Преподаватель:

Филипенко Николай Максимович

Доцент ОМИ

Тема III: Функции нескольких переменных.

Лекция 1

Глава 1. Предел и непрерывность ФНП.

§1. Понятие и область определения ФНП

§2. Предел функции 2-х переменных.

Лекция 2 (продолжение)

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ФУНКЦИЯ z f (x, y) НЕПРЕРЫВНА В

Если обозначим x x0 x, y y0 y , то равенство (3.1)

можно переписать так:

•Т.О. функция z=f(x,y) непрерывна в точке М0 , если её полное приращение в этой точке величина бесконечно малая.

•Определение: U U(x x, y y,z z) U(x,y,z) - полное приращение

функции U(x, y,z) .

•Определение: Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области.

•Точки, в которых ф-ия не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Как и для функций одной переменной, сумма, разность и произведение непрерывных функций двух переменных в точке М0 будут

непрерывными в той же точке; частное непрерывных функций в точке М0 будет также непрерывной в М0 функцией, если только знаменатель

не обращается в нуль в этой точке. Справедлива также теорема о непрерывности сложной функции, теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса. Аналогично определяются предел и непрерывность функций трех и большего числа переменных.

Пример 4. Где будет разрывна функция z y2 2x ? y2 2x

Решение. Функция z непрерывна как отношение многочленов во всех точка где знаменатель не обращается в нуль. Точки разрыва расположены на лини у2 – 2х = 0, или у2 = 2х, т.е. на параболе.

ГЛАВА II ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Ф.Н.П.

§ 1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

Пусть задана U=f(x,y,z), определенная в области D и дана точка M(x,y,z). Зафиксируем y и z и будем изменять х, т.е. U будет функцией только х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: приращение функции при произвольном приращении x и фиксированных остальных переменных:

Аналогично определяются частные приращения по у и по z.

Частные приращения функции нескольких переменных.

Частные приращения функции находятся при условии, что приращение получает только одна переменная, другие при этом остаются неизменными.

xz z(x x; y) z(x; y)

yz z(x; y y) z(x; y)

Частные производные функции

Частные приращения функции находятся при условии, что приращение получает только одна переменная, другая при этом остается неизменной.

Правило вычисления частных производных. Вычисление частных производных осуществляется по правилам и формулам дифференцирования функции одной переменной с учетом того, что в процессе дифференцирования переменной является лишь та переменная, по которой проводится данное дифференцирование, а остальные переменные считаются константами.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1.( C ) = 0

2.( C U ) = C U

3.( U V )' = U V

4.( U V )' = U V U V

3.z x2 y3

Функция не является дробью относительно каждой переменной, так как числитель и знаменатель зависят только от одной переменной. Поэтому постоянный множитель отделяем в виде постоянного коэффициента и дифференцируем по второй переменной