Добавил:

PickyEater13 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Политехнический Университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Математика / Функции нескольких переменных 3.ppt

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2024

Размер:

667.14 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Тема III : Функции многих переменных.

Преподаватель:

Филипенко Николай Максимович

Доцент ОМИ

Тема III: Функции нескольких переменных.

Лекция 3.

Глава 1. Предел и непрерывность ФНП.

§1. Понятие и область определения ФНП

§2. Предел функции 2-х переменных.

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ФУНКЦИЯ z f (x, y) НЕПРЕРЫВНА В

ТОЧКЕ M 0	, ЕСЛИ lim f (M ) f (M	0) . (3.1)
	M M 0

ГЛАВА II ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Ф.Н.П.

§1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

§2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬ И ПОЛНЫЙ

ДИФФЕРЕНЦИАЛ.

(3.1).

§ 3. ПРОИЗВОДНАЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ.

z f (x, y) - Функция двух переменных, каждая из которых является функцией независимой переменной

t : x x(t); y y(t) z f [x(t), y(t)].

Теорема: если z f (x, y) - дифференцируема в точке

M (x, y) D и x x(t); y y(t) - дифференцируемые функции

независимой переменной t , то производная сложной функции z f [x(t), y(t)] вычисляется по формуле:

dz z dx z dy dt x dt y dt

Доказательство: t x; y z

z fx x f y y ( x) x ( y) y

lim

t 0

x t 0

y t 0

lim ( t) lim

x lim ( t) lim

t 0

dz z dx z dy 0 . dt x dt y dt

Пример. Найти производную

dt сложной функции

e3x y2 ,

где

x = t5 ln t; y =

sin t

Производную находим по формуле

Найдем все входящие в эти формулы производные отдельно

3x y2

x e

3=e

3x y2

(

2y),

= 5t

cost.

sin2 t

Подставляем полученные производные в выражение для

z dx

z dy

3x y2

= e

dt y dt

2 x

3x y2

cos t

( 2 y)

sin2 t

Частный случай:

z f (x, y),

y y(x) z f (x, y(x)) -

сложная функция одной независимой переменной X. Тогда

получим:

. (3.2)

Это формула вычисления полной производной, в отличие от частной производной.

Пример 2. Найти

и dz

, если

z ln ex ey , где y = x2.

Решение. Имеем

ln ex ey

ex 0

ex ey

Полная производная

вычисляется по формуле (3.2),

где

ex ey

dz z

ey 2x .

ex ey

y dx

Поскольку y = x2 , то

ex2 2x .

Общий случай:

Если х и у зависят от нескольких переменных, например, x(u; v), y(u; v), то формулы частных производных сложной функции z = z(u; v) = f(x(u; v), y(u; v)) имеют вид:

;

(3.3)

Производные сложных функций, зависящих от большего числа аргументов, вычисляются по аналогичным правилам. Например, если u = f(x; y; z), а x, y. z сами являются функциями от каких-то переменных t, s, ..., то

u	u	x	u	y	u	z
t	x	t	y		z	t .	(3.4)
				t

Пример 3. Найти

, если

z arctg x

, где

x = u sin v , y = u cos v.

Находим сначала частные производные данных функций:

;

x 2

sin v ;

x u cos v ;

cos v ;

u sin v .

По формуле (3.3) находим производные от сложной функции z(u; v):

sin v

cos v

u cos v sin v

u sin v cos v

y 2 x 2

y 2

x 2

u 2 cos2

v u 2 sin 2 v

u2 cos2 v u2 sin 2 v

u cos v

u sin v

u 2

cos2 v

u 2 sun2 v

y 2

x 2

y 2 x 2

§ 4. ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПОЛНОГО

ДИФФЕРЕНЦИАЛА.

Дано z f (x, y),

x x(u,v); y y(u,v).

Найдем

dz z du

z dv (подставляя из (3.2) получим)

dz (

z x

z y

)du (

z x

z y

)dv

(

dv)

(

dy .

dv)

Это свойство полного дифференциала называется инвариантностью

Формы, т.е. в выражении для дифференциала безразлично являются ли х и у функциями других переменных или нет.

§ 5. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ

ФУНКЦИЙ

Рассмотрим уравнение вида: F(x, y, z) 0 - неявно

выраженная функция двух переменных z f (x, y). Зафиксируем y и продифференцируем F(x, y, z) 0 по правилу дифференцирования сложной функции, имея в виду, что z зависит от x. Получим, поступая также, как при выводе (3.2):