Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Производная 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

Рассмотрим формулу приращения функции в точке x0 .

		x,
y = yx (x0 ) x		x,
y = dy б.м.в.	y dy,
		dy yx (x0 ) x

y = y(x0 x) y(x0 ) yx (x0 ) x,
Получаем формулу приближенных вычислений

y(x0 x) y(x0 ) yx (x0 ) x
Согласно этой формуле нужно :		x,
1. Аргумент разбить на сумму x		x,	x0 .
при этом значение x должно0быть малым по сравнению с			x0 .
(Кроме случая, когда	x0 0).

2.Вычислить значение функции в точке x0 .

3.Найти производную функции и также вычислить ее значение в точке x0 .

	(x0 ), x	в формулу и получить
4. Подставить все значения y(x0 ), yx	(x0 ), x	в формулу и получить
приближенное значение выражения.


Вычислить приближенное значение функции	y	3x2 sin( x 1) 1
при значении x 0,94.

Ясно, что непосредственное вычисление затруднительно, поэтому можно вычислить значение выражения с помощью формулы приближенных вычислений

1.	Аргумент представляем в виде суммы x x0		x 1 0,06, где
	x0 1,	x 0,06
2.	Вычисляем значение нашей функции в точке		x0 1

y(x0 ) y(1) 312 sin(11) 1 3 0 1 4 2

3. Находим производную функции и также вычисляем ее значение в точке x0 1

y'(1)

3x2 sin( x 1) 1 '				(3x2 sin( x 1) 1)'		6x cos(x 1)

				2 3x2 sin( x 1) 1		3x2 sin( x 1) 1
	6 1 cos0	7		2 3x2 sin( x 1) 1	2	3x2 sin( x 1) 1
	6 1 cos0	7	1,75

	4	4
	4	4

4. Подставляем в формулу приближенных вычислений и получаем

	(1)	( 0,06) 2	1,75 ( 0,06) 2 0,105	1,895
y(0,94) y(1) yx

Приложение производной к вычислению пределов.

Правило Лопиталя

Производные можно использовать при раскрытии

неопределенностей вида	0

		и	.

	0

П р а в и л о Л о п и т а л я. Предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций равен пределу отношения производных этих функций,

если он существует	f (x)
lim		= lim	f (x)
	g(x)		g (x)
x x0		x x0

Семь видов неопределенностей

0 ,0

,		,	0	0	,	0
,	, (0 ) , 1	,	0		,

Применение правила Лопиталя при раскрытии неопределенностей других видов требует предварительного преобразования исходного выражения.

При использовании правила Лопиталя следует обратить внимание на следующее:

1.Перед тем, как применить правило Лопиталя необходимо твердо убедиться в наличии неопределенностейуказанных видов.

2.Правило говорит о том, что нужно дифференцировать не всю дробь, а отдельно числитель и знаменатель.

3.К правилу Лопиталя имее смысл обращаться в тех случаях, когда производные числителя и знаменателя находятся не слишком сложно и не приводят к громоздким выражениям.

4.Если после однократного применения правила Лопиталя, неопределенность сохранилась, то можно применять его

повторно до тех пор, пока неопределенность не исчезнет, на каждом этапе проводя упрощение выражений.

		x	3	2x 1				0			(x	3		2x				3x	2		2		1
1.															1)
	lim						=		=	lim						=	lim					=		.
				x	3	x						(x	3							2	1		2
	x1							0		x1				x)			x1 3x

ctg (x 2)

lim

x2 ln(x

sin

lim

(ctg t)

lim

t0 (ln t)

x 2 = t,	t 0	= lim	ctg t	=


		t0 ln t

= lim t0

= sin t ~ t

sin2 t

1 = lim t0 t

	lim	t
=			=

	t0t 0	t 2

= 10 = .

3. lim

lim

15 4

x1( x

3/2

= lim

= 6.

1/4

x2 15

2 16

x 3 2

( x 3

4. lim

lim

( 3x

3x 6 3

6 3)

3x 6

lim

2 x 3

lim

3 2

x 3

x 1

x 13

3x 6

ln(sin 2x)

5. lim

(ln(sin 2x))

= lim

(4x )

((4x )

)

x 4

lim

1 2cos 2x

sin 2x 2(4x ) 4

cos 2x	=
4 (4x )

			cos 2x

	lim 4 sin 2x (4x )
	lim 4 sin 2x (4x )
	x	4
		(cos 2x) '
	lim			=	lim
	lim	4 (4x ) '		=	lim
x 4					x 4

=0 =0

2sin 2x	=	1
4 4		8

6sin x

6x 6sin x)

lim

x 0

)

6cos x

(3x

6 6cos x)

lim

x 0

(5x )

Неопределенность сохранилась, поэтому применяем правило Лопиталя повторно до тех пор, пока неопределенность не исчезнет

6x 6sin x

6 6cos x

(6x 6sin x)

lim

= lim

x 0 20x

x 0

60x

(20x )

==0

6sin x

6 x

lim

(6 6cos x)

lim

120x

(60x )

x 0

При раскрытии неопределенностей следует сочетать применение правила Лопиталя с использованием таблицы эквивалентных бесконечно малых величин, чтобы упростить исходное выражение. Например, при решении пределов, включающих множители вида

tg5 x, sin6 2x, ctg x,

использование правило Лопиталя значительно упростится, если предварительно заменить их на эквивалентные

при x 0 : tg5 x ~ x5 , sin62x ~ (2x)6 , ctg x =	cos x	~	1	.
	sin x
			x

Применение правила Лопиталя при раскрытии неопределенностей других видов требует предварительного преобразования исходного выражения. В неопределенностях вида

( )

разность двух выражений нужно записать в виде дроби (чаще всего достаточно привести все выражение к общему знаменателю)

7. lim x1

	x	1	= ( ) =


x 1		ln x

lim x1

x ln x x 1 = (x 1) ln x

Приводим к общему знаменателю, получаем неопределенность вида

и затем применяем правило Лопиталя		0


		0

1 ln x x

(x ln x x 1)

x ln x

= lim

((x 1) ln x)

ln x

x1 x ln x x 1

1 ln x x

= lim

(x ln x)

lim

0 1

x1 (x ln x x 1)

x11 ln x x

0 1 1 2

В неопределенностях вида (0 )

необходимо произведение также записать в виде дроби, переведя одну из функций-сомножителей в знаменатель. Например

8. lim

ln x ln(x 1) = (0 ) = lim

ln(x 1)

(1/ ln x)

x 1

(ln(x 1))

= lim

lim

x 1

lim

x 1

(1/ ln x)

x 1

ln2 x

2ln x

= lim

lim

= 0.

(x 1)

x 1

<<< < Предыдущая 1 23 / 63 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Модуль 6. Производная

#
27.11.2024243.96 Кб5Дифференцирование функций.docx
#
27.11.20242.09 Mб6Производная 1.pdf
#
27.11.20241.39 Mб5Производная 2.pdf
#
27.11.2024297.76 Кб9Терехина Л.И., Фикс И.И. Высшая математика -2. Глава 2. Производная функции.pdf