§5. Формула Стокса. (Обобщение теоремы Грина)
Для вычисления циркуляции векторного поля по замкнутому контуру
можно применять, кроме непосредственного вычисления, теорему Стокса: если в некоторой области пространства содержится двусторонняя кусочно-гладкая поверхность , ограниченная кусочно-
гладким контуром L с единичным вектором нормали n , выбранным так, чтобы видимый с его конца обход контура L совершался против часовой стрелки, то
Ц Ad r |
rotA n d , |
(***) |
|
|
|
т.е. циркуляция равна потоку ротора векторного поля A через поверхность , «опирающейся» на контур L .
Здесь векторному полю
A P(x, y, z)i Q(x, y, z) j R(x, y, z)k
поставлено в соответствие другое векторное поле, называемое ротором A, которое определяется равенством
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
j |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
rot A |
|
|||||||||
|
x |
|
y |
|||||||
|
|
|
|
P |
|
Q |
||||
k
z R
|
R |
|
Q |
|
|
|
P |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
i |
|
|||
|
y |
|
z |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
Q |
|
P |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
j |
x |
k . (****) |
|||||
x |
|
|
|
y |
|||
Пример. Найти циркуляцию векторного поляA = xi zj xk
вдоль линии пересечения цилиндраx2 y2 = 9 с плоскостью
2x y z = 1.
1) Находим координаты вектора-ротора
|
i |
|
j |
k |
|
|
||
rotA = |
|
|
|
|
|
|
|
= { 1, 1,0}. |
|
x |
|
y |
|
z |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
z |
|
x |
|
|
2) Находим единичный вектор нормалиno .
онтур интегрирования есть линия пересечения цилиндра плоскостью 2x y z =и1 целиком лежит в этой плоскости.
Вектор внешней нормали при этом N = {2,1,1}, а единичный вектор нормали
n0 =
Имеем
|
|
1 |
|
|
3 |
|
||||
Ц = |
(rotA no )d = |
{ 1, 1,0}{2,1,1} |
6 |
|
d = |
6 |
|
d . |
||
( ) |
( ) |
|
|
|
( ) |
|||||
Задача свелась к вычислению площади фигуры, ограниченной эллипсом. Проецируем на горизонтальную плоскостьXOY
Так как вектор нормали к плоскости эллипса составляет с осьюOZ
угол, косинус которогоcos = |
|
1 |
|
, то d = |
dx dy |
|
= |
|
|
dx dy. |
|||||||||
|
|
|
6 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||
6 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| cos | |
|
|
|
|
||||
Ц = |
3 |
|
|
dx dy = 3 |
|
|
dx dy = 3 S = 3 32 |
= 27 . |
|||||||||||
6 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(D) |
|
(D) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Векторное поле A(M ) называется потенциальным, если существует такое скалярное поле U (M ) в области V , для которого
|
A |
gradU. |
(1) |
|||
Функция U (M ) называется потенциалом поля |
|
. Потенциальное |
||||
A |
||||||
поле является безвихревым, т. е. |
|
|
||||
|
rot |
|
0. |
(2) |
||
|
A |
|||||
Это условие (2) является также и |
достаточным для |
|||||
потенциальности векторного поля A (в односвязных областях).
В случае потенциального поля линейный интеграл не зависит от формы пути, а лишь от выбора начальной и конечной точек. Потенциал этого поля определяется по формуле
M |
|
U (M ) Ad r , |
(3) |
M0
где интеграл берется по любому пути, исходящему из некоторой фиксированной точки M 0 . Обычно в качестве такого пути выбирают
ломанную M0 , M1, M 2,M (рис). В этом случае
x y z
U (M ) U (x, y, z) P(x, y0 , z0 )dx Q(x, y, z)dy R(x, y, z)dz. (4)
x0 |
y0 |
z0 |
§6. Формула Остроградского-Гаусса. Поток через замкнутую поверхность.
Для вычисления потока через внешнюю сторону замкнутой поверхности , ограничивающей объем V , можно применять теорему
Остроградского: поток векторного поля A через любую замкнутую поверхность равен тройному интегралу от дивергенции векторного
поля (divA), взятому по объему V , ограниченному поверхностью , т. е.
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
div |
|
dv , |
|
|
|
(*) |
||||||||||
|
|
|
|
|
A |
n |
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
где дивергенция векторного поля |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
(M ) P(x, y, z) |
|
Q(x, y, z) |
|
|
|
R(x, y, z) |
|
|
|
|||||||||||||||
|
A |
i |
j |
k |
|
|||||||||||||||||||||
в декартовой системе координат вычисляется по формуле |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
Q |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
(**) |
|||||||||
|
|
divA(M ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Физический смысл формулы Остроградского.
Так как дивергенция в физическом смысле есть удельная мощность источника или стока, а тройной интеграл - это соответствующая сумма по объему, то можно сказать, что поток вектора через внешнюю сторону
замкнутой поверхности равен суммарной мощности
источников и стоков внутри данной поверхности.
Если величина потока вектора через внешнюю сторону замкнутой поверхности положительна, то внутри этой поверхности преобладают источники (выделяется больше, чем поглощается, и излишки вытекают ужу).
Если величина этого потока отрицательна, то внутри поверхности преобладают стоки (выделяется меньше, чем поглощается, и идет приток извне).
Если величина потока равна нулю, то внутри поверхности источники и стоки либо уравновешивают друг друга по мощности, либо их там вовсе
Рассмотрим примеры вычисления потока с помощью формулы Остроградского
Пример. Найти поток векторного поля |
A = 7xi 5yj |
zk |
через пирамиду, |
|||||||||||||||||
ограниченной |
плоскостями |
x 2y 4z = 1, x 0, |
y 0, |
z 0 |
в |
направлении внешней |
||||||||||||||
нормали. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поток вычисляем по формуле |
n d |
|
|
|
|
|
|
|
dv . |
|||||||||||
|
|
A |
div A dv |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
V |
x |
|
y |
|
z |
|
|
Найдем дивергенцию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
(5y) |
(z) |
= 7 |
5 1 = 13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
divA = (7x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
|
y |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П = 13 |
dv = 13 V |
|
|
= 13 1 | a b c |= 13 1 1 1 1 |
= 13 . |
|
|
|||||||||||||
|
пирамиды |
|
|
|
6 |
|
|
6 |
2 |
4 |
|
48 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
(V ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Так как дивергенция поля является константой, то вычисление потока свелось к
вычислению объема пирамиды ( a, b, c размеры ребер.)
Пример. Найти поток вектора A = 2(z y) j (x 6z) k через внешнюю сторону замкнутой поверхности
z = x2 y2 2, x2 y2 = 1, z 0.
Найдем дивергенцию поля
|
|
|
P |
|
Q |
|
R |
|
= |
|
divA = |
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
(0) |
2(z y) |
(x 6z) = 0 2 6 = 4. |
||||||
|
x |
|
y |
|
|
|
z |
|
|
П = |
|
|
divA dv = 4 |
dv = 4 V. |
|
|
(V ) |
(V ) |
скольку готовой формулы для объема данного тела нет, вычисляем ъем с помощью тройного интеграла, используя цилиндрическую систему ординат:
x = cos , y = sin , z = z, dv = dx dy dz = d d dz,
x = cos , y = sin , z = z, dv = dx dy dz = d d dz,
z = x2 y2 2 |
|
z = 2 2, |
x2 y2 = 1 = 1, |
Пределы интегрирования |
|
|
|
|
|
0 z 2 2, |
0 2 , |
|
0 1. |
||||||||
|
|
|
|
Находим объем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
1 |
2 2 |
|
1 |
|
|
2 = |
|
|
|
|
||
V = dv = d d |
|
dz = 2 d z |0 2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(V ) |
|
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
= 2 ( |
2 |
2)d = 2 ( |
3 |
|
|
2 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|0 |
=2,5 . |
|||||||
|
|
2 ) d =2 |
4 |
|
|
||||||||||
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, поток |
П = 4 2,5 = 10 . |