Тема V. : ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ
Тема V: ЭЛЕМЕНТЫ
ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.
Криволинейные и поверхностные интегралы.
Лекция 3
Глава I. Криволинейные интегралы.
§1. Криволинейные интегралы 1-го рода (по длине дуги)
§2. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.
§4. Криволинейные интегралы 2-го рода (по координатам).
Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода.
§5. Криволинейные интегралы 2-го рода по замкнутому контуру. Формула Грина.
5.1. Ориентация плоскости. Циркуляция.
§3. Приложения криволинейных интегралов 1-го рода.
§3. Криволинейные интегралы 2-го рода (по координатам).
Пусть на материальную точку M(x,y,z) движущуюся по кривой АВ от точки А к точке В действует сила F, которая меняется по величине и направлению при перемещении точки М, т.е.
Где P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) проекции вектора силы на оси координат. Если вектор силы действует со стороны поля на материальную точку, то поле совершает работу, которую можно вычислить с помощью криволинейного интеграла 2-го рода. То есть,
В частности, для плоского поля сила
Элементарный вектор касательной к контуру, лежащему в этой плоскости имеет координаты
Скалярное произведение
Криволинейный интеграл от непрерывной в некоторой области
плоскости x0y функции P(x; y) по координате x вдоль плоской
непрерывной или кусочно-непрерывной кривой L, расположенной в этой области, связан с криволинейным интегралом первого рода соотношением
P(x; y)dx P(x; y)cos dl ,
L L
где – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и положительным направлением оси 0x (рис.). Аналогично
y
L
0
Рис.
Q(x; y)dy Q(x; y)cos dl ,
L L
где – угол между касательной, проведенной к кривой в любой ее точке, и
положительным |
направлением |
оси 0y |
|
|
|
(рис.). Так как 2 , то cos sin . |
||
Обычно |
рассматривают |
сумму |
интегралов по координате x и по координате y , которая записывается в виде
P(x; y)dx Q(x; y)dy . |
(*) |
L
§4. Вычисление криволинейных интегралов 2-го рода.
Криволинейный интеграл второго ряда обладает теми же свойствами, что и интеграл первого рода, только в отличие от интеграла первого рода смена направления движения по контуру интегрирования влечет за собой смену знака интеграла.
Для вычисления интеграла (*) используется одна из следующих формул:
а) если кривая задана уравнением y (x) и при перемещении из точки A в точку B x меняется от a до b, то
|
b |
P x; x Q x; x (x) dx; |
(**) |
||
|
Pdx Qdy |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
AB |
|
a |
|
|
|
б) если |
кривая задана параметрически x x(t), y y(t) |
и при |
|||
перемещении из точки A в точку B параметр t меняется от до , то
|
Pdx Qdy |
|
P x t ; y t xt' |
Q x t ; y t yt' dt . |
(***) |
|
|||||
|
|
|
|
||
AB |
|
|
|
|
|