Тема III : Функции многих переменных. Тема IV: Кратные интегралы.
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ
Тема III: Функции нескольких переменных.
Лекция 6.
ГЛАВА IV ЭКСТРЕМУМЫ Ф.Н.П.
§ 1. НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭКСТРЕМУМА.
Экстремум функции двух переменных
Пусть функция |
z = z(x; y) определена в некоторой области (D), а |
M0 (x0; y0 ) |
внутренняя точка этой области. |
О п р е д |
е л е н и е. Точка M0 (x0; y0 ) называется точкой максимума |
|
функции |
z = z(x; y) |
, если значение функции в этой точке является |
|
|
наибольшим значением |
в некоторой окрестности точки M0 (x0; y0 ) :
f(x0; y0 ) f (x; y).
Оп р е д е л е н и е. Точка M0 (x0 ; y0 ) называется точкой минимума
если значение функции в этой точке является наименьшим значением функции в некоторой окрестности точки M0 (x0; y0 ) :
f (x0; y0 ) f (x; y).
Необходимый признак экстремума
Для того, чтобы функция z = f (x; y) имела в точке M0 (x0; y0 )
экстремум, необходимо, чтобы ее частные производные первого порядка либо равнялись нулю, либо не существовали в этой точке
Точки, в которых выполняются необходимые условия экстремума, называются критическими точками функции и только в них функция может принимать экстремальные значения.
То, что условия (*) не являются достаточными легко
показать на примере: z x |
|
y |
|
; |
zx |
2x; zy 2y |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
В точке (0;0) частные производные =0.
Однако, эта функция не имеет в указанной точке экстремума, так как в ней она =0 и в ни какой окрестности этой точки не сохраняет знак:
x 0, z 0; |
y 0, z 0. |
§2. Достаточные условия экстремума
Пусть в точке M0 (x0; y0 ) выполнены необходимые условия экстремума
Найдем все вторые частные производные функции и обозначим их значения в этой точке
|
|
2 z |
|
|
|
|
2 z |
|
|
|
|
|
2 z |
|
||||
a = |
|
2 |
|
|
, |
a = |
|
|
, |
a |
22 |
= |
|
2 |
. |
|||
|
|
|
|
|||||||||||||||
11 |
|
x |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|||
|
|
|
M |
0 |
|
|
|
x y M |
0 |
|
|
|
|
M |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Достаточные условия экстремума:
Если выражение: a11 a22 a12 a21 0, то функция имеет в этой точке экстремум, причем, если
а) |
a11 |
0, |
б) |
a11 |
0, |
то в точке максимум,
то в точке минимум
Если выражение: a11 a22 |
a12 a21 |
0, |
то экстремума не существует, |
|||||
Если выражение: |
a |
a |
22 |
a |
a |
21 |
0, |
то вопрос о наличии экстремума |
11 |
|
12 |
|
|
не решен |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача. Исследовать на экстремум функцию
1. z = x2 xy y2 4x y 6.
1) Функция определена для всех значений переменных x и y
2) Находим частные производные первого порядка и составляем систему для определения координат точек, в которых возможен
экстремум |
|
= 2x |
y 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
zx |
zy = x 2y 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
= 0, |
|
|
|
2x y 4 = 0 |
|
|
|
|
|
|
x = 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||
zx |
|
, |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 2y 1 = 0 |
|
|
|
|
|
|
y = 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
zy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таким образом, найдена критическая (или стационарная) точка |
|
M0 (3; 2). |
|||||||||||||||||||||||
3) Находим частные производные второго порядка и вычисляем их в точке |
|||||||||||||||||||||||||
M0 (3; 2). |
|
|
|
|
2 |
z |
|
|
|
|
|
2 |
z |
|
|
|
|
|
2 |
z |
|
|
|
||
|
|
|
a = |
|
|
|
|
= 2, a = |
|
|
|
|
= 1, a |
|
|
|
|
= 2. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
x |
2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
22 |
y |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
|
x y M |
0 |
|
|
|
M |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В данном случае координаты точки не понадобились, так как производные второго порядка -- постоянные числа.
Составляем выражение a11a22 a122 = 2 2 12 = 3 > 0.
Делаем вывод о том, что экстремум существует и, так как, при этом a11 > 0, то в точке M0 (3; 2) min.
Значение функции в точке: zmin = z(3; 2) = 13.
Исследовать на экстремум функцию
2. z = x4 y4 x2 y2 2xy.
1) Функция определена для всех значений переменных x и y
2) Находим частные производные первого порядка и составляем систему для определения координат точек, в которых возможен экстремум
z x4 y4 x2 y2 2xy
|
|
3 |
2x 2y, |
|
|
4x |
3 |
2x 2y = 0 |
|
|
|
|
|
||||||||
zx = 4x |
, |
|
|
|
. |
|||||
|
|
3 |
2x 2y. |
4y |
3 |
2x 2y = 0 |
||||
zy = 4y |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычитая из первого уравнения второе, получим
4(x3 y3 ) = 0 (x y)(x2 xy y2 ) = 0.
Выражение во второй скобке равно нулю только при x = 0; y = 0.
Первый сомножитель обращается в нуль при |
x = y. |
|||
Подставляем x вместо y |
в первое уравнение системы и получаем |
|||
4x3 4x = 0 x = 0, x |
2 |
= 1, x = 1. |
||
Соответствующие значения y |
1 |
|
3 |
|
y1 = 0, y2 = 1, y3 = 1. |
||||
Таким образом, мы получили три критических точки
O(0; 0), M1( 1; 1), M2 (1;1).