Производная по направлению вычисляется по формуле
|
U |
= |
U |
cos |
U |
cos |
U |
cos , |
где |
l |
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
, U |
, |
U |
частные производные функцииU (x; y; z), |
||||
x |
y |
|
z |
|
|
|
|
|
вычисленные в точке M0, |
|
|
|
|
||||
cos , cos , cos направляющие косинусы направленияl или что тоже -- координаты его орта
lo = {cos ; cos , cos }.
Если известны координаты вектора l = { x; y; z },
то его направляющие косинусы находятся по формулам
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
cos = |
, |
cos = |
, |
cos = |
, |
| l |= x2 y2 z2 . |
||||||
| l | |
| l | |
| l | |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
по заданному направлению есть скорость изменения этой функции в данной точке по указанному направлению.
Для вычисления производной скалярного поля в данной точке по данному
направлению необходимо:
в
a) Найти значения всех частных производных первого порядка данной точке.
l o .
b) Из условий задачи, если не задано сразу, найти единичный вектор c) Вычислить(орт)производнуюза анногосогласнонаправленияприведенным выше формулам.
1 |
|
U = 3x2 |
|
4xy |
в точке |
Найти производную скалярного поля |
|
|
OX |
||
M0 |
( 1; 4) |
|
|
угол |
|
|
в направлении, составляющем с осью |
||||
= 2 /3
a)Находим частные производные и их значения в точке
U |
|
|
= |
|
|
3x |
2 |
|
4xy 6x 4y |x= 1, y=4 = 6 16 22, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
x |
|
||||||||||
|
M |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
= |
|
|
|
3x |
2 |
4xy 4x |x= 1, y=4 = 4. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
M |
0 |
|
|
y |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) Направление на плоскости задано углом . Находим
cos = cos(2 /3) = 1/2, |
sin = sin(2 /3) = |
|
|
3/2. |
|||
c) Подставляем все полученные значения в формулу для производной по направлению для случая плоского поля
U |
|
U |
|
U |
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
= |
cos |
sin = 22 |
|
4 |
|
|
= 11 2 |
3 14,4. |
||||||
l |
x |
y |
2 |
2 |
|
|||||||||
Вектор--градиент скалярного поля
Оп р е д е л е н и е. Вектором-градиентом скалярного поляU (x; y; z)
вданной точке называется вектор, координатами которого служат значения частных производных функции поля в этой точке.
|
U |
; |
U |
; |
U |
grad U = |
x |
y |
. |
||
|
|
|
z |
Или |
grad U = |
U |
i |
U |
j |
U |
k. |
|
|
||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
Для плоского поляU (x; y) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
U |
; |
U |
Или |
grad U = |
U |
i |
U |
j. |
|||
grad U = |
x |
y |
. |
|
x |
y |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Частные производные функцииU вычисляются в точке M0.
Суть вектора-градиента:
1.Вектор-градиент в каждой точке поля направлен перпендикулярно к линии (поверхности) уровня, проходящей через данную точку.
2. Величина производной в точке по направлению есть проекция вектора-градиента поля в данной точке на данное направление.
3. Величина вектора-градиента (его модуль) есть наибольшая из всех производных в данной точке по всем направлениям.
Направление вектора-градиента при этом есть направление, в котором
поле растет с наибольшей скоростью.
Найти величину и направление вектора наибольшей скорости |
||
1. |
U = xz2 x3 y |
в точке M0 (2; 2; 4). |
изменения функции |
||
Так как поле растет с наибольшей скоростью в направлении вектора-градиента, то данная задача сводится к нахождению градиента заданной функции, его длины и направляющих косинусов в указанной точке.
Находим сначала вектор-градиент поля. Для этого находим частные |
||||||||||||||
производные функции |
U (x; y; z)и вычисляем их в заданной точке |
|||||||||||||
M0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = z 2 |
|
xy |
|
|M = 13, |
U = |
|
x3 |
|
|
|M = 1, |
U |
= 2xz |M = 16. |
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
z |
||||||
|
|
2 y |
|
|||||||||||
x |
0 |
y |
0 |
0 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Записываем вектор-градиент
grad U = 13 i 1 j 16 k = {13; 1;16}.
Находим длину вектора-градиента
| grad U |= 
132 ( 1)2 162 = 
426 20,64.
правление вектора-градиента задается его направляющими косинусами
cos = 
13426 ; cos = 
4261 ; cos = 
16426 .
Таким образом, наибольшая скорость изменения функции в точке равна
20,64.
Направление, в котором функция меняется с наибольшей скоростью, Задается вектором, который образует с осями координат углы, косинусы которых мы определили.
Найти величину и направление наибольшей скорости изменения |
||
2. |
xy2 |
|
скалярного поля |
в точке M1(3; 2; 2) |
|
U = |
z3 |
|
ак как поле растет с наибольшей скоростью в направлении ектора-градиента, то данная задача сводится к нахождению градиента аданной функции, т.е. его длины и направляющих косинусов в указанной очке.
Находим частные производные функции |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
U |
= |
y2 |
| |
|
= |
4 |
|
= |
1 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
z3 |
|
|
8 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
U |
|
3xy2 |
36 |
9 |
|||||||||
U |
|
2xy |
|
|
|
12 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = |
z4 |M1 = 16 = 4. |
||||||||||||
y |
= |
z3 |
|
|M1 |
= |
8 = |
2 |
, |
|
|
||||||||||||
Градиент в |
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
точке |
|
|
|
|
|
|
|
1 i 3 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
grad U = |
|
j |
k = { 1/2; 3/2; 9/4}. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Модуль вектора-градиента - величина наибольшей скорости изменения |
||||||||||||||||||||||
функции в точке |
|
|
M1 будет равен |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
11 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
| grad U |= |
1 |
9 |
81 |
= |
121 |
= 2,75. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
4 |
16 |
|
16 |
|
4 |
|
|
|
|
Направление вектора-градиента в точкеM1характеризуется его направляющими косинусами
cos = 11/41/2 = 112 ; cos = 11/43/2 = 116 ; cos = 11/49/4 = 119 .