Тема V. : ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ
Тема V: ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.
Криволинейные и поверхностные интегралы.
Лекции 4,5
Глава I. Криволинейные интегралы.
§1. Криволинейные интегралы 1-го рода (по длине дуги)
§2. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.
§3. Приложения криволинейных интегралов 1-го рода.
§4. Криволинейные интегралы 2-го рода (по координатам).
Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода.
§5. Криволинейные интегралы 2-го рода по замкнутому контуру. Формула Грина.
5.1. Ориентация плоскости. Циркуляция.
§6. Условие независимости криволинейногоинтеграла 2-го рода от пути интегрирования .
§7. Приложение криволинейных интегралов 2-го рода.
3. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
Пример. Показать, что выражение является полным дифференциалом функции u(x,y), и найти эту функцию:
Криволинейный интеграл от непрерывной в некоторой области
плоскости x0y функции P(x; y) по координате x вдоль плоской
непрерывной или кусочно-непрерывной кривой L, расположенной в этой области, связан с криволинейным интегралом первого рода соотношением
P(x; y)dx P(x; y)cos dl ,
L L
где – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси 0x (рис.). Аналогично
y
L
0
Рис.
Q(x; y)dy Q(x; y)cos dl ,
L L
где – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и
положительным |
направлением |
оси 0y |
|
|
|
(рис.). Так как 2 , то cos sin . |
||
Обычно |
рассматривают |
сумму |
интегралов по координате x и по координате y , которая записывается в виде
P(x; y)dx Q(x; y)dy . |
(*) |
L
Глава II. Поверхностные интегралы.
§1. Поверхностные интегралы 1-го рода (по площади).
Поверхностные интегралы подразделяются на поверхностные
интегралы по площади поверхности (первого рода) и поверхностные интегралы по координатам (второго рода).
Пусть на некоторой поверхности , определенной уравнением F(x, y, z) 0 задана непрерывная функция U f (x; y; z) . Разобъем эту
поверхность на ячейки 1, 2 , , n . В каждой ячейке i (i 1, 2, 3, ,n) выберем произвольную точку M i (xi , y i , z i ) и умножим значение функции U f (x; y; z) в этой точке на площадь i ячейки i . Сумма таких произведений по всем ячейкам
n
f (Mi ) i
i 1
называется интегральной суммой.
Поверхностным интегралом первого рода от функции U f (x; y; z) по поверхности называется предел соответствующей
интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений поверхности на части и стремлении площадей всех элементарных участков к нулю.
n
f (x, y, z)d lim f (xi , yi , zi ) i .
Поверхностный интеграл по площади поверхности обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейного интеграла по длине дуги.
§2. Вычисление поверхностных интегралов 1-го рода
Если f (x, y, z) означает поверхностную плотность массы материальной
поверхности , то интеграл определяет массу всей поверхности; и по формулам, аналогичным формулам приложений тройного интеграла вычисляются координаты центра тяжести и моменты инерции этой поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла по области, являющейся проекцией поверхности интегрирования на одну из трех координатных плоскостей.
Пусть поверхность задана уравнением F(x; y; z) 0 . Вначале находим вектор нормали к поверхности интегрирования N Fx' , Fy' , Fz'
. По виду поверхности выбираем наиболее удобную координатную плоскость для проектирования и находим соответствующий косинус вектора нормали к поверхности. Используем следующие формулы:
|
F ' |
Fy' |
F ' |
|
|||||||
cos |
x |
, cos |
|
|
|
|
|
, cos |
z |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 
Fx' 2 Fy' 2 Fz' 2 .