Математика / 3 семестр / 1 МОДУЛЬ Дифференциальные уравнения / Терехина Фикс - Дифференциальные уравнения
.pdf
3) zAPISYWAEM SISTEMU ODNORODNYH ALGEBRAI^ESKIH URAWNENIJ
8 (a1 ; k)r1 + b1r2 = 0 |
|
< a2r1 |
+ (b2 ; k)r2 |
: |
|
pODSTAWLQQ W \TU SISTEMU POO^EREDNO ZNA^ENIQ k = k1 k = k2, NA- |
|
HODIM DLQ KAVDOGO SWOE r1 |
r2. |
oTMETIM, ^TO DANNAQ ODNORODNAQ SISTEM W SILU RAWENSTWA NUL@ EE OPREDELITELQ IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO NENULEWYH RE[ENIJ, IZ KOTORYH NAS USTRAIWAET L@BAQ PARA.
4) wYPISYWAEM FUNDAMENTALXNU@ SISTEMU RE[ENIJ I OB]EE RE- [ENIE SISTEMY SOGLASNO TEOREME O EGO STRUKTURE. nA \TOM \TAPE I WOZNIKA@T N@ANSY, SWQZANNYE S WIDOM KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ. pRI \TOM SLU^AJ RAZLI^NYH DEJSTWITELXNYH KORNEJ QW- LQETSQ NAIBOLEE PROSTYM W REALIZACII DAVE I DLQ SISTEM BOLEE WY- SOKOGO PORQDKA. nAIBOLX[U@ SLOVNOSTX PREDSTAWLQET SLU^AJ KRAT- NYH KORNEJ.
nAJDEM METODOM |JLERA RE[ENIQ SLEDU@]IH SISTEM.
8 x = 6x ; 8y
2 nAJTI OB]EE RE[ENIE SISTEMY < y = ;x + 4y:
zAPISYWAEM HARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE DLQ ^EGO WYPISYWAEM
: ,
MATRICU DANNOJ SISTEMY, OT \LEMENTOW GLAWNOJ DIAGONALI OTNIMAEM ^ISLO k I PRIRAWNIWAEM K NUL@ OPREDELITELX POLU^ENNOJ MATRICY
|
6 |
; k |
|
|
;8 |
= 0 |
||
(6 |
|
;1 |
2 |
|
4 ; k |
|
|
|
; k)(4 ; k) ; 8 = 0 |
k |
|
; 10k + 16 = 0 k1 = 2 k2 = 8: |
|||||
sISTEMA DLQ NAHOVDENIQ ZNA^ENIJ KO\FFICIENTOW r1 r2: |
||||||||
8 |
(6 ; k)r1 ; 8r2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
< |
;r1 + (4 ; k)r2 = 0: |
|
|
|
|
|
|
|
: |
k = k1 = 2 IMEEM SISTEMU |
8 |
4r1 |
; |
8r2 = 0 |
|||
pRI |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
< ;r1 + 2r2 = 0: |
|||
uRAWNENIQ SISTEMY QWLQ@TSQ LINEJNO: ZAWISIMYMI, SISTEMA IMEET
BES^ISLENNOE MNOVESTWO RE[ENIJ. oSTAWLQEM WTOROE URAWNENIE, IZ KOTOROGO POLU^AEM SWQZX MEVDU r1 I r2: r1 = 2r2:
oDNO NEIZWESTNOE WYBIRAEM PROIZWOLXNO. nAPRIMER, POLAGAQ r1 = 2 ,
148
POLU^IM r2 = 1: pERWAQ PARA FUNKCIJ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMY x1(t) = 2e2t y1(t) = e2t:
pRI |
k = k2 = 8 IMEEM SISTEMU |
8 |
;2r1 |
; 8r2 = 0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
< |
;r1 |
; 4r2 = 0: |
|
|
|
|
|
|
||||
aNALOGI^NO PREDYDU]EMU SLU^A@ |
IMEEM |
: r1 |
= ;4r2 : |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
:, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rE[ENIEM MOVET SLUVITX PARA |
r1 = 4 r2 |
8=t |
;1. |
wTORAQ PARA |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
8t |
|
||||||||
FUNKCIJ FUNDAMENTALXNOJ SISTEMY x2(t) = 4e |
|
y2(t) = ;e |
|
: |
||||||||||||
oB]EE RE[ENIE SISTEMY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
8 |
x(t) = C1x1(t) + C2x2(t) |
= |
8 |
x(t) = 2C1e2t + 4C2e8t |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2t |
; C2e |
8t |
: |
|
|
||||
|
|
< y(t) = C1y1(t) + C2y2(t) |
) < y(t) = C1e |
|
|
|
||||||||||
|
|
: |
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oTMETIM, ^TO METOD |JLERA QWLQETSQ DOSTATO^NO GROMOZDKIM DLQ |
||||||||||||||||
SLU^AQ KRATNYH I KOMPLEKSNYH KORNEJ HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNE- |
||||||||||||||||
NIQ. pRIWEDEM BOLEE PROSTOJ (SME[ANNYJ) SPOSOB RE[ENIQ. |
|
|
||||||||||||||
|
3. |
rE[ITX SISTEMU 8 x = x + 2y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
< y = ;2x + 5y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE SISTEMY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 ; k |
2 |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
;2 |
5 ; k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 ; k)(5 ; k) + 4 = 0 k2 ; 6k + 9 = |
0 k1 = k2 = 3: |
|
|
|
|
|
|||||||||
pOSLE NAHOVDENIQ KORNEJ k1 2 = 3 HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENI- ^Q ZAPISYWAEM ODNU IZ FUNKCIJ (K PRIMERU x(t)) OB]EGO RE[ENIQ
SISTEMY
x(t) = (C1 + C2t)e3t
wTORU@ FUNKCI@ |
y(t) |
OPREDELIM, KAK I W METODE ISKL@^ENIQ, IZ |
||
1-GO URAWNENIQ |
y = |
1 |
(x ; x) |
|
2 |
|
|||
nAHODIM PROIZWODNU@ |
x(_t) = C2e3t+3 (C1 + C2t) e3t = (3C1 + C2 + 3C2t) e3t |
|||
I PODSTAWLQEM W WYRAVENIE DLQ y(t). pOLU^IM |
|
|||
1 |
|
|
|
1 |
y(t) = 2 (3C1 + C2 + 3C2t)e3t ; (C1 + C2t)e3t = |
2 ((2C1 + C2) + 2C2t) e3t |
|||
|
|
|
|
149 |
iTAK, OB]EE RE[ENIE SISTEMY
|
|
|
|
|
8 x(t) = (C1 + C2t)e3t |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
> y(t) = 1 ((2C1 + C2) + 2C2t) e3t: |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
8 x = 7x |
; y |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. rE[ITX SISTEMU |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
< y = 13x + 3y |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
hARAKTERISTI^ESKOE URAWNENIE SISTEMY I EGO KORNI: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
7 ; k |
;1 |
|
|
= 0 |
(7 ; k)(3 ; k) + 13 = 0 k1 2 |
= 5 |
|
3i: |
|||||||
|
|
13 3 ; k |
|
|
|
|
k2 ; 10k + 34 = 0 |
|
|
||||||||
sOSTAWLQEM cISTEMU DLQ NAHOVDENIQ ZNA^ENIJ KO\FFICIENTOW r1 r2. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
(7 ; k)r1 |
; r2 = 0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
13r1 + (3 ; k)r2 = 0: |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
; |
|
|
; r2 = 0 |
|
|
|
pODSTAWIM |
k = 5 + 3i, IMEEM 8 |
(2 |
3i)r1 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
13r1 |
; |
(2 + 3i)r2 = 0: |
|
|
|
||
sISTEME UDOWLETWORQET PARA ^ISEL |
r1 |
|
r2 = 2 ; 3i: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
= 1 |
|
|
||||
dALEE ISPOLXZUEM SME[ANNYJ METOD. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
pO NAJDENNYM KORNQM HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ |
k1 2 = 5 3i |
||||||||||||||||
ZAPISYWAEM ODNU IZ FUNKCIJ OB]EGO RE[ENIQ SISTEMY |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x(t) = e5t(C1 cos 3t + C2 sin 3t): |
|
|
|
||||||||||
iZ PERWOGO URAWNENIQ SISTEMY NAHODIM WTORU@ FUNKCI@ |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x = 7x ; y ) y = 7x ; x = |
|
|
|
||||||||
|
|
= 7e5t(C1 cos 3t + C2 sin 3t) |
; |
5e5t(C1 cos 3t + C2 sin 3t); |
|
||||||||||||
|
|
|
= e5t |
|
|
;e5t(;3C1 sin 3t + 3C2 cos 3t) = |
|
|
|
||||||||
|
|
|
((2C1 ; 3C2) cos 3t + (;3C1 + 2C2) sin 3t): |
|
|
||||||||||||
oB]EE RE[ENIE SISTEMY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
8 |
x(t) = e5t(C1 cos 3t + C2 sin 3t) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
5t |
((2C1 ; 3C2) cos 3t + (;3C1 + 2C2) sin 3t): |
|
|||||||||
|
|
< y(t) = e |
|
|
|||||||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rASSMOTRIM RE[ENIE NEODNORODNYH SISTEM.
150
5. nAJTI OB]EE RE[ENIE NEODNORODNOJ SISTEMY rE[IM SISTEMU METODOM ISKL@^ENIQ
8 x = ;4y + 6 cos t
< y = x:
a) : t: pRODIFFERENCIRUEM PERWOE URAWNENIE PO
x = ;4y ; 6 sin t:
b) zNA^ENIE y PODSTAWIM IZ WTOROGO URAWNENIQ
x = ;4x ; 6 sin t: tAKIM OBRAZOM, IMEEM NEODNORODNOE URAWNENIE
x + 4x = ;6 sin t:
oB]EE RE[ENIE SOOTWETSTWU@]EGO ODNORODNOGO URAWNENIQ: KORNI HA- RAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ
k2 + 4 = 0 k1 2 = 2i : |
|
(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t: |
x |
~ASTNOE RE[ENIE URAWNENIQ I]EM PO WIDU PRAWOJ ^ASTI
x = A cos t + B sin t:
pOSLE PODSTANOWKI W URAWNENIE I NAHOVDENIQ NEOPREDELENNYH KO\F- FICIENTOW IMEEM
x = ;2 sin t:
iTAK, x(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t ; 2 sin t: iZ PERWOGO URAWNENIQ SISTEMY IMEEM
y =
oTWET:
1 |
(;x + 6 cos t) = |
1 |
(2C1 sin 2t ; 2C2 cos 2t + 2 cos t + 6 cos t) |
4 |
4 |
= 12(C1 sin 2t ; C2 cos 2t + cos t + 3 cos t):
8 x(t) = C1 cos 2t + C2 sin 2t ; 2 sin t |
||||
< |
|
|
|
|
> y(t) = |
1 |
(C1 sin 2t |
; |
C2 cos 2t + cos t + 3 cos t): |
> |
2 |
|
151 |
|
: |
|
|
|
|
6. nAJTI OB]EE RE[ENIE NEODNORODNOJ SISTEMY |
|
|||||||||||||
|
|
8 x = 2x + y + t |
; 1 |
|
|
|
||||||||
|
|
< y = ;x + 4y ; 5t + 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rE[AEM SNA^ALA ODNORODNU@ SISTEMU METODOM |JLERA 8 x = 2x + y |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< y = ;x + 4y |
|
4 ; k |
;1 |
|
= 0 k2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
; |
6k + 9 = 0 k1 = k2 = 3: |
|||||||||||
|
1 |
2 ; k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) = e |
(C1 |
+ C2t): |
||||
zAPI[EM WYRAVENIE DLQ FUNKCII x(t) |
|
|
||||||||||||
iZ PERWOGO URAWNENIQ ODNORODNOJ SISTEMY IMEEM
y = x;2x = e3t((3C1 + C2) + 3C2t) ;2C1 ;2C2t) = e3t((C1 + C2) + C2t):
8 x(t) = e3t(C1 + C2t)
< y(t) = e3t((C1 + C2) + C2t)
:
zAPI[EM WYRAVENIQ DLQ ^ASTNYH RE[ENIJ PO WIDU PRAWOJ ^ASTI
URAWNENIJ, KOTORYE QWLQ@TSQ MNOGO^LENAMI 1-OJ STEPENI. tAK KAK ^ISLO "0" NE QWLQETSQ KORNEM HARAKTERISTI^ESKOGO URAWNENIQ, TO
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = At + B |
|
|
|
y = Ct + D: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
tOGDA |
|
|
(x )0 = A |
|
(y )0 |
= C: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
pODSTAWLQEM W SISTEMU |
|
8 |
A = 2At + 2B + Ct + D + t ; 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< |
C = |
|
|
|
|
At |
B + 4Ct + 4D |
|
|
5t + 1: |
||||||
8 |
t( |
; |
2A |
; |
C) + ( |
; |
A |
; |
2B |
|
:D) = t; |
|
1; |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
< t(A |
; 4C) + (C + B ; 4D) = ;5t + 1: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
: |
; |
2A |
; |
C = 1 |
; |
A |
; |
2B |
; |
D = |
; |
1 |
|
8 |
A = |
; |
1 B = 0 |
|
||||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0: |
|
||||||||||||||||
< |
A ; 4C = ;5 C |
+ B ; |
4D = 1: |
|
|
|
< C = 1 D |
|
||||||||||||||||||||||
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ASTNYE RE[ENIQ SISTEMY |
|
y = t |
|
x = ;t: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
oB]EE RE[ENIE SISTEMY 8 |
|
|
|
|
|
3t |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ t |
|
|||||||||||||||||||
x(t) = x(t) + x = (C1t + C2)e |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3t |
; t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
< y(t) = y(t) + y = (C1t + C2 |
; C1)e |
|||||||||||||||||
w \LEKTRO I RADIOTEHNIKE:PRI RAS^ETAH \LEKTRI^ESKIH CEPEJ I KON- TUROW [IROKO ISPOLXZUETSQ OPERACIONNYJ METOD RE[ENIQ LINEJNYH DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ I SISTEM.
152