Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
доцент ОМИ ТПУ
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r
2) показательные: y =ax ; y =ex 3) логарифмические: y =lnx
4)тригонометрические:y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx
5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx
Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) |
|||||
называется функция вида |
|
a xn 2 |
... a |
|
|
P |
(x) a xn a xn 1 |
n |
|||
n |
0 |
1 |
2 |
|
|
|
(ak R, a0 0, |
n N, |
k 0, ..., n). |
|
|
Рациональной (дробной рациональной) функцией называют |
||||||||
отношение двух многочленов |
|
a |
xn 2 |
... a |
|
|
||
f (x) |
a xn a xn 1 |
n |
|
|||||
0 |
1 |
2 |
|
|
|
|||
b xm b xm 1 |
b xm 2 |
... b |
||||||
|
||||||||
|
0 |
1 |
2 |
|
m |
|||
Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х с рациональным показателем.
Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции.
Трансцендентными называют остальные элементарные функции.
Основные характеристики поведения
функции
1)Четность функции (чётная, нечётная, общего вида);
2)Периодичность функции;
3)Монотонность функции (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая);
4)Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).
Геометрический смысл производной
функции.
О п р е д е л е н и е. Касательной к графику функцииy = f (x)
в точке Mназывается0 предельное положение секущейM0 M при стремлении точкиM по кривой к точкеM0
Геометрический смысл производной:
Значение производной функции в точке yx (x0 )
есть угловой коэффициент касательной, проведенной к графику
функции в данной точке
yx (x0 ) = tg = kкас.
|
|
Определение. Пусть функция |
f( x ) определена на (a,b) |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
непрерывна в т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x0 |
|
из этого промежутка |
(a,b). |
|
Тогда приращению |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x отвечает приращение |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
= f( x0+ x ) – |
|
f( x0 |
) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если приращение y может быть представлено |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде суммы линейной относительно x б.м.ф |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
и б.м.ф высшего порядка малости относительно |
|
x: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = А . x + О ( x ) |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(А=const) |
|
|
|
|
|
|
|
x0 . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
то функцию f( x ) называют дифференцируемой в точке |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
А |
|
|
|
x – |
дифференциал функции |
|
f( x ) |
в точке |
|
|
x0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Обозначают: dy df ( x0 ) A x
Теорема. Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке.
Следствие. dy df ( x0 ) f / ( x0 ) dx
Геометрический смысл дифференциала
Дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику функции в
этой точке, соответствующему приращению аргумента.
dy tg y/ tg x dy
x