Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика -2. Глава 2. Производная функции

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

297.76 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

fx0 (x0)).

yx0 (x0) (ILI

gLAWA 2. proizwodnaq funkcii

dIFFERENCIROWANIEM NAZYWAETSQ OPERACIQ NAHOVDENIQ PROIZWOD- NOJ FUNKCII. k PONQTI@ PROIZWODNOJ PRIWODQT MNOGIE ZADA^I ESTES- TWOZNANIQ: ZADA^A O SKOROSTI PRQMOLINEJNOGO DWIVENIQ, SKOROSTI HI- MI^ESKOJ REAKCII, PLOTNOSTI SREDY, TEPLOEMKOSTI TELA. wSE \TI HA- RAKTERISTIKI SWQZANY SO SKOROSTX@ IZMENENIQ FUNKCII, OPISYWA@]EJ NEKOTORYJ PROCESS. sKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII MOVNO OPREDELITX S POMO]X@ POSLEDOWATELXNOSTI DEJSTWIJ, KOTORAQ OSU]ESTWLQETSQ NEZA- WISIMO OT KONKRETNOGO FIZI^ESKOGO SMYSLA.

2.1. dIFFERENCIROWANIE FUNKCIJ

2.1.1. pONQTIE PROIZWODNOJ

pUSTX W PROMEVUTKE [a b] ZADANA NEPRERYWNAQ FUNKCIQ

y = f(x) I x0 { NEKOTORAQ TO^KA W \TOM PROMEVUTKE.
1. dADIM ZNA^ENI@ ARGUMENTA x0 PRI-
RA]ENIE x T.E. PEREMESTIMSQ IZ TO^KI
x0 W TO^KU x0	+ x OSTAWAQSX W PREDE-
LAH ZADANNOGO PROMEVUTKA [a b]. zNA^ENI@
FUNKCII W NA^ALXNOJ TO^KE x0 SOOTWETSTWU-
ET ^ISLO y0 =	f(x0): zNA^ENI@ FUNKCII W	rIS. 2.1.
TO^KE x0 + x SOOTWETSTWUET y = f(x0+ x:)		rIS. 2.1.
TO^KE x0 + x SOOTWETSTWUET y = f(x0+ x:)

2.sOSTAWIM PRIRA]ENIE FUNKCII y = f(x0 + x) ; f(x0) KAK RAZNOSTX ZNA^ENIJ FUNKCII W KONE^NOJ I NA^ALXNOJ TO^KAH.

3.rAZDELIM PRIRA]ENIE FUNKCII NA PRIRA]ENIE ARGUMENTA I PO-

LU^IM OTNO[ENIE

xy = f(x0 + xx) ; f(x0)

4. nAHODIM PREDEL OTNO[ENIQ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@

ARGUMENTA
lim	y	= lim	f(x0 + x)	; f(x0):
x!0	x	x!0	x

|TOT PREDEL I NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) W TO^KE x0 I OBOZNA^AETSQ

o P R E D E L E N I E. pROIZWODNOJ FUNKCII y = f(x) NAZYWAETSQ PREDEL OTNO[ENIQ PRIRA]ENIQ FUNKCII K PRIRA]ENI@ ARGUMENTA PRI STREMLE- NII \TOGO PRIRA]ENIQ K NUL@

yx0 (x0) = lim y

x!0 x

(W PREDPOLOVENII, ^TO PREDEL \TOT SU]ESTWUET).

eSLI \TOT PREDEL SU]ESTWUET, SU]ESTWUET I PROIZWODNAQ W TO^KE x0, I FUNKCIQ NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W DANNOJ TO^KE. fUNKCIQ NA- ZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W PROMEVUTKE, ESLI ONA DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE \TOGO PROMEVUTKA.

eSLI FUNKCIQ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE, TO ONA I NEPRERYWNA W \TOJ TO^KE. nO IZ NEPRERYWOSTI FUNKCII W TO^KE NE SLEDUET DIFFERENCIRU- EMOSTX (SU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ) W TO^KE. pO\TOMU PRI PRIMENENII PROIZWODNOJ W KONKRETNOJ ZADA^E NEOBHODIMO U^ITYWATX OBLASTX OPRE- DELENIQ KAK SAMOJ FUNKCII, TAK I EE PROIZWODNOJ.

gEOMETRI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ FUNKCII.

o P R E D E L E N I E. kASATELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f(x) W TO^- KE M0 NAZYWAETSQ PREDELXNOE POLOVENIE SEKU]EJ M0M PRI STREMLENII TO^KI M PO KRIWOJ K TO^KE M0: (rIS. 2.2.)

zNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W TO^KE yx0 (x0) ESTX UGLOWOJ KO\F- FICIENT KASATELXNOJ, PROWEDENNOJ K GRAFIKU FUNKCII W DANNOJ TO^-

KE (rIS. 2.2.)

yx0 (x0) = tg ' = kKAS:

rIS. 2.2.

dIFFERENCIRUEMOSTX FUNKCII W TO^KE S GEOMETRI^ESKOJ TO^KI ZRE- NIQ OZNA^AET, ^TO K GRAFIKU FUNKCII W DANNOJ TO^KE MOVNO PROWES- TI EDINSTWENNU@ NEWERTIKALXNU@ KASATELXNU@ (RIS. 2.3,A). eSLI FUNKCIQ NEDIFFERENCIRUEMA W TO^KE, TO \TO OZNA^AET, ^TO KASATELX-

NAQ K GRAFIKU FUNKCII W TO^KE PROHODIT WERTIKALXNO (RIS. 2.3,b, S)

(' = =2 ) yx0 (x0) = tg = kKAS: = 1), ILI W TO^KE K GRAFIKU FUNK- CII MOVNO PROWESTI BOLX[E, ^EM ODNU KASATELXNU@ (RIS.2.3,d) (PRO-

IZWODNAQ NE SU]ESTWUET). iZ RISUNKOW 2.3,b), 2.3,c) I 2.3,d) WIDNO, ^TO FUNKCII W RASSMATRIWAEMOJ TO^KE, HOTQ I NEPRERYWNY, NO NEDIFFE- RENCIRUEMY.

rIS. 2.3.

fIZI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ. zNA^ENIE PROIZWODNOJ FUNKCII W

TO^KE ESTX MGNOWENNAQ SKOROSTX IZMENENIQ FUNKCII W DANNOJ TO^KE.

mEHANI^ESKIJ SMYSL PROIZWODNOJ. pROIZWODNAQ OT PROJDENNOGO

PUTI S(t) PO WREMENI t ESTX MGNOWENNAQ SKOROSTX PRQMOLINEJNOGO DWIVENIQ W DANNYJ MOMENT WREMENI t0

v(t0) = St0(t0) = lim S(t0 + t) ; S(t0):

t!0 t

sKOROSTX DWIVENIQ W OPREDELENNYJ MOMENT WREMENI TAKVE MOVNO OPRE- DELITX PO UGLOWOMU KO\FFICIENTU KASATELXNOJ K GRAFIKU ZAWISIMOSTI WELI^INY PROJDENNOGO PUTI S(t) OT WREMENI t.

tEHNIKA DIFFERENCIROWANIQ OSNOWANA NA OSNOWNYH PRAWILAH I FOR- MULAH DIFFERENCIROWANIQ (TABLICE PROIZWODNYH OSNOWNYH \LEMENTAR- NYH FUNKCIJ). tABLICA PROIZWODNYH PRIWEDENA W DWUH WARIANTAH:

1) DLQ PROSTOJ FUNKCII (T.E. FUNKCII, SOSTOQ]EJ IZ KOMBINACII OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ, SOEDINENNYH ZNAKAMI ARIFMETI^ES- KIH DEJSTWIJ) I

2) DLQ SLOVNYH FUNKCIJ, ARGUMENTAMI KOTORYH QWLQETSQ TAKVE DIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ U(x) GDE ISPOLXZUETSQ PRAWILO DIFFE- RENCIROWANIQ SLOVNOJ FUNKCII (y[U(x)])0 = yU0 U0(x):

2.1.2. oSNOWNYE PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ

1: ( C )0

6: [y(U(x))] = y0

2: ( C U )0

= C U0

3: ( U

V ) =

(y) =

4: ( U

V + U

yx0 (x)

V ) = U

7: x0

U0V

;

U V 0

V 2

8: y0(x) = y(x) (ln y(x))0

9: UV 0 = V UV ;1 U0 + UV ln U V 0

10: 8 x = x(t)

y0(x) = y0(t)

y00(x) = y00(t)x0(t)

; x300(t)y0(t)

< y

= y(t)

x0(t)

(x0

(t))

2.1.3. tABLICA PROIZWODNYH OSNOWNYH \LEMENTARNYH FUNKCIJ


1:	xk	0		= k xk;1
			0		1
2: px0					1
				=	2p
				=	2p		x
	1				1
3:	x!			= ;
3:	x!			= ;		x 2

4: (ax)0 = ax ln a

	0
5:	(ex) = ex
			0	1
6: (logax)			=
					x ln a
	0			1
7:	(ln x) =
		0		x
8: (sin x)			= cos x
9: (cos x)0			= ; sin x

10: (tg x)

cos2 x

11: (ctg x)

= ;

sin2 x

12: (arcsin x)0 =

;

13: (arccos x)

= ;p

;

14: (arctg x)

1 + x2

15: (arcctg x)

= ;

1 + x2

16: (sh x)0

= chx

17: (ch x)0

= sh x

18: (th x)

ch2 x

2.1.4. pROIZWODNYE SLOVNYH FUNKCIJ

1: Uk

= k Uk;1

10: (tg U)

cos2 U

2: pU

11: (ctg U)

= ;

sin2 U

= p

= ;

12: (arcsin

;

aU 0

= aU ln a U0

13: (arccos U)0

= ;p

;

= eU U

14: (arctg U)

= 1 + U2

6: (logaU) =

15: (arcctg U)

= ;

U ln a

1 + U2

16: (sh U)0

= ch U U0

7: (ln U) =

8: (sin U)0 = cos U U0

17: (ch U)0

= sh U U0

9: (cos U)

= ; sin U U

18: (th U)

ch2 U

2.1.5. pRIMERY NAHOVDENIQ PROIZWODNYH

)0 = n x

;

dIFFERENCIROWANIE STEPENNYH FUNKCIJ

(DIFFERENCIROWANIE PONIVAET NA EDINICU STEPENX FUNKCII).

1: x0 = 1

2: ( p3 x2)0

0 1 103: @pxA

(x2)0 = 2x	(x3)0	= 3x2	I T:D:
	2	2	2
= (x2=3)0 =	3 x2=3;1	= 3 x;1=3	=			:
				3 p3
					x
	1	1				1
= x;1=2 0 = ;2 x;1=2;1 = ;2 x;3=2 = ;							2p		:
								x3

x;2 0 = ;2 x;2;1 = ;2 x;3

= ;

x1=4+4;2=5 0 = (x59=15)0

= x(59=15);1 =

x44=15:

px2

dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH STEPENNYH FUNKCIJ

(U(x)n)0 = n U(x)n;1

U0(x)

(qU(x))0 =

(x) 0

= ;

U0(x):

U(x)

U2(x)

2 U(x)

t.E., ESLI NUVNOqNAJTI PROIZWODNU@ OT NEKOTOROJ FUNKCII, WOZWEDEN-

NOJ W STEPENX, TO SNA^ALA MY DIFFERENCIRUEM EE KAK STEPENNU@ FUNKCI@, T.E. PONIVAEM STEPENX FUNKCII NA EDINICU, A ZATEM DOMNOVAEM NA PROIZWODNU@ SAMOJ FUNKCII, KOTORAQ WOZWODILASX W STEPENX.

(1 + x6)10 0

= 10 (1 + x6)9

(1 + x6)0 = 10 (1 + x6)9

6x5:

; 7x + 1

= 2 p3x2

+ 1 (3x

; 7x + 1)0

;

2 p

; 7

(6x ; 7) =

3x2

7x + 1

3x2

+ 1

;

(ln2 x)0

= 2 ln x (ln x)0 = 2 ln x x

9: (arctg3 x)0

= 3arctg2 x (arctg x)0

= 3arctg2

1 + x2

10: (p

2 p

(arcsin x)0

2 p

arcsin x

arcsin

;

11:

= ;

(tg x + x5 + 2)0 =

tg x + x5 + 2

(tg x

+ x5 + 2)2

+ 5x4! :

;

(tg x + x5 + 2)2

cos2 x

0 = ;5(ex ; 3);6=5 (ex ; 3)0 =

;

12:

0 5

= (ex ; 3);1=5

= ; (ex ;3);6=5 ex: 5

+ 5x31

1=3

13:

0 v9 cos x +

9 cos x +

+ 5x

B t

;2=A3

9 cos x +

+ 5x3!

9 cos x +

+ 5x3!

9 cos x +

+ 5x3!;2=3

(

;

3 sin x

+ 15x2):

x 0

; x

14:

(3x2 + 5);2=3

3 (3x2

+ 5)2 7

4 q

(3x2 + 5);5=3 (3x2 + 5)0

= ;3

= ;3(3x2 + 5);5=3 6x:

dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH LOGARIFMI^ESKIH FUNKCIJ

(ln x)0 =

(ln U(x))0

U0(x)

(logaU(x))0 =

U0(x)

ln a U(x)

U(x)

tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ LOGARIFMI^ESKOJ FUNK- CII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ LOGARIFMI- ^ESKU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMENTA \TOJ FUNKCII.

1: (ln(1 ; 2x))0 =

; 2x)0 =

2x)

1 2x

;

2: (ln sin x)0

(sin x)0 =

(cos x) = ctg x:

sin x

3: (ln(x2 + 4))0

(x2 + 4)0

x2 + 4

1=3

= 3 (ln x)0

= 3 x:

4: (ln px)0

= (ln x

5: ln ex + p1 + e2x 0 = ex + p11 + e2x ex + p1 + e2x 0 = = ex + p11 + e2x ex + 2p11+ e2x 1 + e2x 0! :

= = ex + p11 + e2x ex + 2p11+ e2x e2x (2x)0 ! =

1 x 1 2x ! ex

= ex + p1 + e2x e + 2p1 + e2x e 2 = p1 + e2x :

dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH POKAZATELXNYH FUNKCIJ

(ax)0 = ax ln a (ex)0 = ex

aU(x) 0 = aU(x) ln a U0(x)eU(x) 0 = eU(x) U0(x):

tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ POKAZATELXNOJ FUNK- CII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ POKAZATELX- NU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMENTA \TOJ FUNK- CII.

53 + 2x 0 = 53 + 2x ln 5 (3 + 2x)0 = 53 + 2x ln 5 2:

5p7x!

= 5p7x ln 5 (p7x)0

= 5p7x ln 5

3: e;x2 !0 = e;x2 (;x2)0 = ;2x e;x2 :

4: (ln 3)sin x 0=(ln 3)sin x ln(ln 3) (sin x)0=(ln 3)sin x ln ln 3 cos x:

5: (ecos3 x)0 = ecos3 x (cos3 x)0 = ecos3 x 3 cos2 x (cos x)0 =

=ecos3 x 3 cos2 x (; sin x):

6:	2	1	!	ctgx30	=	1	!	ctgx	ln	1	(ctgx)0	=		1	!	ctgx	ln	1		1	:
		2				2				2			;	2				2	sin2 x
	6			7
	4			5

dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ

(sin U(x))0 = cos U(x) U0(x)			(cos U(x))0 = ;sin U(x) U0(x)
(tg x)0 =	1	U0(x)	(ctg x)0	1		U0(x):
				= ;
	cos2 U(x)				sin2 U(x)

tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ TRIGO- NOMETRI^ESKU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMEN- TA \TOJ FUNKCII.

1: (sin 4x)0 = cos 4x (4x)0 = cos 4x 4 = 4 cos 4x:

(cos(2x3 + 5))0 = ; sin(2x3 + 5) (2x3 + 5)0 = ; sin(2x3 + 5) 6x2:

3: (sin px)0 =

cos px (px)0

= cos px

tg e;3x 0 =

e;3x 0 =

e;3x (;3):

cos2 e;3x

sinq

5x;tg (ln x) 0 = cos q5x;tg (ln x) (q5x;tg (ln x))0 =

= cos q5x ; tg (ln x)

2q5x ; tg (ln x) (5x ; tg (ln x))

(ln x)01=

= cos

;

tg (ln x)

(ln x)

2q5x;tg (ln x) @

;cos

05 ;

1 :

= cos q5x ; tg (ln x)

cos2(ln x)

2 5x

;

tg (ln x)

q 1

ctg

= ;

x + 5

sin2

x + 5

sin2

(x + 5)2

x+5

dIFFERENCIROWANIE SLOVNYH OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ

(arcsin U(x))0 =

U0(x)

(arctg U(x))0

U0(x)

1 + U

(x)

q1 ; U

(x)

(arccos U(x))0 = ;

U0(x)

(arcctg U(x))0

= ;

U0(x)

1 + U2(x)

1 ; U2(x)

tAKIM OBRAZOM, PRI DIFFERENCIROWANII SLOVNOJ OBRATNOJ TRIGO- NOMETRI^ESKOJ FUNKCII NUVNO SNA^ALA PRODIFFERENCIROWATX EE KAK OBY^NU@ OBRATNU@ TRIGONOMETRI^ESKU@ FUNKCI@, A ZATEM UMNOVITX NA PROIZWODNU@ ARGUMENTA \TOJ FUNKCII.

arcsin x1 !0 =

x1 !0 =

;

! :

q1 ; x2

; x2

arccos p1 ; 2x 0 = ;

p1 ; 2x 0 =

;

2x)0 =

;q11 ; (1 ; 2x1) 2p1 ; 2x!

;

! (;2) =

;

arctg 2p

x1=2

0 =

+ (2px3)2

1+4x3

1 + 4x3

arcctg x3 0 = ;

x3 0 = ;

3x2:

+ (x3)2

1 + x6

pEREJDEM K PRIMERAM, W KOTORYH NUVNO, KROME TABLICY PROIZWODNYH, ISPOLXZOWATX PRAWILA DIFFERENCIROWANIQ SUMMY (RAZNOSTI), PROIZWE- DENIQ I ^ASTNOGO FUNKCIJ.

1: y = sin x + lnxx:

wOSPOLXZUEMSQ PRAWILAMI DIFFERENCIROWANIQ SUMMY I ^ASTNOGO I TABLICEJ PROIZWODNYH:

v)0

= u0

0 =

u0 v ; u v0

v !

= (sin x)0

= cos x +

x0 ln x

; x

(ln x)0

ln x

ln2 x

= cos x + ln x

; x

= cos x + ln x ; 1

ln2 x

arcsin x ;

3x2

+ (x3 ;

2: y = x

2) px5:

wOSPOLXZUEMSQ PRAWILAMI DIFFERENCIROWANIQ SUMMY (RAZNOSTI), PRO-

IZWEDENIQ, WYNESENIEM POSTOQNNOGO MNOVITELQ ZA ZNAK PROIZWODNOJ I

TABLICEJ PROIZWODNYH:

(C u)0 = C u0:

(u v)0

= u0 v0 (u v)0 = u0

v + u

= x0 arcsin x+x

(arcsin x)0;7

)0+(x

;2)0 px5+(x

;2)( px5)0 =

= arcsin x + x

; 7 2x + 3x2 px5 + (x3 ; 2)(x5=3)0 =

;

2 3

2=3

= arcsin x +

;

x + 3x

px5

+ (x

; 2)3

) =

1 ; x2

= arcsin x +

;

7x + 3x11=3 +

(x3 ; 2)x2=3:

;

1=8

3: y = 6x

arctgx +

; p

(3x)0p

3x (p

= 1

;

(x1=8)0

arctg x

+ x1=8

(arctg x)0

;

6 h

(px)2

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Модуль 6. Производная

#
27.11.2024243.96 Кб5Дифференцирование функций.docx
#
27.11.20242.09 Mб6Производная 1.pdf
#
27.11.20241.39 Mб5Производная 2.pdf
#
27.11.2024297.76 Кб9Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика -2. Глава 2. Производная функции.pdf