Тема III : Функции многих переменных. |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ
Тема III: Функции нескольких переменных.
Лекция 5.
Глава 1. Предел и непрерывность ФНП.
§1. Понятие и область определения ФНП
§2. Предел функции 2-х переменных.
§3. Непрерывность и разрывы функции.
ГЛАВА II ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Ф.Н.П.
§1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
§2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ПОЛНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
§3. Производная сложной функции.
§4. Инвариантность формы полного дифференциала.
§5. Дифференцирование неявных функции.
§6. Частные производные высших порядков.
§7. Дифференциалы высших порядков.
ГЛАВА III ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ Ф.Н.П.
§ 1. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.
Определение: Касательной плоскостью к поверхности z f (x, y) или F(x, y, z) 0 в точке
M 0 (x0, y0, z0 ) , принадлежащей поверхности, называется плоскость, в которой лежат
касательные к любой кривой, проходящей через эту точку.
F (M |
0 |
)(x x ) F (M |
0 |
)(y y |
) F (M |
0 |
)(z z |
) 0 (1.1) |
|||||
x |
|
|
0 |
y |
|
0 |
z |
0 |
|
||||
z z |
0 |
f (M |
0 |
)(x x ) f (M |
0 |
)(y y ) |
|
(1.2) |
|
||||
|
|
x |
|
0 |
|
y |
0 |
|
|
|
|||
Определение: Прямая, проходящая через точку M 0 (x0, y0, z0 ) и перпендикулярная касательной
плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется её нормалью.
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
|
z z0 |
|
(1.3), |
|||||
F (M |
) |
|
F (M |
|
) |
|
F (M |
) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
z |
0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
z z0 |
|
|
(1.4). |
|||||
f (M |
) |
|
f (M |
) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
x |
0 |
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2. Производная по направлению. Градиент.
Оп р е д е л е н и е. Вектором-градиентом скалярного поляU (x; y; z)
вданной точке называется вектор, координатами которого служат значения частных производных функции поля в этой точке.
|
U |
|
U |
|
U |
|
grad U = |
|
; |
|
; |
|
. |
x |
y |
|
||||
|
|
|
z |
|||
Или |
grad U = |
U |
i |
U |
j |
U |
k. |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
Для плоского поляU (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
U |
; |
U |
Или |
grad U = |
U |
i |
U |
j. |
|||
grad U = |
x |
y |
. |
|
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Частные производные функцииU вычисляются в точке M0.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА К
ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ.
f (x x, y y) f (x, y) f f (x, y) df (x, y) f x f y .
x y
Приближенные вычисления с помощью дифференциала
Выше мы записывали выражение для полного приращения функции
z = z(x x; y y) z(x; y).
которое можно записать в виде суммы
z = |
z |
x z |
y ( x; y), |
|||
|
x |
|
y |
|
|
|
выражение |
|
dz = |
z x |
z |
y. |
|
|
|
|||||
|
|
|
x |
|
y |
|
является полным дифференциалом функции
Таким образом, отбрасывая бесконечно малое слагаемое, можно записать приближенное выражение для приращения функции
z z(x x; y y) z(x; y) z x z yx y
откуда окончательно получаем формулу приближенных вычислений
z(x0 x; y0 y) z(x0 ; y0 ) z x z yx y
Отметим, что частные производные вычисляются в точкеM0 (x0; y0 ) |
|||||||
Задача заключается в следующем: Пусть требуется вычислить значение |
|||||||
функции |
z z(x; y) в точке M (x0 x; y0 |
y), причем значение |
|||||
функции в точке |
M0 (x0; y0 ) |
известно или легко может быть вычислено |
|||||
Тогда необходимо: |
|
|
x; |
|
|||
1) |
значения аргументов записать в виде x x0 |
y y0 y |
|||||
2) Вычислить значение функции |
z(x0 ; y0 ) |
|
|
||||
|
|
|
z |
z |
и также вычислить их при |
||
3) Найти частные производные |
x |
и y |
|||||
|
|
||||||
|
x x0 ; |
y y0. |
|
|
|
|
|
4) И затем все полученные значения подставить в формулу приближенных вычислений
Задача. Заменяя полное приращение функции ее дифференциалом, вычислить приближенно значение функции
|
|
|
|
|
|
|
|
z ln(3 |
x |
|
4 |
y |
1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
в точкеM (x1; y1 ) |
|
|
с координатами |
x1 1,03; |
y1 0,98 |
|
||||||||||||||||||||||||||
1) значения аргументов записываем в виде |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x 1,03 x |
0 |
|
x 1 0,03; |
|
|
|
|
|
|
|
y1 0,98 y0 |
y 1 0,02 |
||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0,03; |
|
|
y0 1, |
y 0,02 |
||||||||||||||
Итак, |
|
|
|
x0 1; |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
2) Вычислить значение функции в точке |
|
M0 (x0 ; y0 ) M0 (1;1) |
||||||||||||||||||||||||||||||
z(1;1) ln(3 |
|
|
4 |
|
1) ln(3 |
|
4 |
|
1) ln1 0 |
|||||||||||||||||||||||
x |
y |
1 |
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
3) Находим частные производные и вычисляем их в точке |
M0 (1;1) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
z |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 x 2/ 3 |
|
1 |
|
1 |
1 1 |
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
3 |
|
x 4 y 1 3 |
|
|
1 1 |
1 3 |
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
z |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 y 3/ 4 |
|
1 |
|
1 |
1 1 |
|
|
||||||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x 4 y 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
4 |
|
|
|
|
1 1 |
1 4 |
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||
4)Все полученные значения подставляем в формулу приближенных вычислений
z(x x; y |
0 |
y) z(x ; y |
) z |
x z y |
|
||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
x |
|
y |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z(1;1) 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
1;1 |
|
|
1 |
|
|
|
x 0,03; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
z |
(1;1) |
|
|
1 |
|
|
y 0,02 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z ln(3 |
1,03 4 |
|
0,98 1) |
0 3 0,03 |
4 |
( |
0,02) |
||||||||||
0,01 0,005 0,005 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Итак, приближенное значение функции в заданной точке равно0,005