок 2.2 – Формула правых прямоугольников
Рисунок 2.3 – Формула метода трапеций
Рисунок 2.4 – Формула метода Симпсона
Где – шаг между значениями , – число разбиений интервала, –
значение в точке .
3
Рисунок 2.5 – Пример работы программы
Таблица 2.1 – Результаты работы программы
|
n=6 |
n=40 |
n=120 |
n=400 |
|
|
|
|
|
Метод левых |
-0,138 |
-0,199 |
-0,207 |
-0,210 |
прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод правых |
-0,296 |
-0,223 |
-0,215 |
-0,212 |
прямоугольников |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод трапеций |
-0,217 |
-0,211 |
-0,211 |
-0,211 |
|
|
|
|
|
Метод Симпсона |
-0,211 |
-0,211 |
-0,211 |
-0,211 |
|
|
|
|
|
Исходя из результатов работы программы, можно сделать вывод, что метод Симпсона является более предпочтительном способом интегрирования из-за точности полученных значений.
4
2.2 Численное дифференцирование
Для решения второго задания использовались формулы правых, левых и центральных разностных производных (рисунок 2.6 – 2.8). На рисунке 2.9
представлен пример работы программы. В таблице 2.2 представлены все результаты работы программы для ( ) = 3 − 22 + 5. Листинг программы представлен в приложении Б.
Рисунок 2.6 – Формула правых разностных производных
Рисунок 2.7 – Формула левых разностных производных
Рисунок 2.8 – Формула центральных разностных производных
Где – шаг для вычисления разделенной разности, ′( ) – значение производной.
Рисунок 2.9 – Пример работы программы
5
Таблица 2.2 – Результаты работы программы
Аналитический |
Точное |
Левая |
Правая |
Центральная |
вид заданной |
значение |
разность |
разность |
разность |
функции |
производной |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) = 3 − |
-1,000 |
-1,090 |
-0,890 |
-0,990 |
2 2 + 5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сравнивая полученные приблизительные значения с точным, можно сделать вывод, что наиболее приближенное к точному значение можно получить с помощью метода центральных разностней.
6
2.3 Численное решение дифференциального уравнения (задача
Коши
Для решения третьего задания использовались формулы метода Эйлера,
Рунге-Кутта 2 и 4 порядка (рисунок 2.10 – 2.12). На рисунке 2.13 представлен пример работы программы. В таблице 2.3 представлены все результаты работы программы для ′ = 3. Листинг программы представлен в приложении В.
Рисунок 2.10 – Формула метода Эйлера
Рисунок 2.11 – Формула метода Рунге-Кутта 2 порядка
Рисунок 2.12 – Формула метода Рунге-Кутта 4 порядка
Где – шаг между значениями , – значение в точке .
7
Рисунок 2.13 – Пример работы программы
Таблица 2.3 – Результаты работы программы
|
Решение методом |
|
Решение методом |
Решение методом |
|||
Точное решение |
|
Рунге-Кутта 2 |
Рунге-Кутта 4 |
||||
Эйлера |
|
||||||
|
|
порядка |
порядка |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
( 0) решение |
1(̃ |
0) |
|
2(̃ |
0) |
4(̃ |
0)4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,015 |
1 |
|
|
1,015 |
|
1,015 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,062 |
1,03 |
|
|
1,062 |
|
1,062 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,145 |
1,092 |
|
|
1,144 |
|
1,145 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,271 |
1,19 |
|
|
1,27 |
|
1,271 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,455 |
1,333 |
|
|
1,453 |
|
1,455 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,716 |
1,533 |
|
|
1,713 |
|
1,716 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,085 |
1,809 |
|
|
2,079 |
|
2,085 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,612 |
2,189 |
|
|
2,599 |
|
2,612 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,37 |
2,714 |
|
|
3,346 |
|
3,37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
4,482 |
3,446 |
4,436 |
4,482 |
|
|
|
|
6,141 |
4,48 |
6,052 |
6,141 |
|
|
|
|
8,671 |
5,959 |
8,5 |
8,67 |
|
|
|
|
12,616 |
8,104 |
12,284 |
12,615 |
|
|
|
|
18,916 |
11,265 |
18,265 |
18,912 |
|
|
|
|
29,224 |
15,996 |
27,936 |
29,216 |
|
|
|
|
46,525 |
23,194 |
43,944 |
46,506 |
|
|
|
|
76,325 |
34,328 |
71,075 |
76,281 |
|
|
|
|
129,024 |
51,835 |
118,176 |
128,922 |
|
|
|
|
224,753 |
79,826 |
201,951 |
224,512 |
|
|
|
|
403,429 |
125,326 |
354,625 |
402,854 |
|
|
|
|
На основе полученных результатов построены совместные графики полученных значений (зеленый цвет) с точными значениями (красный цвет) (рисунки 2.14 – 2.16).
Рисунок 2.14 – Совместный график точных решений с решениями метода Эйлера
9
Рисунок 2.15 – Совместный график точных решений с решениями методом Рунге-Кутта 2 порядка
Рисунок 2.16 – Совместный график точных решений с решениями методом Рунге-Кутта 4 порядка
10