Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Терехина Фикс - Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

475.36 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

g L A W A 3. differencialxnye urawneniq i sistemy

dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE QWLQETSQ ODNIM IZ WAVNEJ[IH MATE- MATI^ESKIH PONQTIJ.

dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE { \TO URAWNENIE, KOTOROE SWQZYWAET NEZAWISIMYE PEREMENNYE, ISKOMU@ FUNKCI@ I PROIZWODNYE ISKOMOJ FUNKCII PO NEZAWISIMYM PEREMENNYM.

dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE DLQ OTYSKANIQ FUNKCII ODNOJ NE- ZAWISIMOJ PEREMENNOJ NAZYWAETSQ O B Y K N O W E N N Y M. eSLI ISKOMAQ FUNKCIQ ZAWISIT OT NESKOLXKIH PEREMENNYH, TO GOWORQT O DIFFERENCIALXNOM URAWNENII W ^ASTNYH PROIZWODNYH. w DANNOM PO- SOBII MY BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO OBYKNOWENNYE URAWNENIQ. p O R Q D O K DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ OPREDELQETSQ PORQDKOM STAR[EJ PROIZWODNOJ, WHODQ]EJ W URAWNENIE.

nAHOVDENIE RE[ENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ NAZYWAETSQ EGO INTEGRIROWANIEM, POTOMU ^TO W BOLX[INSTWE SLU^AEW \TO DEJST- WITELXNO INTEGRIROWANIE. mETOD RE[ENIQ URAWNENIQ OPREDELQETSQ TIPOM URAWNENIQ. dALEKO NE WSQKOE URAWNENIE DOPUSKAET ANALITI^ES- KOE RE[ENIE, I TOGDA DLQ POLU^ENIQ RE[ENIQ PRIHODITSQ PRIBEGATX K ^ISLENNYM METODAM.

dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE, POLU^ENNOE W REZULXTATE ISSLEDO- WANIQ KAKOGO-LIBO REALXNOGO PROCESSA ILI QWLENIQ, NAZYWA@T DIF- FERENCIALXNOJ MODELX@ \TOGO PROCESSA ILI QWLENIQ. w PROCESSE PO- STROENIQ DIFFERENCIALXNYH MODELEJ WAVNOE ZNA^ENIE IMEET ZNANIE ZAKONOW TOJ OBLASTI NAUKI, S KOTOROJ SWQZANA RE[AEMAQ ZADA^A. tA- KIE, NAPRIMER, KAK ZAKONY nX@TONA, oMA, kEPLERA, kIRHGOFA, DEJ- STWIQ MASS, SOHRANENIQ \NERGII, WSEMIRNOGO TQGOTENIQ I T.D.

1. dIFFERENCIALXNYE URAWNENIQ 1-GO PORQDKA

1.1.oSNOWNYE PONQTIQ I OPREDELENIQ

1.dIFFERENCIALXNYM URAWNENIEM 1-GO PORQDKA NAZYWAETSQ URAW- NENIE, SWQZYWA@]EE NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, ISKOMU@ FUNKCI@ I EE PERWU@ PROIZWODNU@.

y0 = f(x y)

dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE 1-GO PORQDKA MOVET BYTX ZADANO W

TREH FORMAH:
y0 = f(x y) ; QWNAQ,	F (x y y0) = 0 ; NEQWNAQ,

M(x y) dx + N(x y) dy = 0 ; DIFFERENCIALXNAQ.

pRAKTI^ESKI DOSTATO^NO PROSTO PEREHODITX OT ODNOJ FORMY ZAPISI URAWNENIQ K DRUGOJ, I SAMA FORMA ZAPISI URAWNENIQ SOWER[ENNO NE

OPREDELQET TIP URAWNENIQ I METOD EGO INTEGRIROWANIQ. nAPRIMER: (x2 ;y2)y0;2xy+1 = 0 ; NEQWNAQ FORMA, =) y0 = 2xxy2 ;;y12 ; QWNAQ,

)(x2 ; y2)dy ; (2xy ; 1)dx = 0 ; DIFFERENCIALXNAQ FORMA.

2.r E [ E N I E M DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ NAZYWAETSQ L@- BAQ DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ y = y(x) KOTORAQ PRI PODSTANOW- KE W URAWNENIE OBRA]AET EGO W TOVDESTWO. iNTEGRALOM URAWNENIQ NAZYWAETSQ EGO RE[ENIE, POLU^ENNOE W NEQWNOM WIDE.

lEGKO POKAZATX, ^TO KAVDOE DIFFERENCIALXNOE URAWNENIE PERWOGO PORQDKA IMEET BESKONE^NOE MNOVESTWO RE[ENIJ. wSE \TO MNOVESTWO MOVNO OPISATX ODNOJ FUNKCIEJ, KOTORAQ NAZYWAETSQ OB]IM RE[ENI- EM ILI OB]IM INTEGRALOM DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ. iZ \TOGO MNOVESTWA MOVNO WYBRATX KONKRETNOE (^ASTNOE) RE[ENIE, ESLI ZA- DATX NA^ALXNOE USLOWIE.

3.n A ^ A L X N Y M U S L O W I E M DLQ URAWNENIQ PERWOGO PORQDKA QWLQETSQ ZADANIE ZNA^ENIQ ISKOMOJ FUNKCII PRI ZADANNOM

ZNA^ENII NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ, T.E. y(x0) = y0:

4. o B ] I M RE[ENIEM DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 1-GO PO- RQDKA NAZYWAETSQ FUNKCIQ y = y(x C) KOTORAQ UDOWLETWORQET SLEDU@]IM USLOWIQM:

a)FUNKCIQ SODERVIT ODNU PROIZWOLXNU@ POSTOQNNU@ C

b)\TA FUNKCIQ QWLQETSQ RE[ENIEM URAWNENIQ PRI L@BYH ZNA^E- NIQH PROIZWOLXNOJ POSTOQNNOJ

c)PRI ZADANNOM NA^ALXNOM USLOWII PROIZWOLXNU@ POSTOQNNU@ MOVNO OPREDELITX EDINSTWENNYM OBRAZOM TAK, ^TO POLU^ENNOE ^ASTNOE RE[ENIE BUDET UDOWLETWORQTX ZADANNOMU NA^ALXNOMU USLO-

WI@.

5. z A D A ^ A k O [ I { NAHOVDENIE ^ASTNOGO RE[ENIQ, UDOW- LETWORQ@]EGO ZADANNOMU NA^ALXNOMU USLOWI@.

f(x y)

6. tEOREMA kO[I. (tEOREMA SU]ESTWOWANIQ I EDINSTWENNOSTI ^ASTNOGO RE[ENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ 1-GO PORQDKA.) eS-

LI W URAWNENII y0 = f(x y) FUNKCIQ NEPRERYWNA WMESTE SO SWOEJ ^ASTNOJ PROIZWODNOJ PO y W TO^KE M0(x0 y0) I EE OKREST- NOSTI, TO URAWNENIE IMEET I PRI TOM EDINSTWENNOE ^ASTNOE RE- [ENIE, UDOWLETWORQ@]EE ZADANNOMU NA^ALXNOMU USLOWI@ y(x0) = y0:

7. g E O M E T R I ^ E S K I J S M Y S L DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ I EGO OB]EGO I ^ASTNOGO RE[ENIJ.

a)gRAFIK y = y(x) RE[ENIQ DIFFERENCIALXNOGO URAWNENIQ y0 = f(x y) NAZYWAETSQ INTEGRALXNOJ KRIWOJ.

b)oB]EE RE[ENIE y = y(x C) URAWNENIQ ESTX SEMEJSTWO INTEG- RALXNYH KRIWYH.

c)dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE 1-GO PORQDKA y0 = f(x y) ZADAET SWQZX MEVDU KOORDINATAMI TO^KI M(x y) PLOSKOSTI XOY S UGLOWYM KO\FFICIENTOM KASATELXNOJ K INTEGRALXNOJ KRIWOJ, PROHODQ]EJ ^E- REZ \TU TO^KU.

d)zADANIE NA^ALXNOGO USLOWIQ y(x0) = y0 OZNA^AET ZADANIE TO^KI

NA PLOSKOSTI M0(x0 y0): e) rE[ITX ZADA^U kO[I

y0 = f(x y) y(x0) = y0

OZNA^AET, ^TO IZ WSEGO MNOVESTWA INTEGRALX-

NYH KRIWYH, PREDSTAWLQ@]IH OB]EE RE[ENIE

URAWNENIQ, NEOBHODIMO OTOBRATX TU EDINSTWEN-

NU@, KOTORAQ PROHODIT ^EREZ DANNU@ TO^KU

M0(x0 y0):

f) wYPOLNENIE USLOWIJ TEOREMY kO[I W TO^KE OZNA^AET, ^TO ^E- REZ DANNU@ TO^KU PLOSKOSTI OBQZATELXNO PROHODIT I PRITOM TOLXKO ODNA INTEGRALXNAQ KRIWAQ.

tO^KI (x y) PLOSKOSTI, W KOTORYH NE WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ TEO- REMY kO[I, NAZYWA@TSQ O S O B Y M I TO^KAMI. w \TIH TO^KAH TERPIT RAZRYW ILI FUNKCIQ f(x y) ILI EE PROIZWODNAQ fy0 (x y): ~E- REZ KAVDU@ IZ TAKIH TO^EK LIBO PROHODIT MNOVESTWO INTEGRALXNYH KRIWYH, LIBO NE PROHODIT NI ODNOJ.

1.2. oSNOWNYE TIPY URAWNENIJ 1-GO PORQDKA

rASSMOTRIM NEKOTORYE TIPY DIFFERENCIALXNYH URAWNENIJ 1-GO PORQDKA, RE[ENIE KOTORYH, W KONE^NOM ITOGE, SWODITSQ K INTEGRIROWANI@ (RE[ENIE MOVNO PREDSTAWITX W ANALITI^ESKOM WIDE).

pROSTEJ[IMI DIFFERENCIALXNYMI URAWNENIQMI 1-GO PORQDKA QW-


LQ@TSQ URAWNENIQ WIDA	f(x) dx + g(y) dy = 0 HARAKTERNOJ OSO-
BENNOSTX@ KOTORYH QWLQETSQ TO, ^TO MNOVITELEM PRI			dx	QWLQETSQ
FUNKCIQ, ZAWISQ]AQ TOLXKO OT x		A MNOVITELEM PRI	dy	QWLQETSQ
FUNKCIQ, ZAWISQ]AQ TOLXKO OT y:		gOWORQT, ^TO W TAKOM URAWNENII
PEREMENNYE RAZDELENY,	A SAMO URAWNENIE NAZYWAETSQ URAWNENIEM S

RAZDELENNYMI PEREMENNYMI.

rE[ENIE TAKIH URAWNENIJ ZAKL@^AETSQ W PO^LENNOM INTEGRIROWANII
LEWOJ I PRAWOJ EGO ^ASTEJ	Z f(x) dx + Z g(y) dy = C:

pOSLE NAHOVDENIQ INTEGRALOW MY POLU^AEM OB]IJ INTEGRAL URAW- NENIQ F(x y C) = 0: eSLI UDAETSQ WYRAZITX QWNO FUNKCI@ ^EREZ

NEZAWISIMU@ PEREMENNU@ (^TO DALEKO NE WSEGDA WOZMOVNO), TO POLU-
^AEM OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ y = f(x C). rASSMOTRIM PRIMER
	cos x dx = p		dy:
		y
dANNOE URAWNENIE QWLQETSQ URAWNENIEM S RAZDELENNYMI PEREMENNY-

MI, TAK KAK PRI dx STOIT FUNKCIQ, ZAWISQ]AQ TOLXKO OT x A PRI dy


STOIT FUNKCIQ, ZAWISQ]AQ TOLXKO OT y: mOVNO INTEGRIROWATX OBE
^ASTI URAWNENIQ R cos x dx = R p				dy:
^ASTI URAWNENIQ R cos x dx = R p			y	dy:
2	3=2	=)			3	2=3
sin x + C = 3 y		=)		y = [	2(sin x + C)]		:
mETODY RE[ENIQ RASSMATRIWAEMYH NIVE URAWNENIJ (KROME URAWNENIJ W POLNYH DIF-
FERENCIALAH) PREDSTAWLQ@T SOBOJ SPOSOBY SWEDENIQ \TIH URAWNENIJ K URAWNENIQM S

RAZDELENNYMI PEREMENNYMI.


1.2.1.	uRAWNENIQ WIDA		y0 = f(x) g(y) ;
	URAWNENIQ S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI
o P R E D E L E N I E.		dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE y0 = f(x y) QW-

LQETSQ URAWNENIEM S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI, ESLI EGO PRA- WAQ ^ASTX PREDSTAWLQET SOBOJ, ILI MOVET BYTX PREDSTAWLENA W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) DWUH FUNKCIJ, ODNA IZ KOTORYH

d) nAHODIM OB]IJ INTEGRAL

ZAWISIT TOLXKO OT x, A DRUGAQ { TOLXKO OT y, T.E.
y0 = f1(x) f2(y)	ILI	y0	=	f1(x)	ILI	y0	=	f2(y)	:
				f2(y)				f1(x)

aNALOGI^NO, ESLI URAWNENIE IZNA^ALXNO ZADANO W DIFFERENCIALXNOJ FORME M(x y) dx + N(x y) dy = 0, TO ONO BUDET URAWNENIEM S RAZ- DELQ@]IMISQ PEREMENNYMI TOLXKO W TOM SLU^AE, ESLI FUNKCII PRI DIFFERENCIALAH dx I dy UVE QWLQ@TSQ, ILI MOGUT BYTX PREDSTAW- LENY KAVDAQ W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) DWUH FUNKCIJ, ODNA IZ KOTORYH ZAWISIT OT x, A DRUGAQ OT y NAPRIMER W WIDE f1(x) f2(y) dx + g1(x) g2(y) dy = 0: rE[ENIE URAWNENIQ S RAZDELQ@]I- MISQ PEREMENNYMI OSU]ESTWLQETSQ PO\TAPNO:

1. pUSTX ISHODNOE URAWNENIE IMEET WID y0								= f(x y):
a) pREDSTAWLQEM FUNKCI@ W WIDE PROIZWEDENIQ
f(x y) = f1(x) f2(y),						ISPOLXZUQ RAZLI^NYE ALGEBRAI^ESKIE PRIEMY				.
								y0 = dy
b) zAMENQEM PROIZWODNU@ OTNO[ENIEM									: uRAWNENIE PRI-
MET WID dydx								dx
			= f1(x) f2(y):
c) uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA dx I, ODNOWREMENNO, DELIM
NA FUNKCI@ f2(y) STOQ]U@ NE U "SWOEGO" DIFFERENCIALA. pOLU-
^IM		dy	= f1(x) dx:				pEREMENNYE RAZDELENY		.

		f2(y)

d) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI POLU^ENNOGO URAWNENIQ
				dy
		Z			= Z	f1(x) dx + C:
				f2(y)
2.	eSLI URAWNENIE ZADANO W NEQWNOJ FORME, TO SLEDUET IZ NEGO

WYRAZITX y0 W QWNOM WIDE I DALEE DEJSTWOWATX KAK UVE BYLO SKAZANO. 3. eSLI URAWNENIE ZADANO W FORME M(x y) dx + N(x y) dy = 0 TO a) PERENOSIM WTOROE SLAGAEMOE W PRAWU@ ^ASTX

b) KAVDU@ IZ DWUH FUNKCIJ PREDSTAWLQEM W WIDE PROIZWEDENIQ (ILI OTNO[ENIQ) SOMNOVITELEJ, NAPRIMER

f1(x)f2(y) dx = g1(x)g2(y) dy:

c) dELIM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA PROIZWEDENIE FUNKCIJ f2(y)g1(x), STOQ]IH NE U "SWOIH" DIFFERENCIALOW.

Z f1(x) dx = Z g2(y) dy + C: g1(x) f2(y)

pREOBRAZOWANIE URAWNENIQ S CELX@ POLU^ENIQ URAWNENIQ S RAZDELEN- NYMI PEREMENNYMI NAZYWAETSQ R A Z D E L E N I E M PEREMENNYH.

1: y0 = (2y ; 1) tg x:

1) zAMENQEM y0 OTNO[ENIEM y0 = dy=dx:

2) uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE- NIQ NA dx.

3) dELIM NA "STOQ]U@ NE U SWOEGO DIFFERENCIALA" FUNKCI@ (2y ; 1): w REZULXTATE \TIH DEJ- STWIJ PEREMENNYE RAZDELILISX. 4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ I UPRO]AEM POLU^ENNYJ REZULXTAT. OB]EE RE[ENIE:

2: y0 = y2 ln x :

(y ; 1) x

1) zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW

y0 = dy=dx:

2)uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE- NIQ NA dx:

3)uMNOVAEM OBE ^ASTI NA

(y ; 1) I DELIM NA y2:

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.

v1 ; x2

3: y y0 u + 1 = 0:

t1 ; y2

r E [ E N I E.

1)zAPI[EM URAWNENIE W QWNOM WIDE, T.E. WYRAZIM y0

2)zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW y0 =

dy=dx:

3)uMNOVAEM NA dx A ZATEM UMNO- VAEM NA y I DELIM NA p1 ; y2:

4)iNTEGRIRUEM I POLU^AEM OB- ]IJ INTEGRAL.

dxdy = (2y

; 1) tg x

dy = (2y ; 1) tg x dx:

= tg x dx:

2y ;

= Z tg x dx + C

;

; ln j cos xj + ln C

2 ln j2y

;

2y ; 1

= C= cos x:

y =

(C= cos x)2 + 1=2:

ln x

1) x

2) dy =

y2;ln x

dx:

(y ; 1) x

(y ;

dy = ln x dx:

; 1)

dy =

ln x dx:

= Z

y ; Z

ln x d(ln x):

ln y + 1

= ln2 x

+ C:

1) y0 = ;

;

= ;

;

1 ;2

3) dy =

p1 ; y

;

y dy

= p

;

4) q1 ; y2 = arcsin x + C:

y = q

1 ; (arcsin x + C)2

4: 5x2+y y0 + x = 0:

1)iSPOLXZUQ SWOJSTWO POKAZA- TELXNOJ FUNKCII ax+y = axay, PE- REPI[EM URAWNENIE.

2)zAMENQEM PROIZWODNU@ y0 OT- NO[ENIEM DIFFERENCIALOW y0 =

dy=dx:

3)pERENOSIM x W PRAWU@ ^ASTX, UMNOVAEM NA dx I DELIM NA 5x2 :

4)iNTEGRIRUEM I POLU^AEM OB- ]IJ INTEGRAL.

5: p4 + x2 y0 + x y2 + x = 0:

1) wYNOSIM ZA SKOBKU x I PERE- NOSIM WYRAVENIE x (y2 + 1) W PRAWU@ ^ASTX URAWNENIQ.

2)zAMENQEM y0 = dy=dx:

3)uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNE-

NIQ NA dx I DELIM NA PROIZWE-

DENIE p4 + x2 (y2 + 1):

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ:

6: y ; x y0 = 2 (1 + x2 y0):

1) rASKRYWAEM SKOBKI.

2) pERENOSIM SLAGAEMYE S y0 W ODNU ^ASTX URAWNENIQ, OSTALXNYE SLAGAEMYE { W DRUGU@. wYNOSIM y0 ZA SKOBKU.

3) zAMENQEM y0 = dy=dx: uMNOVAEM OBE ^ASTI URAWNENIQ NA dx I DELIM NA PROIZWEDENIE

(2x2 + x) (y ; 2):

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.

1) 5x2 5y y0 + x = 0:

x2 y dy

2) 5y 5 dx +x2 x = 0:

3) 5 dy = ;5; x dx:

Z 5y dy =

Z 5;x

d(;x2):

5;x

ln 5

5y =

5;x2 + C:

1)p4 + x2 y0 + x (y2 + 1) = 0 p4 + x2 y0 = ;x (y2 + 1)

2)p4 + x2 dxdy = ;x (y2 + 1)

x dx

= ;

y2 + 1

4 + x2

4) Z

= ; Z

x dx

y2 + 1

4 + x2

arctg y = ;p4 + x2 + C:

1) y

x y0 = 2 + 2x2 y0

+ x) y0 = (y ;

2) (2x

3) (2x2 + x)

dxdy

= (y

; 2)

(2x2 + x) dy = (y ; 2) dx:

y ;

2x2

+ x

;

2 =

2x2 + x:

ln jy ; 2j = ln

+ ln C:

2x + 1

y = 2 +

2x + 1

7:	2	ydy ; 2xy	2	dx:
6xdx ; 6ydy = 3x
1) sOBIRAEM SLAGAEMYE S dx W OD-
NU ^ASTX URAWNENIQ, A SLAGAEMYE

S dy W DRUGU@.

2) wYNOSIM dx I dy ZA SKOBKI.

3) wYNOSIM 2x I 3y ZA SKOBKI

I DELIM NA PROIZWEDENIE (2 + x2) (3 + y2):

4) iNTEGRIRUEM OBE ^ASTI URAW- NENIQ.


8: 2y2;x2 =						y y0		:
						x
2y2		y		y0 =)			2y2		y dy
2x2		= x					2x2 = x dx				:
x	2;x2 dx = y 2;y2 dy:
Z	x 2;x2 dx = Z y 2;y2								dy:
	1 2;x2			1 C					1 2;y2
;2			; 2				= ;2				:
		ln 2			ln 2					ln 2

2;y2 = 2;x2 + C:

10: y (1 + ln y) + x y0 = 0:

				dy
y (1 + ln y) = ;x dx
		dy		dx
			= ; x
	y (1 + ln y)
Z		d(1 + ln y)		= ; ln x + ln C
		1 + ln y

ln j1 + ln yj = ; ln x + ln C 1 + ln y = Cx =) y = eC=x;1:

1)6xdx + 2xy2dx= 6ydy+3x2ydy

2)(6x + 2xy2)dx = (6y + 3x2y)dy

3)2x (3 + y2) dx = 3y (2 + x2) dy

2x dx = 3y dy2 2

2 + x

3 + y

4) Z

dx = Z

2 + x2

3 + y2

ln j3 + y2j + ln C:

ln jx2 + 2j = 2

x2 + 2 = C q

(3 + y2)3

9: 2x2 y y0 + y2 = 2:

= 2 ; y

2x2 y y0 = 2

;

y2 = y0

)

2x2 y

dy =

2 ; y2

dx:

2x2

2y dy

2 :

2 ; y

2y dy

= Z x2 :

2 ; y2

; ln j2 ; y2j = ;x1 + C:

11: y0 + sin(x + y) = sin(x ; y):
y0 = sin(x ; y) ; sin(x + y):
sin ; sin =
= 2 sin ; cos ; :
2							2
	dxdy = 2 sin(;y) cos x
	dy
			= ;2 cos x dx
	sin y
		dy
Z				= ;2 Z		cosy	x dx
		sin y
					ln	tg2	= ;2 sin x + C:
							95

rASSMOTRIM PRIMER NAHOVDENIQ ^ASTNOGO RE[ENIQ URAWNENIQ PO ZA- DANNOMU NA^ALXNOMU USLOWI@.

12:

rE[ITX ZADA^U kO[I

y0 + 2y ; y2 = 0

y(0) = ;1=4:

nAHODIM SNA^ALA OB]EE RE[ENIE URAWNENIQ:

= y2

; 2y

= (y2 ; 2y)

= dx

y2 ; 2y

ln y ; 2

= x + 1 ln C:

;

y ; 2 = Ce2x:

oB]EE RE[ENIE

oPREDELIM ZNA^ENIE KONSTANTY C, ISHODQ IZ NA^ALXNOGO USLOWIQ.

pODSTAWIM W OB]EE RE[ENIE ZNA^ENIQ x = 0 y = ;1=4:

;1=4 ; 2

= C e0

9 = C:

;1=4

pOLU^ENNOE ZNA^ENIE C PODSTAWLQEM W WYRAVENIE DLQ OB]EGO

RE[ENIQ I ZAPISYWAEM

y ; 2 = 9e2x:

^ASTNOE RE[ENIE:

1.2.2. uRAWNENIQ WIDA

y0 = f(a x + b y + c)

;

URAWNENIQ, DOPUSKA@]IE RAZDELENIE PEREMENNYH

uRAWNENIE WIDA

= f(a x+ b y+ c)

GDE a

b c; POSTOQNNYE,

DOPUSKA@T RAZDELENIE PEREMENNYH, ESLI SDELATX ZAMENU

z(x) = a x + b y + c:

13: y0 = ;4x + 2y ; 6:

sDELAEM ZAMENU

z(x) = ;4x + 2y ; 6:

)

tOGDA

y =

2 z + 2x + 3

= 2 z0 + 2:

pODSTAWLQEM W ISHODNOE URAWNENIE I POLU^AEM URAWNENIE DLQ z(x)

21 z0 + 2 = z

) z0 = 2z ; 4

) dxdz = 2z

; 4:

rAZDELQQ PEREMENNYE, POLU^AEM RE[ENIE

) 2z ; 4 = Ce2x:

= dx )

2 ln j2z ; 4j

= x + 2 ln C

;

+ 2y

4 = Ce

+ 2x + 4:

y = 4 Ce

96;

;

)

3) SDELATX ZAMENU

= t(x):

FUNKCIQ SWOIH ARGUMENTOW f(x y) = g

14: y0 = 2 sin2(2x ; y):

dELAEM ZAMENU PEREMENNOJ			2x ; y	= z z0 = 2 ; y0 y0 = 2 ; z0:
pODSTAWLQQ W ISHODNOE URAWNENIE, POLU^IM:
2 ; z0 = 2 sin2 z	z0 = 2 ; 2 sin2 z			dxdz = 2(1 ; sin2 z)
dz = 2 cos2 z dx:	Z	dz	= 2 Z dx		tgz = 2x + C:
		cos2 z
					tg (2x ; y) = 2x + C:
1.2.3. uRAWNENIQ WIDA			y0 = g	xy!	;
ODNORODNYE URAWNENIQ

o P R E D E L E N I E. dIFFERENCIALXNOE URAWNENIE y0 = f(x y)

NAZYWAETSQ ODNORODNYM, ESLI EGO PRAWAQ ^ASTX ESTX ODNORODNAQ xy ! :

dRUGIMI SLOWAMI: URAWNENIE PERWOGO PORQDKA BUDET QWLQTXSQ OD- NORODNYM, ESLI EGO MOVNO PREDSTAWITX W WIDE

y0 = g yx! :

lEGKO POKAZATX, ^TO WSQKOE ODNORODNOE URAWNENIE SWODITSQ K URAW-

NENI@ S RAZDELQ@]IMISQ PEREMENNYMI PODSTANOWKOJ y

nIVE NA PRIMERAH MY PROILL@STRIRUEM \TO UTWERVDENIE.

dLQ PREOBRAZOWANIQ ODNORODNOGO URAWNENIQ K WIDU, S KOTOROGO NA^INAETSQ ISPOLXZOWANIE PODSTANOWKI, NEOBHODIMO:

1)WYRAZITX W QWNOM WIDE PROIZWODNU@ ISKOMOJ FUNKCII IZ L@BOJ

ISHODNOJ FORMY ZAPISI URAWNENIQ, T.E. ZAPISATX URAWNENIE W QWNOM WIDE y0 = f(x y)

2)PREOBRAZOWATX FUNKCI@ f(x y) K WIDU f(x y) = g(y=x) T.E. ^TO-

BY WYRAVENIE, OPREDELQ@]EE FUNKCI@, SODERVALO BY TOLXKO OTNO-

[ENIE y=x I, WOZMOVNO, KONSTANTY

yx = t(x) y = t(x) x y0 = t0 x + t

KOTORAQ OBQZATELXNO POZWOLIT RAZDELITX PEREMENNYE W POLU^ENNOM URAWNENII. k ODNORODNYM MOGUT OTNOSITXSQ URAWNENIQ, W KOTORYH

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 1 МОДУЛЬ Дифференциальные уравнения

#
27.11.20241.62 Mб6Диф Ур-23-1.ppt
#
27.11.20243.32 Mб9Задорожный В.Н. и др. Дифференциальные уравнения.pdf
#
27.11.2024475.36 Кб10Терехина Фикс - Дифференциальные уравнения.pdf