4) Уравнение границы области также записываем в полярной системе координат
x2 y2 = 9 2 = 9 = 3.
x2 y2 = 25 z 2 = 25 = 5.
Переменная изменяется в пределах от0 до /2.
Так как в данном примере полюс полярной системы координат- вне области интегрирования, то переменная внутреннего интеграла
изменяется в пределах от 1 = 3 (линия входа луча в область)
до |
|
2 |
= 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(линия выхода луча из области). |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
5) Строим повторный интеграл |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y2 9 dxdy = |
2 |
9 d = |
||||
|
|
|
|
d |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(D) |
|
|
|
0 |
3 |
|
|
|
Так как пределы внутреннего и внешнего интегралов постоянные, то можно вычислить внешний и внутренний интегралы независимо друг от друга и результаты перемножить.
|
/2 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
5 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
/2 |
|
2 |
|
|
2 |
||||||||||||
= |
|
d |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
d = |0 |
|
2 |
|
|
9 d( |
9) = |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 |
2 ( 2 |
9)3/2 |5 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|||||
|
|
[ (25 9)3/2 (9 9)3/2 |
] = |
|
163/2 |
= |
. |
|||||||||||||||
|
6 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Приложения двойного интеграла
С помощью двойного интеграла можно вычислить площадь плоской фигуры.
S dS
( D)
элемент площади, который можно записать Здесь dS
как в декартовой, так и в полярной системе координат
Площадь фигуры в декартовой системе координат
S dS dx dy
(D) (D)
Площадь фигуры в полярной системе координат
S dS d d
(D) ( D)