§6. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования .
Рассмотрим два примера: Пример 1. |
|
|
|
Вычислить значение криволинейного интеграла |
|
, |
|
Взятого по пути (L), соединяющему точки |
|
|
|
О(0,0) и А(1,1), если путь (L): |
|
|
|
1) прямая y=x ; 2) парабола |
; 3) кубическая парабола |
. |
|
Решение: 1) |
|
|
|
2) |
|
|
|
3) |
|
|
|
Пример 2. Вычислить |
|
при тех же путях интегрир. |
|
1)
2)
3)
Таким образом, в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от точек А и В – начала и конца пути интегрирования. Вопрос об условиях независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования решает следующая теорема: (односвязная область)
Теорема: Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) и их частные производные
и 
непрерывны в некоторой замкнутой,
односвязной (без «дыр») области D. Тогда следующие условия
эквивалентны, т.е. выполнение любого из них влечет |
|
выполнение остальных: |
|
1. Величина криволинейного интеграла |
не за- |
Замечание 1. На практике для проверки независимости интеграла от пути интегрирования проверяют условие (6.5).
Замечание 2. Необходимо проверять все уловия этой теоремы при её использовании (внутри контура функция должна быть непрерывна – нет «дыр»)
Вернёмся к нашим примерам: Пример 1.
P |
2x; |
Q |
2x; |
P |
Q |
y |
|
y |
|
||
|
x |
|
x и интеграл не |
||
|
|
|
|
||
зависит от пути интегрирования. |
|
||||
Пример 2. |
|
|
|
|
; |
§7. Приложение криволинейных интегралов 2-го рода.
3. Восстановление функции по её полному дифференциалу.
Пример. Показать, что выражение является полным дифференциалом функции u(x,y), и найти эту функцию:
Криволинейный интеграл от непрерывной в некоторой области
плоскости x0y функции P(x; y) по координате x вдоль плоской
непрерывной или кусочно-непрерывной кривой L, расположенной в этой области, связан с криволинейным интегралом первого рода соотношением
P(x; y)dx P(x; y)cos dl ,
L L
где – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси 0x (рис.). Аналогично
y
L
0
Рис.
Q(x; y)dy Q(x; y)cos dl ,
L L
где – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и
положительным |
направлением |
оси 0y |
|
|
|
(рис.). Так как 2 , то cos sin . |
||
Обычно |
рассматривают |
сумму |
интегралов по координате x и по координате y , которая записывается в виде
P(x; y)dx Q(x; y)dy . |
(*) |
L
Глава II. Поверхностные интегралы.
§1. Поверхностные интегралы 1-го рода (по площади).
Поверхностные интегралы подразделяются на поверхностные
интегралы по площади поверхности (первого рода) и поверхностные интегралы по координатам (второго рода).
Пусть на некоторой поверхности , определенной уравнением F(x, y, z) 0 задана непрерывная функция U f (x; y; z) . Разобъем эту
поверхность на ячейки 1, 2 , , n . В каждой ячейке i (i 1, 2, 3, ,n) выберем произвольную точку M i (xi , y i , z i ) и умножим значение функции U f (x; y; z) в этой точке на площадь i ячейки i . Сумма таких произведений по всем ячейкам
n
f (Mi ) i
i 1
называется интегральной суммой.
Поверхностным интегралом первого рода от функции U f (x; y; z) по поверхности называется предел соответствующей
интегральной суммы при неограниченном увеличении числа разбиений поверхности на части и стремлении площадей всех элементарных участков к нулю.
n
f (x, y, z)d lim f (xi , yi , zi ) i .
Поверхностный интеграл по площади поверхности обладает свойствами, аналогичными свойствам криволинейного интеграла по длине дуги.
Если f (x, y, z) означает поверхностную плотность массы материальной
поверхности , то интеграл определяет массу всей поверхности; и по формулам, аналогичным формулам приложений тройного интеграла вычисляются координаты центра тяжести и моменты инерции этой поверхности.
Вычисление поверхностного интеграла первого рода сводится к вычислению двойного интеграла по области, являющейся проекцией поверхности интегрирования на одну из трех координатных плоскостей.
Пусть поверхность задана уравнением F(x; y; z) 0 . Вначале находим вектор нормали к поверхности интегрирования N Fx' , Fy' , Fz'
. По виду поверхности выбираем наиболее удобную координатную плоскость для проектирования и находим соответствующий косинус вектора нормали к поверхности. Используем следующие формулы:
|
F ' |
Fy' |
F ' |
||||||||
cos |
x |
, cos |
|
|
|
|
|
, cos |
z |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N |
|
|
|
|
N |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N 
Fx' 2 Fy' 2 Fz' 2 .