Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Терехина Фикс - Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

475.36 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

1.2.6. uRAWNENIQ WIDA P (x y) dx + Q(x y) dy = 0	;
URAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH

uRAWNENIE P(x y) dx + Q(x y) dy = 0 QWLQETSQ URAWNENIEM W POL- NYH DIFFERENCIALAH, ESLI WYPOLNQETSQ USLOWIE

@P(x y) = @Q(x y): @y @x

zAMETIM, ^TO WSE RASSMOTRENNYE RANEE URAWNENIQ 1-GO PORQDKA MOV- NO ZAPISATX W DIFFERENCIALXNOJ FORME P (x y) dx + Q(x y) dy = 0, NO NE DLQ WSQKOGO BUDET WYPOLNQTXSQ UKAZANNYJ KRITERIJ.

iNTEGRIROWANIE URAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH PROWODITSQ

SLEDU@]IM OBRAZOM.	@P (x y)		@Q(x y)
1) pROWERQEM WYPOLNENIE USLOWIQ	@P (x y)	=	@Q(x y)	:
	@y		@x

2) eSLI USLOWIE WYPOLNQETSQ, TO LEWAQ ^ASTX URAWNENIQ ESTX POL- NYJ DIFFERENCIAL NEKOTOROJ, POKA NEIZWESTNOJ, FUNKCII U(x y) T.E. P (x y) dx + Q(x y) dy = d U(x y): tOGDA, W SOOTWETSTWII S URAW- NENIEM, dU(x y) = 0 I PO\TOMU OB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH ZAPI[ETSQ W WIDE U(x y) = C:

tAKIM OBRAZOM, RE[ENIE URAWNENIQ SWODITSQ K NAHOVDENI@ FUNKCII

U(x y):

dLQ NAHOVDENIQ FUNKCII U(x y) SRAWNIM WYRAVENIE DLQ POLNOGO

DIFFERENCIALA FUNKCII DWUH PEREMENNYH		dU = @U@x dx + @U@y dy
S LEWOJ ^ASTX@ URAWNENIQ P(x y)dx + Q(x y)dy = dU
MOVEM ZAPISATX, ^TO	@U@x = P (x y)	@U@y = Q(x y):

|TI SOOTNO[ENIQ I ISPOLXZU@TSQ DLQ NAHOVDENIQ FUNKCII U(x y): rASSMOTRIM OSNOWNYE \TAPY \TOGO METODA NA PRIMERAH.

28: 3x2 y + 2y + 3 dx + (x3 + 2x + 3y2) dy = 0:

1) pROWERQEM USLOWIE @P@y = @Q@x
@		3x2 y + 2y + 3 = 3x2 + 2	@		x3 + 2x + 3y2 = 3x2 + 2:

	@y			@x

iTAK, KRITERIJ WYPOLNQETSQ NA WSEJ PLOSKOSTI. dANNOE URAWNENIE

108

QWLQETSQ URAWNENIEM W POLNYH DIFFERENCIALAH.

2) nAHODIM FUNKCI@

U(x y):

dLQ \TOGO INTEGRIRUEM PO x FUNK-

CI@ P (x y) (\TA FUNKCIQ QWLQETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII U(x y) PO

x). pEREMENNAQ

y PRI \TOM S^ITAETSQ POSTOQNNOJ

U(x y) =

3x2 y + 2y + 3

dx = y

3x2 dx + 2y

dx + 3

dx =

= x y + 2xy + 3x + (y):

zDESX POSTOQNNAQ INTEGRIROWANIQ ZAPISYWAETSQ W WIDE FUNKCII (y) (PROIZWODNAQ \TOJ FUNKCII PO x RAWNA NUL@) I \TA FUNKCIQ PODLE- VIT OPREDELENI@.

3) tAK KAK @U@y = Q(x y)						TO POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ U(x y) :
U(x y) = x3 y + 2xy + 3x + (y)								DIFFERENCIRUEM PO PEREMEN-
NOJ	y	I PRIRAWNIWAEM K FUNKCII						Q(x y):
U0	(x y) = x3 y + 2xy + 3x + (y) 0 = x3 + 2x + 0
y		3						y	y
				2	:
Q(x y) = x + 2x + 3y
iTAK,		x3 + 2x + 0		= x3		+ 2x + 3y2		=	0 = 3y2:
		y						)	y

iNTEGRIRUEM PO y			I POLU^AEM				(y) = Z 3y2 dy = y3:
(pOSTOQNNU@ INTEGRIROWANIQ ZDESX MOVNO NE DOPISYWATX, TAK KAK
NAM NUVNA ODNA IZ PERWOOBRAZNYH).
tOGDA WYRAVENIE DLQ FUNKCII							U(x y) PRIMET WID
		U(x y) = x3 y + 2xy + 3x + y3							I OB]IJ INTEGRAL

URAWNENIQ U(x y) = C ILI x3 y + y3 + 2xy + 3x = C:

oTMETIM, ^TO WSEGDA MOVNO UBEDITXSQ W PRAWILXNOSTI POLU^ENNOGO RE[ENIQ, PRODIFFERENCIROWAW WYRAVENIE DLQ FUNKCII U(x y) PO

PEREMENNYM x I		y I PRIRAWNQW SOOTWETSTWENNO K FUNKCIQM
P(x y) I Q(x y):
x3 y + y3 + 2xy + 3x x0					= 3x2 y + 2y + 3 = P (x y)
x3 y + y3 + 2xy + 3x y0					= x3 + 2x + 3y2 = Q(x y):
pROWERKA PODTWERVDAET PRAWILXNOSTX POLU^ENNOGO RE[ENIQ.
29: 0x1 ;	y2		1 dx + 0			x2		; 1y1 dy = 0:
	(x y)2					(x y)2
@	;		A	@P @			;	A
							@Q
1) pROWERQEM USLOWIE				@y =			@x :

109

2xy

;

= ;

; y1 =

;

y)2

;

y)3

;

y)2

;

y)3

iTAK,

KRITERIJ WYPOLNQETSQ. dANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENI-

EM W POLNYH DIFFERENCIALAH.

2) nAHODIM FUNKCI@

U(x y):

dLQ \TOGO INTEGRIRUEM PO x FUNK-

CI@ P (x y)

(\TA FUNKCIQ QWLQETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII U(x y)

x). pEREMENNAQ y

PRI \TOM S^ITAETSQ POSTOQNNOJ

U(x y) =

1 dx = ln x +

+ (y):

; y

@x ; (x

; y)

3) nAHODIM FUNKCI@

(y) IZ USLOWIQ

Uy0 = Q(x y):

dLQ \TOGO POLU^ENNOE WYRAVENIE DLQ

U(x y) :

U(x y) = ln x +

+ (y)

DIFFERENCIRUEM PO PEREMENNOJ y

x ; y

PRIRAWNIWAEM K FUNKCII

Q(x y):

U0 (x y) = 2y(x ; y) ; y2(;1) +

0 = 2xy ; y2 + 0

; y)2

(x ; y)2

Q(x y) =

; y

;

y)2

tOGDA

2xy ; y

+ 0

= 1

; y)2

(x ; y)2 ; y

)

; y

iNTEGRIRUQ PO

y POLU^IM

(y) =

1 ;

1y! dy = y ; ln y:

(pOSTOQNNU@ INTEGRIROWANIQ ZDESX MOVNO NE DOPISYWATX, TAK KAK

NAM NUVNA ODNA IZ PERWOOBRAZNYH).

tOGDA WYRAVENIE DLQ FUNKCII

U(x y) PRIMET WID

U(x y) = ln x +

+ y ; ln y = ln y +

+ y

;

I OB]IJ INTEGRAL

ln x

URAWNENIQ

U(x y) = C

ILI

= C:

x ; y

sPOSOB 2. mOVNO PREDLOVITX I UPRO]ENNYJ WARIANT RE[ENIQ URAW- NENIQ W POLNYH DIFFERENCIALAH, SHEMA KOTOROGO SOSTOIT W SLEDU@- ]EM.

pUSTX TREBUETSQ RE[ITX URAWNENIE WIDA

P (x y) dx + Q(x y) dy = 0:

110

1) pROWERQEM USLOWIE P 0			= Q0 :
		y	8	x
2) zAPISYWAEM SISTEMU				U0 = P (x y)
2) zAPISYWAEM SISTEMU				x
			<	Uy0 = Q(x y):
			:
3) iNTEGRIRUQ PERWOE URAWNENIE SISTEMY PO x A WTOROE PO y NAHODIM
FUNKCII U1(x y) I U2(x y):
8	U1(x y) =	P (x y)dx
<	U2(x y) =	R Q(x y)dy:
:		R
pRI^EM PERWYJ INTEGRAL BERETSQ W PREDPOLOVENII, ^TO y = const A
WO WTOROM - x = const:
4) zAPISYWAEM FUNKCI@			U(x y) = U1(x y)+ NEDOSTA@]IE SLA-
GAEMYE IZ WYRAVENIQ DLQ			U2(x y):

5) pRIRAWNIWAQ POLU^ENNU@ FUNKCI@ KONSTANTE, POLU^AEM OB]IJ INTEGRAL ISHODNOGO URAWNENIQ U(x y) = C:

z A M E ^ A N I E. pRI RE[ENII URAWNENIJ TAKIM SPOSOBOM OBQZATELXNO NUVNO PROWERITX, UDOWLETWORQET LI POLU^ENNAQ FUNK-


CIQ U	(x y) URAWNENI@, T.E. PROWERITX RAWENSTWA
@U@x = P(x y)		@U@y = Q(x y):

eSLI ^ASTNYE PROIZWODNYE FUNKCII U(x y) NE SOWPADUT S FUNKCIQ- MI P (x y) I Q(x y) TO \TO ZNA^IT, ^TO NE U^TENY OSOBENNOSTI \TIH FUNKCIJ I DANNOE URAWNENIE SLEDUET RE[ITX PERWYM SPOSOBOM.

30: x ey2 dx + x2y ey2 + tg2y dy = 0:
zDESX P (x y) = x ey2	Q(x y) = x2y ey2 + tg2y:
pROWERQEM KRITERIJ P0	= 2xyey2 Q0 = 2xyey2	:
y	x

~ASTNYE PROIZWODNYE RAWNY. dANNOE URAWNENIE ESTX URAWNENIE W POLNYH DIFFERENCIALAH. nUVNO NAJTI FUNKCI@ U(x y): iZ SOOT-

NO[ENIQ U0 = P	(x y) = x ey2							NAHODIM
x						2
U1(x y) = Z x ey	2				x	2	2
	2				x		2
		dx =			2 ey			:
iZ SOOTNO[ENIQ			Uy0		= Q(x y) = x2y ey2 + tg2y NAHODIM
U2(x y) = Z x2y ey			2	+ tg2y				1	2
U2(x y) = Z x2y ey				+ tg2y				dy = x2 2 ey		+ tgy ; y:

111

wIDNO, ^TO WTORAQ FUNKCIQ WKL@^AET W SEBQ PERWU@, PO\TOMU FUNK-
x2		y2	+ tgy ; y:
CIQ U(x y) = 2	e		+ tgy ; y:	x2
				x2	y2	+ tgy ; y = C:
oB]IJ INTEGRAL URAWNENIQ U(x y) = C , ILI				2	e	+ tgy ; y = C:

sDELAEM PROWERKU. nAJDEM PROIZWODNYE OT POLU^ENNOJ FUNKCII PO x I PO y I SRAWNIM \TI PROIZWODNYE S FUNKCIQMI P (x y) I Q(x y):

ey2

+ tgy

;

= x ey2 = P (x y):

@x2

A0x

+ tgy y = x

y e

cos2 y ;

1 =

0 2

;

= x2y ey2 + 1 ; cos y = x2y ey2 + tg2y = Q(x y): cos2 y

pROWERKA PODTWERVDAET PRAWILXNOSTX POLU^ENNOGO RE[ENIQ.

1.2.7. oPREDELENIE TIPA URAWNENIQ 1-GO PORQDKA

rE[ENIE L@BOGO DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 1-GO PORQDKA NE- OBHODIMO NA^INATX S OPREDELENIQ EGO TIPA, TAK KAK \TIM OPREDELQ- ETSQ SHEMA EGO DALXNEJ[EGO INTEGRIROWANIQ. tIP URAWNENIQ MOVNO PRAKTI^ESKI WSEGDA OPREDELITX PO EGO ISHODNOJ ZAPISI.

w KAKOM BY WIDE NE BYLO ZADANO URAWNENIE, W PERWU@ O^EREDX NE- OBHODIMO PROWERITX, NE OTNOSITSQ LI ONO K URAWNENI@ S RAZDELQ@- ]IMISQ PEREMENNYMI. eSLI NET, I URAWNENIE ZAPISANO W DIFFEREN- CIALXNOJ FORME f(x y) dx+ g(x y)dy = 0 TO MOVNO SRAZU PROWERITX, NE OTNOSITSQ LI ONO K URAWNENIQM W POLNYH DIFFERENCIALAH. eSLI I \TO NE PROJDET, OSTAETSQ UBEDITXSQ W ODNORODNOSTI ILI LINEJNOSTI URAWNENIQ. kAK PRAWILO, W POSLEDN@@ O^EREDX OSTAETSQ PROWERITX, NE OTNOSITSQ LI URAWNENIE K URAWNENI@ bERNULLI. nE SLEDUET TAKVE ZABYWATX O TOM, ^TO URAWNENIE MOVET BYTX LINEJNYM ILI TIPA bER- NULLI OTNOSITELXNO PEREMENNOJ x: mOVET OKAZATXSQ TAK, ^TO ODNO I TO VE URAWNENIE OTNOSITSQ SRAZU K NESKOLXKIM TIPAM. oPREDELIW TIP URAWNENIQ SLEDUET CELENAPRAWLENNO PREOBRAZOWATX EGO K WIDU, S KOTOROGO NA^INA@TSQ SPECIFI^ESKIE DLQ DANNOGO TIPA URAWNENIQ PRIEMY EGO INTEGRIROWANIQ.

112

rASSMOTRIM PRIMERY NA OPREDELENIE TIPA URAWNENIQ.

1: (y + 1) y0 =	p	y		+ x y:
		1	x2
;

|TO URAWNENIE OTNOSITSQ K TIPU URAWNENIQ S RAZDELQ@]IMISQ PERE- MENNYMI, T.K. POSLE WYNESENIQ W PRAWOJ ^ASTI URAWNENIQ MNOVITELQ y ZA SKOBKU I PREDSTAWLENIQ PROIZWODNOJ W WIDE OTNO[ENIQ DIFFE-

RENCIALOW, PEREMENNYE MOVNO RAZDELITX.

+ x! dx

y + 1

+ x! dx:

(y + 1) dy = y

dy =

1 ; x2

pEREMENNYE RAZDELENY, MOVNO INTEGRIROWATX.

pEREMENNYE MOVNO TAKVE RAZDELITX I W URAWNENIQH:

1) 2(1 ; x2) y0 + x y + x = 0

)

x dx

y + 1

2(1 ; x2)

2) x y0 = ey + 2y0 ) ey =

x ; 2

y dy

3) q5 + y2 + y y0 p1 ; x2 = 0 )

= ;p

5 + y2

;

2: (x y + 2x2) y0 = y (2x ; y):

pEREMENNYE W \TOM URAWNENII NE RAZDELQ@TSQ, NO MOVNO ZAMETITX, ^TO PRI DELENII OBEIH ^ASTEJ URAWNENIQ NA x2 W URAWNENII NE OSTA- NETSQ W ^ISTOM WIDE NI x NI y: uRAWNENIE BUDET SODERVATX KROME PROIZWODNOJ TOLXKO y=x I POSTOQNNYE. |TO ODNORODNOE URAWNENIE. pREVDE, ^EM DELATX PODSTANOWKU, EGO NUVNO PREOBRAZOWATX:

(x y + 2x2) y0 = y (2x	;	y) y0 = y(2x ; y)		y0 = y=x(2 ; y=x)
	;	xy + 2x2		y=x + 2

dALEE IDET PODSTANOWKA y=x = t ::: RAZDELENIE PEREMENNYH I T.D.

oDNORODNYM QWLQETSQ URAWNENIE
	2	cos ln xy ! ) xy = t:
x2 y0 = y2	cos(ln y ; ln x) ) y0 = xy2	cos ln xy ! ) xy = t:

113

3: (2x + y tg x ; x2 tg x) dx = dy:

rAZDELITX PEREMENNYE W URAWNENII NEWOZMOVNO, ODNORODNYM ONO TO- VE NE QWLQETSQ. oDNAKO, MOVNO OTMETITX, ^TO ISKOMAQ FUNKCIQ y WHODIT W URAWNENIE W PERWOJ STEPENI I NA dy NE UMNOVAETSQ. |TO PRIZNAK LINEJNOGO URAWNENIQ OTNOSITELXNO FUNKCII y(x): uRAWNE- NIE NEOBHODIMO PREOBRAZOWATX K "KLASSI^ESKOMU" WIDU LINEJNOGO,

SDELATX PODSTANOWKU y = U(x)V (x) I T.D.

(2x + y tg x ; x2 tg x) dx = dy y0 ; y tg x = 2x ; x2 tg x y = U V:

pRIMERAMI LINEJNYH URAWNENIJ SLUVAT I SLEDU@]IE:
(2x + 1) y0 = 4x + 2y =) y0 ;	2y	=	4x

	2x + 1		2x + 1		x
2(1 ; x2) y0 + x y + x = 0 =)	y0 +		x
				y = ;		:
		2(1 ; x2)			2(1 ; x2)
4: (x + 1) (y0 + y2) = ;y:

|TO URAWNENIE OBLADAET WSEMI PRIZNAKAMI URAWNENIQ bERNULLI. w NEM TRI SLAGAEMYH, IZ KOTORYH ODNO SODERVIT y0, WTOROE { ISKOMU@


FUNKCI@ y	W PERWOJ STEPENI I ^LEN S yk = y2: pEREPI[EM URAWNENIE
		y
W WIDE y0 +			= ;y2. dALEE DELAEM PODSTANOWKU y = U V :::
W WIDE y0 +		1 + x	= ;y2. dALEE DELAEM PODSTANOWKU y = U V :::
pRIMERAMI URAWNENIJ bERNULLI SLUVAT I
y0 = y4 cos x + y tg x					=	y0	;	y tg x = y4 cos x:
2y0 ; 3y cos x = ;e;				2x	)		;	1
2y0 ; 3y cos x = ;e;					(2 + 3 cos x) y;				:

5: sLEDU@]IE URAWNENIQ QWLQ@TSQ LINEJNYMI, NO TOLXKO OT-

NOSITELXNO x.

dx+(xy

;

y3)dy

= 0 =

x0+xy

;

y3 = 0 =

x0+xy = y3 x = U V:

)

(xy +p

) y0 +y2 = 0 =)

(xy+p

)

+y2 = 0 =) x0 + yx = ;

y3=2

(y4ey + 2x) y0 = y =) (y4ey + 2x)

= y =) x0 ; y x = y3ey:

114

6:	uRAWNENIE bERNULLI OTNOSITELXNO x
(2x2 y ln y		;	x) y0 = y	=	x0 + 1 x = 2 ln y	x2	x = U(y)	V (y):
		;		)	y
7:	lEGKO USTANOWITX, ^TO PRIWEDENNYE NIVE URAWNENIQ QWLQ@TSQ
URAWNENIQMI W POLNYH DIFFERENCIALAH.

(1 + y2 sin 2x) dx ; 2y cos2 x dy = 0

(2 ; 9x y2) x dx + (4y2 ; 6x3) y dy = 0

3x2 (1 + ln y) dx = 2y ; x3=y dy:

pOSLEDNIJ PRIMER SNA^ALA SLEDUET ZAPISATX W WIDE

3x2 (1 + ln y) dx ; 2y ; x3=y dy = 0

TOGDA ZNAK MINUS PERED WTORYM SLAGAEMYM BUDET OTNOSITXSQ K FUNK- CII Q(x y)

P (x y) = 3x2 (1 + ln y) Q(x y) = ; 2y ; x3=y I TOGDA

Py0(x y) = Q0x(x y):

115

x = x0:

y0(x0) = y00 :

y = y(x)

F (x y y0 y00) = 0:

2. uRAWNENIQ WYS[IH PORQDKOW

2.1. oB]IE PONQTIQ

oSNOWNYE PONQTIQ RASSMOTRIM NA PRIMERE URAWNENIJ 2-GO PORQDKA.

dIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM 2; GO PORQDKA NAZYWAETSQ URAWNE- NIE, KOTOROE SODERVIT NEZAWISIMU@ PEREMENNU@ x ISKOMU@ FUNK- CI@ y I EE PROIZWODNYE 1-GO I 2-GO PORQDKA.

uRAWNENIE 2; GO PORQDKA MOVET BYTX ZAPISANO W Q W N O J FORME y00 = f(x y y0)

ESLI ONO RAZRE[ENO OTNOSITELXNO STAR[EJ PROIZWODNOJ ILI W N E Q W N O J

r E [ E N I E M DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 2-GO PORQDKA NA- ZYWAETSQ L@BAQ DWAVDY DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ KO- TORAQ PRI PODSTANOWKE W URAWNENIE, OBRA]AET EGO W TOVDESTWO. kAVDOE URAWNENIE 2-GO PORQDKA IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RE[E- NIJ. wYBRATX IZ \TOGO MNOVESTWA KONKRETNOE RE[ENIE MOVNO, ESLI ZADATX n DOPOLNITELXNYH USLOWIJ, NAPRIMER, NA^ALXNYH.

n A ^ A L X N Y M I U S L O W I Q M I DLQ URAWNENIQ 2 -GO PORQDKA QWLQ@TSQ ZADANIQ ZNA^ENIJ ISKOMOJ FUNKCII I EE PROIZWODNYH PRI ZADANNOM ZNA^ENII

y(x0) = y0

z A D A ^ A k O [ I DLQ URAWNENIQ SOSTOIT W NAHOVDENII ^AST- NOGO RE[ENIQ URAWNENIQ, UDOWLETWORQ@]EGO ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIQM.

o B ] I M R E [ E N I E M URAWNENIQ NAZYWAETSQ FUNKCIQ

y= y(x C1 C2) KOTORAQ UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM:

1)FUNKCIQ SODERVIT DWE PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE,

2)\TA FUNKCIQ QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ PRI L@BYH ZNA^E- NIQH PROIZWOLXNYH POSTOQNNYH

3)PRI ZADANNYH NA^ALXNYH USLOWIQH PROIZWOLXNYE POSTOQNNYE MOVNO OPREDELITX EDINSTWENNYM OBRAZOM TAK, ^TO POLU^ENNOE ^ASTNOE RE[ENIE BUDET UDOWLETWORQTX ZADANNYM NA^ALXNYM USLO- WIQM.

116

tEOREMA kO[I. eSLI W URAWNENII			y00 = f(x y y0) FUNKCIQ
f (x y y0)	NEPRERYWNA WMESTE SO SWOIMI ^ASTNYMI PROIZWODNYMI
f0 (x y y0) I f0		(x y y0) W TO^KE	M0(x0 y0 y0 ) I EE OKRESTNOS-
y	y0		0

TI, TO URAWNENIE IMEET I PRI TOM EDINSTWENNOE ^ASTNOE RE[ENIE, UDOWLETWORQ@]EE ZADANNYM NA^ALXNYM USLOWIQM.

pERWOE NA^ALXNOE USLOWIE GEOMETRI^ESKI OZNA^AET ZADANIE TO^KI M0(x0 y0) NA PLOSKOSTI, WTOROE USLOWIE OZNA^AET, ^TO UGLOWOJ KO- \FFICIENT KASATELXNOJ K INTEGRALXNOJ KRIWOJ W \TOJ TO^KE DOLVEN RAWNQTXSQ y00 :

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL ZADA^I kO[I DLQ URAWNENIQ WTOROGO PO-

RQDKA SOSTOIT W TOM, ^TO IZ WSEGO MNOVESTWA INTEGRALXNYH KRIWYH, OPREDELQEMYH OB]IM RE[ENIEM URAWNENIQ, NEOBHODIMO OTOBRATX TU EDINSTWENNU@, KOTORAQ PROHODIT ^EREZ TO^KU M0(x0 y0) I PRI \TOM IMEET W \TOJ TO^KE KASATELXNU@ S UGLOWYM KO\FFICIENTOM y00 .

nAPRIMER, DLQ URAWNENIQ DWIVENIQ S00 = S(t S S0) S NA^ALX- NYMI USLOWIQMI S(t0) = S0 S0(t0) = S00 = v0 MEHANI^ESKIJ SMYSL ZADA^I kO[I SOSTOIT W TOM, ^TO NEOBHODIMO NAJTI TAKOJ ZAKON DWI-

VENIQ, ^TOBY W MOMENT WREMENI t0	TO^KA PRO[LA PUTX S0 I IMELA
W \TOT MOMENT WREMENI SKOROSTX S0	(t0) = S0 = v0.
	0

z A M E ^ A N I E. aNALITI^ESKIJ APPARAT RE[ENIQ URAWNENIJ WYS[EGO PORQDKA DOSTATO^NO HORO[O RAZRABOTAN DLQ LINEJNYH URAW- NENIJ. nELINEJNYE URAWNENIQ MOVNO ANALITI^ESKI RE[ITX TOLXKO, ESLI UDAETSQ PONIZITX PORQDOK URAWNENIQ DO PERWOGO. nO PONIZITX PORQDOK URAWNENIQ WOZMOVNO W SLEDU@]IH SLU^AQH.

2.2. pONIVENIE PORQDKA URAWNENIQ tIP I. uRAWNENIQ WIDA y(n) = f(x):

oTLI^ITELXNOJ OSOBENNOSTX@ TAKoGO URAWNENIQ QWLQETSQ OTSUT- STWIE W NEM W QWNOM WIDE SAMOJ ISKOMOJ FUNKCII y I EE PROIZWODNYH DO (n ;1) -GO PORQDKA WKL@^ITELXNO. rE[ENIE TAKOGO URAWNENIQ NA- HODITSQ PUTEM POSLEDOWATELXNOGO INTEGRIROWANIQ.

117

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1 МОДУЛЬ Дифференциальные уравнения

#
27.11.20241.62 Mб6Диф Ур-23-1.ppt
#
27.11.20243.32 Mб9Задорожный В.Н. и др. Дифференциальные уравнения.pdf
#
27.11.2024475.36 Кб10Терехина Фикс - Дифференциальные уравнения.pdf