Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5089 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Политехнический Университет
Предмет:
Высшая математика
Файл:

Математика / 1 семестр / Модуль 6. Производная / Производная 2

.pdf
Скачиваний:
5
Добавлен:
27.11.2024
Размер:
1.39 Mб
Скачать
☆

Производная функции Часть 2

.

Логарифмическое дифференцирование

При нахождении производных некоторых выражений, содержащих логарифмы, используются свойства логарифмов:

1. y

y

=

 

ln(a b) = ln a ln b,

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln b = ln a ln b.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

ln ab = b ln a,

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

1

ln a.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

a = ln(a)

= b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

ln 1

arctg (2 7x) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ln

1 arctg (2 7x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

1

 

 

 

 

 

1 arctg (2 7x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

(ln u) =

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

u

 

1 2

x2

 

 

1 arctg (2 7x)

 

u

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(a

) = a

 

ln a u ,

(arctg u) = 1 u2

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2

ln 2

( x

 

 

(2 7x)

 

(2 7x)

=

 

)

 

 

1

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

arctg (2

 

 

 

1 2

 

 

 

 

 

1

7x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 x2 ln 2 ( 2x)

 

 

 

1

( 7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

1 (2 7x)2

=

 

1 2

x2

 

 

 

1 arctg (2 7x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 2

x2

ln 2

 

 

 

 

7

 

 

=

 

 

 

 

 

 

.

1 2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[1

 

(2 7x)2 ][1 arctg (2 7x)]

 

y = ln 5

 

8

 

4

 

 

2.

(2x sin 3x2 ) x

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

1

ln(a b) = ln a ln b,

ln ab = b ln a, ln b

 

= ln(a)b =

 

1

ln a.

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1

ln(2x sin 3x2 )

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

4 ln x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 x

 

 

 

 

1

 

 

 

 

8

y =

 

 

 

 

ln(2x sin 3x2 ) 4 ln x

 

 

 

 

'=

5

3

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

1/3

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

(2x sin 3x )

 

 

 

 

x

 

 

1

 

2 cos3x

 

(3x

)

 

4

1 8 (x

 

 

 

)

=

4

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x sin 3x

2

 

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2x sin 3x

 

 

 

x

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 8 (

 

1

) (x 4/3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2 cos3x

6x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 6x cos3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

4

 

 

 

3

 

 

 

=

1

 

4

 

 

33 x4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x sin 3x

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2x sin 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 1)5

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

3. y =

x 1

 

 

 

Прологарифмируем выражение

 

(x 4)3 ex3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

x 1 sin

 

 

(x 1)

 

 

 

x

 

ln y = ln

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

(x 4)

e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln y = ln (x 1)5

 

 

 

sin2 x ln (x 4)3 ex3

,

 

x 1

ln y = ln (x 1)5

ln

 

 

 

ln sin2 x ln (x 4)3 ln ex3 ,

 

 

x 1

ln y = 5 ln(x 1) 12 ln(x 1) 2 lnsin x 3 ln(x 4) x3.

дифференцируем почленно обе части полученного выражения

 

y

 

1

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

2

 

 

 

 

 

= 5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

(sin x)

3

 

3x

 

.

 

 

y

x 1

2

x 1

sin x

x 4

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

2

 

y = y

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

cos x 3

 

 

3x

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

1

 

 

2

 

 

sin x

 

 

 

x 4

 

 

 

 

(x 1)5

 

 

sin2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

5

 

1

 

3

 

2

y =

 

 

 

 

 

 

 

 

2ctg x

 

3x

 

.

(x 4)3 ex3

 

 

 

 

 

x 1 2(x 1)

x 4

 

 

Производная показательно-степенной функции u(x)v(x)UV = V UV 1 U UV lnU V ,

 

 

 

 

y = (7x 5)

 

x23x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

3x (7x 5)

 

 

5)

ln(7x

5)

( x

2

 

 

 

 

 

y =

 

 

 

 

 

 

 

(7x 5) (7x

 

 

 

 

 

3x) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(7x 5)

(x

2 3x)

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 1 7 (7x 5)

 

x2 3x

=

 

x2 3x (7x 5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

x2 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5) x

2

3x 1 (7x 5)

 

x

2

3x ln(7x 5)

 

 

 

 

= 7

x2 3x (7x

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

3x

 

 

 

Производная параметрической функции

Пусть функция

y(x)

x = x(t)

,

 

задана параметрически

y = y(t),

t0 t t1

Тогда имеют место формулы для нахождения производной функции y

по независимой переменной x

и

x по y

 

 

yt

,

 

xt

.

 

 

yx =

xt

xy =

yt

 

 

 

 

x = et cost,

1. y = et sin t.

x = t3 3t 1,

2.y = (t 4)3.

y

x

y

x

=yt xt

=yt xt

=

(e

t

 

 

= e

t

sin t e

t

cost

 

= sin t cost .

 

 

sin t)t

 

 

 

 

 

(et cost)t

 

 

 

et cost et sin t

 

 

 

cost sin t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

(t 4)1/2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( (t 4)

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

)t

=

2

 

 

 

 

 

 

=

 

 

.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2

1)

 

 

(t

 

 

 

3t 1)t

 

 

 

 

 

 

3t

 

 

 

2(t

 

ВЕБИНАР 6 часть 2

.

Дифференциал функции.

Применение производной к вычислению пределов

Дифференциал функции

Как известно, приращение функции в окрестности точки

x

может быть

 

0

представлено в виде суммы двух слагаемых

 

 

 

y = yx (x0 ) x x,

 

yx (x0 )

x

 

dy

главная часть полного приращения функции

 

 

 

x

бесконечно малая величина

Формула вычисления дифференциала

dy = y (x ) dx

x 0

Для нахождения дифференциала функции необходимо найти производную этой функции и умножить на дифференциал dx или приращение x

независимой переменной.

Например,

y = x2 , dy = d (x2 ) = (x2 ) dx = 2x dx,

y = sin x, dy = d (sin x) = (sin x) dx = cos x dx, y = ex , dy = d (ex ) = (ex ) dx = ex dx.

Правила нахождения дифференциалов

1.d (C) = (C) dx = 0,

2.d (u v) = du dv,

3.d (u v)=du v u dv.

u

du v u dv

 

4. d

 

=

 

.

 

v2

v

 

5. d (C u) = C du,

u

1

du

6. d

 

=

 

 

 

 

 

C

C

 
Соседние файлы в папке Модуль 6. Производная
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности