§ 3. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ

ФУНКЦИИ В ОБЛАСТИ.

Пусть функция z f (x, y) определена и непрерывна со своими

частными производными 1-го порядка в замкнутой области D Тогда она согласно теореме Вейерштрасса достигает своего

наибольшего и наименьшего (т.е. глобального максимума и минимума)

значения либо во внутренних точках области, либо на границ этой области. Если экстремальное значение функция принимает во внутренних точках области, то эти точки обязательно будут критическими.

Поэтому для отыскания наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области D необходимо:

1.Найти стационарные точки в этой области и вычислить значения функций в них.

2.Найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области, т.е. найти условный экстремум, например, методом исключения. Для этого из уравнений границы выражаем одну из переменных и подставляем в функцию z f (x, y). В результате получаем функцию

одной переменной, заданной на отрезке.

3.Из всех полученных значений функции нужно выбрать наибольшее и наименьшее.

Приравнивая эти производные нулю, получим систему уравнений

2x 0,

2y 0,

откуда х = 0, у = 0; т.е. имеется одна критическая точка (0; 0).

Найдем критические точки функции на границе области – окружности, задаваемой уравнением x2 y2 1. Подставляя y2 1 x2 в функцию z=z(x; y), получим функцию одной переменной z = x2 – 1 + x2 = 2x2 – 1, причем x [–1; 1].

Найдя производную z = 4x и приравнивая ее к нулю, получим критическую точку на границе области х = 0. Найдем значения функции z=z(x; y) в критических точках внутри области z(0; 0) = 0 и на ее границе z(0) = –1, а также на концах отрезка [–1; 1] на границе области z(–1) = =z(1)= 1 и выбираем среди них наибольшее и наименьшее.

Итак, zнаиб = z(–1; 0) = z(1; 0) = 1 и zнаим = z(0; 1) = z(0; –1) = –1.

Тема IV. : КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Глава 1. Двойные интегралы и их вычисление.

В данной теме мы рассмотрим основные вопросы интегрирования функций многих переменных и обобщение понятия определенного интеграла для функций нескольких переменных.

§1. Примеры, приводящие к понятию кратного интеграла.

Рассмотрим тело (T), плотность ρ, которого известна, но переменна. Требуется вычислить массу m этого тела. Повторим схему, аналогичную схеме построения определенного интеграла: 1) разобьем тело на элементарные части (кусочки-объемчики); 2) выберем в каждом по точке; 3) приближенно подсчитаем массу кусочка, как произведение плотности на объем и 4) просуммируем. Получим приближенно массу тела, а в пределе, если он существует, получим точное равенство.

m limn in=1 p(Mi ) Ti

(1.1)

Этот предел называют кратным интегралом. Смысл кратности интеграла связан с размерностью области T.

§2. Понятие двойного интеграла

Двойной интеграл является логическим продолжением понятия определенного интеграла на случай функции двух независимых переменных по плоскойПусть вобластизамкнутой. области(D) плоскости XOY

определена функция z = f (x, y) .

Повторим схему, аналогичную схеме построения определенного интеграла Разобьем область(Dпроизвольной) сеткой линий на элементарныечасти

si (i = 1,2, nи) вычислим значения функции в произвольной точке

(xi ,каждойyi ) элементарной области и составим интегральную сумму.

Оп р е д е л е н и е. Интегральной суммой для функцииz = f (x, y)

называется сумма произведений значений функции в выбранных точках на площади соответствующих

частичных (элементарных) областей

in=1 f (xi , yi ) si.

О п р е д е л е н и е. Двойным интегралом от функцииz = f (x, y)

по области (называетсяD) предел полученной интегральной суммы при неограниченном увеличении числарзбиений области на части

и стремлении площадей всех элементарных участков к нулю

f (x, y)ds = limn in=1 f (xi , yi ) si

(D)

Если такой предел существует, то функция f(x,y) называется интегрируемой в области D. Всякая непрерывная в ограниченной замкнутой области D функция f(x,y) интегрируема на ней.

Геометрически двойной интеграл от неотрицательной в области D функции z = f(x; y) есть объем цилиндрического тела, ограниченного сверху графиком поверхности z = f(x; y), снизу – областью D в плоскости x0y и с боков – цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси 0z.