Математика / 3 семестр / 1 МОДУЛЬ Дифференциальные уравнения / Терехина Фикс - Дифференциальные уравнения

7: y00 + 6y0 + 13y = 0:

)

k2 + 6k + 13 = 0

)

y00 + 6y0 + 13y = 0

;3 p

= ;3 p

=

k1 2 =

9 ;

13

;4

;3

2 i

(D < 0

k1 2 = i)

= ;3 = 2

Y = e;3x(C1 cos 2x + C2 sin 2x):

8: y00 ; y0 + y = 0:

k2 ; k + 1 = 0

y00 ; y0

+ y = 0

)

)

1

p

1

4

1

p

3

1

p

3 i

1

p

3

k1 2 =

;

=

;

=

=

2 i

2

2

2

2

(D < 0

k1 2 = i)

= 1=2 = p3=2

Y = ex=2 0C1 cos p

3

x

+ C2 sin p

3

x1 :

@

2

2

A

9: y00 + 25y = 0:

y00 + 25y = 0

)

k2 + 25 = 0

)

k2 =

;25

) k1 2 = 5 i

(D < 0

k1 2

= i)

= 0 = 5

Y = C1 cos 5x + C1 sin 5x:

10: 2y00 + 5y = 0:

) k1 2 = q

2y00 + 5y = 0

)

2k2 + 5 = 0

)

k2 =

;5=2

5=2

i

= 0 = q

(D < 0

k1 2

= i)

5=2

5

5

x:

Y = C1 cos q2

x + C1 sin q2

11: y00 ;

2y0 + y = 0

y(0) = 4

y0(0) = 2:

nAHODIM SNA^ALA OB]EE RE[ENIE

y00 ; 2y0 + y = 0 ) k2

; 2k + 1 = 0

)

(k ;

1)2x= 0 ) k1 2 = 1:

oB]EE RE[ENIE:

Y = e (C1 + C2x):

8

nAHODIM ZNA^ENIQ KONSTANT:

8

x

<

Y = ex(C1

+ C2 x)

)

y(0) = 4

)

Y 0 = e (C2x + C1 + C2)

< y0(0) = 2

:

:

8

0

0)

8

4 = e0(C1 + C2

)

C1 = 4

)

C1 = 4

<

2 = e (C2 0 + C1 + C2)

<

C1 + C2 = 2

C2 = ;2:

:

:

x

oTWET: ^ASTNOE RE[ENIE

Y = e (4 ; 2x):

rASSMOTRIM URAWNENIQ WIDA

ay00 + b y0 + c y = f(x)

GDE p q POSTOQNNYE ^ISLA, A f(x)

NEKOTORAQ NEPRERYWNAQ, ILI KU-

SO^NO { NEPRERYWNAQ FUNKCIQ.

uRAWNENIE ay00 + b y0 + c y = 0

S TEMI VE KO\FFICIENTAMI, NO

C1(x) C2(x) IMEEM SISTEMU

8

C0

(x) y1

+ C0

(x) y2 = 0

=

C0

(x) C0 (x):

1

(x) y0

2

(x) y0 = f(x)

C0

+ C0

)

1

2

<

1

1

2

2

fUNKCII:

C1(x) C2(x) NAHODIM POSLEDU@]IM INTEGRIROWANIEM.

8

C1(x) =

R

C1(x) dx + C1

C2(x) =

C0 (x) dx

+ C2

<

R

2

3)

:

PODSTAWLQEM W OB]EE RE[ENIE

|TI WYRAVENIQ DLQ C1(x) C2(x)

1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ

) k1 = 0 k2 = 1:

y00 ; y0 = 0 ) k2

; k = 0

) k(k ; 1) = 0

x

Y

x

:

y1 = 1 y2 = e

)

= C1 + C2e

C2 = C2(x) I OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO

2) pOLAGAEM C1 = C1(x)

8

C0

(x)y1

+ C0

(x)y2 = 0

8

C0

(x) 1 + C0

(x) ex = 0

1

2

)

1

2

(x) ex = e2x cos ex

C0

(x)y0

+ C0

(x)y0 = f(x)

C

0

(x)

0 + C0

<

1

1

2

2

<

1

2

:

WY^ITAEM IZ 1 ; GO

)

C:0

=

;

e2x cos ex:

)

URAWNENIQ 2 ; E

1

e2x cos ex

C0

;

x

x

1-GO URAWNENIQ

=

1

=

= e

:

tOGDA IZ

C0

; ex

;

ex

cos e

2

iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA,

OPREDELIM

C1(x) = ; Z e2x cos exdx=

; Z ex cos exd(ex) = ;ex sin ex ; cos ex +

:

C1

C2(x) = Z ex cos exdx = Z

cos ex d(ex) = sin ex +

:

C2

13: y00

+ y =

p

1

:

cos

2x

1) nAHODIM RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ

y00 + y = 0

)

k2 + 1 = 0

) k1 2 = i

y1 = cos x

y2 = sin x

)

Y

= C1 cos x + C2 sin x:

2) pOLAGAEM C1 = C1(x)

C2 = C2(x)

I OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO

URAWNENIQ I]EM W WIDE Y

= C1(x) cos x + C2(x) sin x: pROIZWODNYE

FUNKCIJ C1(x) C2(x) DOLVNY UDOWLETWORQTX SISTEME

8

C0

(x) cos x +

C0 (x) sin x = 0

(cos x)

1

2

1

C0

(x)(

sin x) + C0 (x) cos x =

:

(sin x)

>

1

2

<

;

pcos 2x

>

:

1-GO URAWNENIQ WTOROE, POLU^AEM

pOSLE UMNOVENIQ WY^ITAEM IZ

C0 (cos2 x

+ sin2 x) =

;

sin x

)

C0

=

;

sin x

:

1

pcos 2x

1

pcos 2x

C0

cos x

cos x

tOGDA IZ 1-GO URAWNENIQ WYRAVAEM

C0

=

1

=

:

;

pcos 2x

2

sin x

iNTEGRIRUQ POLU^ENNYE RAWENSTWA, OPREDELIM

C1(x) =

Z

C0

(x) dx =

; Z

sin x dx

=

Z

d(cos x)

=

pcos 2x

p2 cos2 x

1

;

1

1

ln j p2 cos x + p2 cos2 x ; 1j + C1 :

= p

2

C2(x) =

Z

C

0 (x) dx =

Z

cos x dx

=

Z

d(sin x)

=

pcos 2x

p1

2

;

2 sin2 x

1

arcsin(p2 sin x) + C2:

= p

2

3) zAPI[EM OB]EE RE[ENIE ISHODNOGO URAWNENIQ

Y =

C1(x) cos x + C2(x) sin x =

1

ln j p2 cos x + p2 cos2 x ; 1j + C1) cos x +

= (p

2

1

arcsin(p2 sin x) + C2! sin x:

+

p

2

rASKRYWAEM SKOBKI, PEREGRUPPIROWYWAEM SLAGAEMYE TAK, ^TOBY

WYDELITX OB]EE RE[ENIE ODNORODNOGO URAWNENIQ I ^ASTNOE RE[ENIE

NEODNORODNOGO:

yOB]EE = C1 cos x + C2 sin x+

1