3) Находим частные производные второго порядка и вычисляем их в этих точках

открытым. Для окончательного вывода нужны дополнительные исследования.

§ 3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ

ФУНКЦИИ В ОБЛАСТИ.

Пусть функция z f (x, y) определена и непрерывна со своими

частными производными 1-го порядка в замкнутой области D Тогда она согласно теореме Вейерштрасса достигает своего

наибольшего и наименьшего (т.е. глобального максимума и минимума)

значения либо во внутренних точках области, либо на границ этой области. Если экстремальное значение функция принимает во внутренних точках области, то эти точки обязательно будут критическими.

Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области D необходимо:

1.Найти стационарные точки в этой области и вычислить значения функций в них.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области, т.е. найти условный экстремум, например, методом исключения. Для этого из уравнений границы выражаем одну из переменных и подставляем в функцию z f (x, y). В результате получаем функцию

одной переменной, заданной на отрезке.

3.Из всех полученных значений функции нужно выбрать наибольшее и наименьшее.

Приравнивая эти производные нулю, получим систему уравнений

2x 0,

2y 0,

откуда х = 0, у = 0; т.е. имеется одна критическая точка (0; 0).

Найдем критические точки функции на границе области – окружности, задаваемой уравнением x2 y2 1. Подставляя y2 1 x2 в функцию z=z(x; y), получим функцию одной переменной z = x2 – 1 + x2 = 2x2 – 1, причем x [–1; 1].

Найдя производную z = 4x и приравнивая ее к нулю, получим критическую точку на границе области х = 0. Найдем значения функции z=z(x; y) в критических точках внутри области z(0; 0) = 0 и на ее границе z(0) = –1, а также на концах отрезка [–1; 1] на границе области z(–1) = =z(1)= 1 и выбираем среди них наибольшее и наименьшее.

Итак, zнаиб = z(–1; 0) = z(1; 0) = 1 и zнаим = z(0; 1) = z(0; –1) = –1.

Тема IV. : КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 1. Двойные интегралы и их вычисление.

В данной теме мы рассмотрим основные вопросы интегрирования функций многих переменных и обобщение понятия определенного интеграла для функций нескольких переменных.

§1. Примеры, приводящие к понятию кратного интеграла.

Рассмотрим тело (T), плотность ρ, которого известна, но переменна. Требуется вычислить массу m этого тела. Повторим схему, аналогичную схеме построения определенного интеграла: 1) разобьем тело на элементарные части (кусочки-объемчики); 2) выберем в каждом по точке; 3) приближенно подсчитаем массу кусочка, как произведение плотности на объем и 4) просуммируем. Получим приближенно массу тела, а в пределе, если он существует, получим точное равенство.

m limn in=1 p(Mi ) Ti

(1.1)

Этот предел называют кратным интегралом. Смысл кратности интеграла связан с размерностью области T.

§2. Понятие двойного интеграла. Геометрический смысл.

Двойной интеграл является логическим продолжением понятия определенного интеграла на случай функции двух независимых переменных по плоскойПусть вобластизамкнутой. области(D) плоскости XOY

определена функция z = f (x, y) .

Повторим схему, аналогичную схеме построения определенного интеграла Разобьем область(Dпроизвольной) сеткой линий на элементарныечасти

si (i = 1,2, nи) вычислим значения функции в произвольной точке

(xi ,каждойyi ) элементарной области и составим интегральную сумму.

Оп р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функцииz = f (x, y)

называется сумма произведений значений функции в выбранных точках на площади соответствующих

частичных (элементарных) областей

in=1 f (xi , yi ) si.

О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом от функцииz = f (x, y)

по области (называетсяD) предел полученной интегральной суммы при неограниченном увеличении числарзбиений области на части

и стремлении площадей всех элементарных участков к нулю

f (x, y)ds = limn in=1 f (xi , yi ) si

(D)

Если такой предел существует, то функция f(x,y) называется интегрируемой в области D. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция f(x,y) интегрируема на ней.

Геометрически двойной интеграл от неотрицательной в области D функции z = f(x; y) есть объем цилиндрического тела, ограниченного сверху графиком поверхности z = f(x; y), снизу – областью D в плоскости x0y и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z.