Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика -2. Глава 2. Производная функции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

297.76 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

nAJTI DIFFERENCIALY FUNKCIJ.

1: y = ln cos px:

dy = y0

= (ln cos px)0

dx =

(

sin px)

2=3

dx:

cos p3 x

;

2: y = p

arcsin3 5x:

dx = (p

arcsin3 5x)0

dy =

= 0

arcsin3 5x + p

3 arcsin2 5x

dx:

q1 ; (5x)2

@2px

2.1.11. pROIZWODNYE I DIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

pUSTX FUNKCIQ y = f(x) DIFFERENCIRUEMA W NEKOTOROJ TO^KE (ILI

PROMEVUTKE). tOGDA y0 = f0

(x) ESTX PERWAQ PROIZWODNAQ ILI PRO-

IZWODNAQ PERWOGO PORQDKA \TOJ FUNKCII. |TA PROIZWODNAQ QWLQETSQ

FUNKCIEJ TOJ VE NEZAWISIMOJ PEREMENNOJ I, ESLI \TA FUNKCIQ DIF-

FERENCIRUEMA,

TO y00 = (y0

{ WTORAQ PROIZWODNAQ ILI PROIZWODNAQ

WTOROGO PORQDKA DANNOJ FUNKCII. i T.D.

pROIZWODNAQ WTOROGO PORQDKA ESTX PROIZWODNAQ OT PROIZWODNOJ PERWOGO PORQDKA. pROIZWODNAQ TRETXEGO PORQDKA ESTX PROIZWODNAQ OT PROIZWOD- NOJ WTOROGO PORQDKA. pROIZWODNAQ n { GO PORQDKA ESTX PROIZWODNAQ OT PROIZWODNOJ (n ; 1) { GO PORQDKA

y(n) = y(n ; 1) 0 :

fUNKCIQ NAZYWAETSQ n RAZ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE (ILI PROMEVUT- KE), ESLI W \TOJ TO^KE (ILI PROMEVUTKE) SU]ESTWU@T WSE EE PROIZWOD- NYE DO n { GO PORQDKA WKL@^ITELXNO.

pOWTORNOE DIFFERENCIROWANIE QWNYH FUNKCIJ

nAJTI PROIZWODNYE UKAZANNOGO PORQDKA

1: y = ln (3x2 + 4)	y00;?
y0 =	1	(3x2 + 4)0 =	6x

	3x2 + 4		3x2 + 4

y00 =	6x	0	=	6 (3x2 + 4) ; 6x (6x)	=	24 ; 18x2	:
	3x2 + 4	!
				(3x2 + 4)2		(3x2 + 4)2

oTMETIM, ^TO U DANNOJ FUNKCII OBLASTX OPREDELENIQ

D : x 2 (;1 +1), TAK KAK ARGUMENT LOGARIFMA ESTX WELI^INA POLO- VITELXNAQ DLQ WSEH x: pERWAQ I WTORAQ PROIZWODNYE SU]ESTWU@T, TAK KAK WYRAVENIE (3x2 + 4) =6 0 NI PRI KAKIH ZNA^ENIQH x:

3			y000;?
3		7
2: y = q(x ; 2)
y0 = (x;2)7=3 0 =	7		(x;2)4=3 y00 =		7		0			7		4	(x;2)1=3
y0 = (x;2)7=3 0 =	3		(x;2)4=3 y00 =		3(x;2)4=3!			=		3		3	(x;2)1=3
28			28	1		28				1
y000 = 9 (x ; 2)1=3 0			= 9	3 (x ; 2);2=3 =		27								:
							3
							3		(x		;	2)2
							q				;
oTMETIM, ^TO U DANNOJ FUNKCII OBLASTX OPREDELENIQ

D : x 2 (;1 +1) PROIZWODNYE PERWOGO I WTOROGO PORQDKA TAKVE SU- ]ESTWU@T DLQ WSEH ZNA^ENIJ x: pROIZWODNAQ TRETXEGO PORQDKA W TO^KE x = 2 OBRA]AETSQ W 1 T.E. MOVNO SKAZATX, ^TO DANNAQ FUKCIQ W TO^KE x = 2 DIFFERENCIRUEMA TOLXKO DWAVDY, A PROIZWODNYE BOLEE WYSOKIH PORQDKOW W TO^KE x = 2 NE SU]ESTWU@T (RAWNY BESKONE^NOSTI). wO WSEH OSTALXNYH TO^KAH FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA BESKONE^NOE ^ISLO RAZ.

y00;?3x

3: y = x2

e;3x

(;3) = (22 x

; 33xx

y0 = x

e; 2 0

= 23xx e;

+ x

)

y00 = (2x

;

3x )

= (2

;

6x)

+(2x

;

3x )

( 3) =

)

;

= (2 ; 6x ; 6x + 9x

= (9x

; 12x + 2) e;

dANNAQ FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA SKOLXKO UGODNO RAZ.

pOWTORNOE DIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ, ZADANNYH PARAMETRI^ESKI

8 x= x(t) pUSTX FUNKCIQ ZADANA PARAMETRI^ESKI < y = y(t)

pROIZWODNAQ PERWOGO PORQDKA NAHODITSQ PO FORMULE

t1 t t2:

yx0 = yt00 :

dLQ NAHOVDENIQ PROIZWODNOJ WTOROGO PORQDKA PRIMENQEM \TU VE FOR- MULU, TOLXKO NA MESTO y W ^ISLITELE STAWITSQ POLU^ENNAQ PROIZWODNAQ

PERWOGO PORQDKA FUNK-

PERWOGO PORQDKA, T.E. yx0 , KOTORAQ DIFFERENCIRUETSQ PO t I DELITSQ NA

PROIZWODNU@ x PO t:

y00 = (yx0 )0t :

xx x0t

eSLI PONADOBITSQ NAJTI PROIZWODNU@ TRETXEGO PORQDKA, TO W ^ISLI- TELE FORMULY WMESTO PERWOJ PROIZWODNOJ PO x PODSTAWLQEM WTORU@ I NAHODIM OT NEE PROIZWODNU@ PO t I OPQTX DELIM NA PROIZWODNU@ x PO

t:aNALOGI^NO DLQ PROIZWODNYH x PO y

x0 =

x00

(x0 )0

y t

yt0

= t3 + t2 + 6t

nAJTI y00

= 5t

+ 3t + 2

< y

nAHODIM SNA^ALA PERWU@ PROIZWODNU@

(5t2 + 3t + 2)0

10t + 3

t =

xt0

(t3 + t2 + 6t)t0

3t2 + 2t + 6

(y0

nAHODIM WTORU@ PROIZWODNU@

y00

xt0

10(3t2

10t + 3

+ 2t + 6)

;

(10t + 3)(6t + 2)

(3t

+ 2t + 6!t

+ 2t + 6)

3t2 + 2t + 6

(t3 + t2

+ 6t)t0

= ;30t2

;

18t + 54:

(3t2 + 2t + 6)3

x = cos3 t

nAJTI x00

< y = sin t:

(cos3 t)0

3 cos2 t

(

;

sin t)

cos t

ctg t:

;sin t

;

yt0

(sin3 t)t0

3 sin2 t

cos t

(x0

(

;

ctg

x00

sin t

3 sin4 t cos t

yt0

(sin3 t)0

3 sin2 t

cos t

dIFFERENCIALY WYS[IH PORQDKOW

rANNEE MY WWELI PONQTIE DIFFERENCIALA dy

CII, WYRAVENIE KOTOROGO TAKVE QWLQETSQ FUNKCIEJ. dIFFERENCIALOM WTOROGO PORQDKA NAZYWAETSQ DIFFERENCIAL OT DIFFERENCIALA PERWO- GO PORQDKA. oBOZNA^AETSQ d2y (^ITAETSQ "D\ DWA IGREK"). fORMULA

WY^ISLENIQ PERWOGO DIFFERENCIALA

dy = yx0 dx:

pOLU^IM FORMULU WY^ISLENIQ WTOROGO DIFFERENCIALA, S^ITAQ dx HOTQ I PROIZWOLXNOJ, NO NE ZAWISQ]EJ OT x WELI^INOJ

d2y = d(dy) = (dy)0		dx = (y0	dx)0		dx = y00	dx		dx = y00	dx2:
		x			xx			xx

iTAK, OKON^ATELXNO POLU^AEM FORMULU WY^ISLENIQ DIFFERENCIALA WTO- ROGO PORQDKA

d2y = y00 dx2:

tAKIM OBRAZOM, DLQ TOGO, ^TOBY NAJTI DIFFERENCIAL WTOROGO PORQDKA, NUVNO NAJTI WTORU@ PROIZWODNU@ FUNKCII I UMNOVITX EE NA dx2: aNALOGI^NO MOVNO OPREDELITX DIFFERENCIAL L@BOGO PORQDKA

d3y = y000 dx3 ::: dny = d(d(n;1)y) = y(n) dxn:

z A M E ^ A N I E. iZ FORMUL DLQ DIFFERENCIALOW POLU^A@TSQ WYRA- VENIQ DLQ PROIZWODNYH W WIDE

dy = y0

)

= dy :

d2y = y00

dx2

)

y00

d2y

dx2

dny

dny = y(n) dxn ) y(n) = dxn

d2y

dny

tAKIM OBRAZOM, WYRAVENIQ dx

dx2 ::: dxn QWLQ@TSQ E]E ODNIM SPO-

SOBOM OBOZNA^ENIQ PROIZWODNYH 1-GO, 2-GO,..., n - GO PORQDKOW.

pRIMERY.

nAJTI d2y SLEDU@]IH FUNKCIJ:

1: y = ln x:

dy = y0

dx = (ln x)0 dx = x1 dx = dxx

dx2

d2y = y00

dx2

dx2 = ;

dx2

= ; x2 :

2: y = sin2 x:

dx = sin 2x dx:

dy = y0

dx = (sin2 x)0dx

= 2 sin x cos x

d2y = y00

dx2 = (sin 2x)0

dx2 = 2 cos 2x dx2:

3: y = 4;x2 :	y0 = 4;x2 0 = 4;x2 ln 4 (;2x)
y00 = ;2 ln 4 x 4;x2 0 = ;2 ln 4 4;x2 +x 4;x2 ln 4 (;2x) :

d2y = y00 dx2 = 2 4;x2 ln 4 2x2 ln 4 ; 1 dx2:

2.1.12. zADA^I

zADA^A 1. pOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = x e;x2=2: UDOWLETWORQET URAWNENI@: x y0 = (1 ; x2) y:

A) nAJDEM PROIZWODNU@ DANNOJ FUNKCII

y0 = x e;x2=2 0 = (x)0 e;x2=2 + x e;x2=2 0 = = e;x2=2 + x e;x2=2 (;x) = e;x2=2 (1 ; x2):

b) pODSTAWIM WYRAVENIQ DLQ y I y0 W URAWNENIE

xe;x2=2 (1 ; x2) = (1 ; x2) x e;x2=2 :

c)rASKROEM SKOBKI I POLU^IM TOVDESTWO

x(1 ; x2) e;x2=2 x (1 ; x2) e;x2=2:

zADA^A 2. pOKAZATX, ^TO FUNKCIQ y = cos 2x + 3 sin 2x

UDOWLETWORQET URAWNENI@: y00 + 4y = 0:

A) nAJDEM PROIZWODNYE DANNOJ FUNKCII

= (cos 2x + 3 sin 2x)0 = ;2 sin 2x + 6 cos 2x

y00

= ;4 cos 2x ; 12 sin 2x:

b) pODSTAWIM WYRAVENIQ DLQ y I y00 W URAWNENIE

(;4 cos 2x

; 12 sin 2x) + 4(cos 2x + 3 sin 2x) = 0:

c) rASKROEM SKOBKI I POLU^IM TOVDESTWO 0 0:

zADA^A 3. nAJTI ^ASTNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ

FUNKCII

y = px2 + 3 W TO^KE

x0 = 1:

a) nAHODIM PROIZWODNU@ FUNKCII

(x2 + 3)0 =

2x =

+ 3

b) wY^ISLQEM ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PRI x = 1

y0	1		1			1
	= p		= p		=	2	:
		12 + 3		4

zADA^A 4. nAJTI ^ASTNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII y = (x ; 1)px + 1 W TO^KE x0 = ;1:

nEOBHODIMO IMETX WWIDU, ^TO DANNAQ FUNKCIQ OPREDELENA TOLXKO DLQ ZNA^ENIJ x ;1:

a) nAHODIM PROIZWODNU@ FUNKCII

y0 = (x ; 1)0px + 1 + (x ; 1)(px + 1)0 = px + 1 + (x ; 1)

x + 1

+ (x

2(x + 1) + (x

3x + 1

x + 1

;

x + 1

b) wY^ISLQEM ZNA^ENIE PROIZWODNOJ PRI x = ;1

= 3 (;1) + 1 =

;2 =

2p;1 + 1

w Y W O D: W TO^KE x = ;1

FUNKCIQ NEDIFFERENCIRUEMA.

zADA^A 5. nAJTI ^ASTNOE ZNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII

y = 8 x = a(t

; sin t)

W TO^KE t0 = =2:

< y

= a(1

; cos t)

fUNKCIQ ZADANA PARAMETRI^ESKI, NAHODIM EE PROIZWODNU@ (a = const).

y0	= yt0		= a(1 ; cos t)0 =	sin t	:

x		xt0	a(t ; sin t)0	1 ; cos t

pROIZWODNAQ ZAWISIT OT t PODSTAWLQEM W EE WYRAVENIE

ZNA^ENIE t0 = =2:
y0	=	sin( =2)	=	1	= 1:	iTAK,	y0 ( =2) = 1:


x		1 ; cos( =2)		1 ; 0			x
		1 ; cos( =2)		1 ; 0

<<< < Предыдущая 1 23 / 33

Соседние файлы в папке Модуль 6. Производная

#
27.11.2024243.96 Кб5Дифференцирование функций.docx
#
27.11.20242.09 Mб6Производная 1.pdf
#
27.11.20241.39 Mб5Производная 2.pdf
#
27.11.2024297.76 Кб9Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика -2. Глава 2. Производная функции.pdf