Тема III : Функции многих переменных. |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ
Тема III: Функции нескольких переменных.
Лекция 4.
Глава 1. Предел и непрерывность ФНП.
§1. Понятие и область определения ФНП
§2. Предел функции 2-х переменных.
§3. Непрерывность и разрывы функции.
ГЛАВА II ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Ф.Н.П.
§1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.
§2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ПОЛНЫЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛ.
§3. Производная сложной функции.
§4. Инвариантность формы полного дифференциала.
§5. Дифференцирование неявных функции.
§6. Частные производные высших порядков.
§7. Дифференциалы высших порядков.
§ 6. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ.
Пусть имеем функцию z z(x, y, ) xz ; yz ; -
производные первого порядка, функции от x, y, .
и их можно дифференцировать по этим переменным:
|
|
|
z |
|
2 z |
z |
(x, y, ) |
функция z дифференцируется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
xx |
|
|
|
||||
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дважды по х. |
|
|
|
2 z |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
z |
(z ) |
|
|
z ; |
- здесь z дифференцируется |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
x y |
xy |
|
||||
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
сначала по х, потом результат по у. |
||||||||||||||||
|
z |
2 z |
z |
- функция дифференцируется |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y2 |
|
|
yy |
|
|
|
|
||||||
|
y |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
последовательно дважды по у. Частные производные вида
z и z называют смешанными частными производными.
xy yx
ТЕОРЕМА ШВАРЦА: Если частные производные высшего порядка непрерывны, то смешанные производные одного порядка, отличающиеся только последовательностью дифференцирования, равны между собой.
3 z 3 z 3 zx y x 2 x y y 2 x
Пример. Найти все частные производные 1-го и 2-го порядка функции
z = 2x 3y . x y
2 z |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
= 5x (x |
|
|
2 |
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y) |
= |
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
y |
= |
|
(x y) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
10x |
|
|
|
|
||||||||
= 5x ( 2) (x y) 3 ( 1) = |
|
|
, |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
(x |
y)3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 z |
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
5 (x y)2 5x 2 (x y) |
|
||||||||||||
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y x |
|
(x y) |
2 |
|
|
|
(x |
y) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
= |
5 (x y) 10x |
|
= |
|
5x 5y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(x y)3 |
|
|
|
|
|
|
|
(x y)3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
На этом примере убеждаемся в том, что смешанные производные второго порядка функции двух независимых переменных всегда равны между собой, если они непрерывны.
В принципе, это верно и для смешанных производных любого порядка.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
|
f |
|
dx |
|
f |
dy |
(7.1) - первый дифференциал |
|
|
||||||||||||||||
df |
|
y |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Это выражение также функция тех же переменных и |
|
||||||||||||||||||||||||
можно найти от него дифференциал |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
d(df )) d |
2 f d( |
f |
dx |
f |
dy) ( |
f |
dx |
f |
dy) dx |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
x |
y |
x |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
( f |
dx f |
|
dy)y dy ( |
2 f dx |
2 f |
dy) dx ( |
2 f |
dx |
2 f |
dy) |
|||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y x |
|
|
x y |
y2 |
|
||||||||
|
2 f |
|
|
|
2 |
2 f |
|
|
|
|
2 f |
dy2 (7.2) – второй |
|
|
|||||||||||
d 2 f |
x2 |
|
dx2 |
|
|
|
dxdy |
y2 |
|
|
|||||||||||||||
|
x y |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
дифференциал. |
|
|
d (n) f d(d (n 1) f ). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
d dx dy - оператор дифференцирования.
x y
d 2 f ( x dx y dy)2 f ; d (n) f ( x dx y dy )n f ;
Дифференциалы высших порядков не обладают инвариантностью формы.
Пример. Найти d2z, если |
z ex cosy. |
|
|
|
|
|||||||
Решение. Находим первые и вторые частные производные: |
|
|||||||||||
|
|
z |
ex cosy , |
|
z |
ex sin y , |
2 z |
ex cosy , |
2 z |
ex sin y , |
||
|
|
x |
|
|
x y |
|||||||
|
|
|
|
y |
|
x2 |
|
|||||
|
2 z |
|
ex cosy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, по формуле (7.2): |
|
|
|
|
||||||||
d 2 z ex cosy dx2 |
2ex |
sin y dxdy ex cosy dy2 . |
|
|
||||||||
ГЛАВА III ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ И
ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ Ф.Н.П.
§ 1. КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ И НОРМАЛЬ К ПОВЕРХНОСТИ.
Определение: Касательной плоскостью к поверхности z f (x, y) или F(x, y, z) 0 в точке
M 0 (x0, y0, z0 ) , принадлежащей поверхности, называется плоскость, в которой лежат
касательные к любой кривой, проходящей через эту точку.
F (M |
0 |
)(x x ) F (M |
0 |
)(y y ) F (M |
0 |
)(z z |
) 0 (1.1) |
||||||
x |
|
|
0 |
y |
|
0 |
z |
0 |
|
||||
z z |
0 |
f (M |
0 |
)(x x ) f (M |
0 |
)(y y ) |
|
(1.2) |
|
||||
|
|
x |
|
0 |
|
y |
0 |
|
|
|
|||
Определение: Прямая, проходящая через точку M 0 (x0, y0, z0 ) и перпендикулярная касательной
плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется её нормалью.
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
|
z z0 |
(1.3), |
|||||
Fx (M 0 ) |
|
Fy (M 0 ) |
|
Fz (M 0 ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x x0 |
|
|
|
y y0 |
|
|
|
z z0 |
|
(1.4). |
|||||
f (M |
) |
|
f (M |
) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
x |
0 |
|
|
|
|
y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ.
U f (x, y, z); M (x, y, z) D |
|
l {cos ,cos ,cos }. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
M |
(x x, y y, z z) ; |
MM |
1 |
l ( x)2 ( y)2 ( z)2 |
||
1 |
|
|
|
|
f при |
|
Определение: Если существует предел lim |
||||||
|
|
|
|
|
l 0 |
l |
l 0 (M1 M ), то он называется производной функции
U f (x, y, z) в точке M (x, y, z) |
по направлению l и |
|||||||||||
обозначается: |
f |
|
fl . |
|
|
|
|
|
|
|
||
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
f |
|
f |
|
|
f |
|
|
|
N |
||
|
cos |
y |
cos |
z |
cos (3.1). |
l |
|
|
. |
|||
l |
x |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
||
Пример: M1(1;2;3), |
M 2 (2;0;4). |
l ? |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||||||
Определение: Градиентом функции U f (x, y, z) называется вектор, координаты которого равны соответствующим
частным производным: fx , fy , fz , взятым в точке M (x, y, z)
|
|
|
|
f |
|
|
f |
|
|
|
f |
|
|
(2.2). |
|
|
|
||||||||
grad f f |
i |
y |
j |
z |
k |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
cos |
f |
cos |
f |
cos |
(2.3). |
|||||||
(grad |
f ,l ) ( f ,l ) |
|
y |
z |
|||||||||||||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
f |
|
|
|
|
|
|
f |
|
cos |
|
f |
2 |
|
f 2 |
|
f 2 |
cos . |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
l |
|
|
grad |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||