МИНОБРНАУКИ РОССИИ

«Челябинский государственный университет»

(ФГБОУ ВПО «ЧелГУ»)

Физический факультет

Кафедра радиофизики и электроники

ОТЧЕТ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3_1

ТЕМА: Линейные цепи. Резонансные RLC цепи.

ВЫПОЛНИЛ СТУДЕНТ
Агеев А.А.
Академическая группа	ФФ-204	Курс	2
(подпись) « » 2024г.
ПРОВЕРИЛ
Зотов И.С.
ОЦЕНКА:
(подпись) « » 2024г.

Челябинск

2024

Лабораторная работа №3. Линейные цепи. Резонансные rlc цепи.

Цель работы: На практике апробировать математический аппарат, описывающий резонансные RLC цепи.

Оборудование:

Краткая теория:

В данной работе будут рассмотрены простейшие резонансные цепи.

3. Резонансные цепи. Последовательный колебательный контур.

Рассмотрим схему последовательного колебательного контура (рис.8). Как следует из названия, цепь представляет собой делитель напряжения, состоящий из трех последовательно соединенных элементов: резистора, конденсатора и катушки индуктивности.

Рис.8. Последовательный колебательный контур.

В зависимости от схемы включения резистор может выполнять несколько функций. В первом случае он выполняет виртуальную функцию (не существует в реальной цепи) и моделирует активные потери неизбежно присутствующие в колебательном контуре в виде тепла выделяемого на проводниках. Во втором случае резистор представляет собой нагрузочное сопротивление последующего каскада, влияние которого непременно необходимо учитывать в расчетах параметров колебательного контура (рассмотрим этот вопрос далее). В третьем случае, в процессе проведения лабораторной работы с резистора удобно снимать напряжение, которое будет пропорционально току, протекающему в колебательном контуре Ur=IR., т.о. резистор представляет собой датчик тока, по которому можно отслеживать колебательные процессы, происходящие в контуре.

Колебательный контур представляет собой резонансную цепь. Это значит, что существует некоторая резонансная частота ω_о, при которой общее сопротивление контура имеет минимальные значения, а следовательно ток протекающий в контуре максимален (рис.9).

Рис.9. Пример осциллограммы сигналов на входе и выходе последовательного колебательного контура при разных значениях частоты: 70, 150, 200Гц.

На осциллограммах отчетливо наблюдается резонанс в районе ω_о = 150-160Гц, напряжение на выходе Uout, а следовательно и ток протекающий в контуре на этих частотах близки к максимальным значениям. Из осциллограмм также можно заметить, что кроме изменения амплитуды сигнала происходит изменение его фазы. На низких частотах выходной сигнал Uout отстает от входного Uin по фазе, а на высоких частотах опережает его, при этом совпадение фаз наблюдается на резонансной частоте ω_о.

Для делителя напряжения представляющего собой последовательный колебательный контур импеданс цепи (полное общее сопротивление) определяется выражением:

Z = R+ iωL+1/iωC (12)

Очевидно, что ток, протекающий в контуре максимален при минимальном сопротивлении Z=R, это выполняется при выполнении условия iωL+1/iωC = 0 на резонансной частоте:

(13)

Амплитудно-частотная характеристика последовательного колебательного контура может иметь ярко вороженный резонансный характер (рис.12, 13) либо иметь вид характерный для аналоговых фильтров (рис.10, 11). Конкретный вид АЧХ полностью определяется параметрами её составных элементов (R L C) и схемой их соединения (а точнее сказать тем, с какого именно элемента снимается выходной сигнал Uout). Здесь можно выделить четыре основных схемы использующих физические процессы, происходящие в последовательном колебательном контуре: LC-фильтр низких частот, LC-фильтр высоких частот, полосовой фильтр, режекторный (заграждающий) полосовой фильтр.

LC-фильтр нижних частот (рис.10) представляет собой последовательно соединенные катушку индуктивности и конденсатор, выходное напряжение снимается с конденсатора параллельно которому подключено нагрузочное сопротивление, имитирующее следующие за фильтром электронные каскады. Нагрузочное сопротивление достаточно сильно влияет на параметры фильтра: частоту среза и резонансный характер АЧХ.

Рис.10. Фильтр нижних частот, пример АЧХ LC-фильтра.

На низких частотах действует емкостное сопротивление, индуктивное сопротивление мало поэтому сигнал без каких либо искажений проходит через такой фильтр. На высоких частотах, наоборот емкостное сопротивление мало и в основном действует индуктивное сопротивление препятствующее прохождению сигнала через фильтр. На частотах близких к резонансу наблюдается резкое увеличение амплитуды выходного сигнала (происходит резонанс напряжений), при этом вид и положение резонансной кривой полностью определяется параметрами цепи (R L C).

LC-фильтр высоких частот (рис.11) представляет собой последовательно соединенные конденсатор и катушку индуктивности, выходное напряжение снимается с катушки индуктивности параллельно которой подключено нагрузочное сопротивление.

Рис.11. Фильтр верхних частот, пример АЧХ LC-фильтра.

На низких частотах индуктивное сопротивление мало и в основном действует емкостное сопротивление препятствующее прохождению сигнала через цепь. На высоких частотах наоборот, в основном действует индуктивное сопротивление, а емкостное сопротивление мало, поэтому сигнал без каких либо искажений проходит через такой фильтр. На частотах близких к резонансу наблюдается резонанс напряжений.

LC- полосовой фильтр (рис.12) представляет собой последовательно соединенные конденсатор. Катушку индуктивности и резистор, выходное напряжение снимается с резистора.

Рис.12. Последовательный колебательный контур, пример АЧХ полосового LC- фильтра.

На низких частотах действует емкостное сопротивление, на высоких частотах действует индуктивное сопротивление, поэтому изменяя значения элементов (R L C) колебательной системы можно получать АЧХ с необходимыми параметрами: требуемой ширины (узкополосный фильтр либо широкополосный фильтр), амплитуды, резонансной частоты.

LC- режекторный фильтр (рис.13) представляет собой последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности. Выходное напряжение снимается с двух последовательно соединенных элементов: конденсатора и катушки.

Рис.13. Фильтр нижних частот, пример АЧХ режекторного LC-фильтра.

На резонансной частоте сопротивление колебательного контура минимально и стремится к нулю, следовательно и сигнал на выходе такой цепи также будет стремится к нулю, таким образом режекторный фильтр «вырезает» определенную полосу частот. Изменяя значения элементов (R L C) колебательной системы можно получать АЧХ с необходимыми параметрами: требуемой ширины (узкополосный фильтр либо широкополосный фильтр), амплитуды, резонансной частоты.

Во всех выше пересиленных схемах комплексная частотная характеристика находится из условия равенства токов протекающих в контуре.

Uin/Zin = Uout/Zout ()

Далее поставляются значения активных и реактивных сопротивлений (R, 1/iwC, iwL) элементов образующих цепь, после чего определяется комплексная частотная характеристика конкретной цепи:

K(ω)=Uout/Uin= Zout/Zin ()

Переходная характеристика последовательного колебательного контура.

Поведение последовательного колебательного контура полностью описывается дифференциальным уравнением вида:

(14)

Если на вход резонансной цепи подать функцию Хевисайда σ(t) (единичную ступеньку) то в колебательном контуре возникнет затухающий колебательный процесс, представляющий собой реакцию цепи на ступенчатое входное воздействие – переходная характеристика последовательного колебательного контура.

С учетом выше сказанного, а также введя следующие обозначения 2α = R/L дифференциальное уравнение (9) примет вид:

(15)

Решая это уравнение, мы найдем переходную характеристику последовательного колебательного контура:

(16)

Этот выражение описывает экспоненциально затухающий колебательный переходной процесс, происходящий при обмене энергией между катушкой индуктивности и конденсатором (рис.10).

Рис.10. Реакция резонансной цепи g(t) на ступенчатое входное воздействие σ(t) (переходная характеристика последовательного колебательного контура).

Скорость затухания собственных колебаний в резонансной цепи определяется (помимо очевидного соотношения 2α = R/L) такой важной характеристикой колебательной системы как добротность. В переводе с английского добротность – качество. Можно сказать, что добротность показывает на сколько качественная колебательная система, во сколько раз энергия запасенная в колебательной системе больше чем потери за один период колебаний. Добротность является безразмерной величиной и для последовательного колебательного контура определяется выражением:

(17)

Рис.11.

Добротность колебательной системы можно экспериментально оценить с точностью до множителя 2π по переходной характеристики энергии W затухающего колебательного процесса.

Рис.12

Также добротность колебательного контура можно экспериментально определить по амплитудно-частотной характеристики, из которой находят резонансную частоту fp и полосу пропускания ∆f, определяемую как ширина резонансной кривой при амплитуде 1/√2≈0.7. Далее находят добротность колебательного контура как: Q = fр/∆f