п р е д е л е н и е. Циркуляцией векторного поля вдоль замкнутого гладкого контура(называетсяL) величина криволинейного интеграла от
скалярного произведения вектора поляA = {P, Q, R} на элементарный вектор касательной к контуру dl = {dx, dy, dz}.
Ц = (A dl).
( L)
Расписав скалярное произведение векторов, получаем формулу для циркуляции в координатной форме
Ц = P dx Q dy R dz.
(L)
5.2. Формула Грина. - устанавливает связь между криволинейными и
двойными интегралами. |
P |
|||
Теорема Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) и их частные производные |
||||
|
|
|||
|
|
|
|
|
и Q |
непрерывны в простой области D. Тогда справедливо |
|
y |
|
x |
|
|
|
|
P dx Q dy = |
|
Q |
|
|
|
равенство: |
|
x |
(L) |
(D) |
|
P |
dx dy. |
|
|
|
|
y |
где криволинейный интеграл берется по границе области D в положительном направлении.
1. Найти циркуляцию вектора A = {(x y), y2}
вдоль контура треугольникаABC с вершинами в точках
A(0; 0), B(2; 2), C(0; 4).
Поскольку мы имеем плоское поле, воспользуемся формулой Грина
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ц = (A dl) = |
P dx Q dy = |
|
|
x |
|||
(L) |
|
|
(L) |
(D) |
|
||
Имеем |
P |
= 1, Q(x, y) = y2 |
|
Q |
|
|
|
P(x, y) = (x y), |
, |
= 0, |
|||||
|
y |
|
|
|
x |
|
|
P dx dy.
y
Q P = 1.
x y
Ц = dx dy = SD = 1/2 4 2 = 4.
( D)
Поскольку подынтегральная функция является постоянной величиной, вычисление циркуляции сводится к вычислению площади области интегрирован Здесь мы можем воспользоваться известной из геометр формулой площади треугольника, основание которого
AC = 4 , а высота KB = 2.
Найти циркуляцию векторного поля |
A = {(x y2 ), (2xy 5x 1)} |
2. |
|
|
|
|
|
|
|
y = x3 |
, y = 8, x = 0. |
|||||
вдоль замкнутой кривой, составленной линиями |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Воспользуемся опять формулой Грина |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
P(x, y) = (x y2 ), |
|
P |
= 2y, |
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x, y) = 2xy 5x 1, |
|
Q |
= 5 2y, |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Q |
P |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
= 5 2y 2y = 5. |
|
||||||||
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
Ц = 5 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
dx dy. |
|
|||||
Готовой |
формулы |
для |
вычисления |
(D) |
|
|
|
|
|
такого |
|||
площади |
|||||||||||||
параболического сегмента нет, поэтому продолжаем вычисление |
|||||||||||||
двойного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ц = 5 2dx |
8 dy = 5 |
2dx y |83 = 5 2 8 |
x3 |
dx = 5 8x |
x4/4 |02 |
= 60. |
|||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x3 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти циркуляцию векторного поляA = x2 y i y2 x j
x2 |
y2 |
= 4. |
|
|
|
|
|
вдоль замкнутой кривой |
|
|
|
|
|
|
|
Имеем |
|
|
|
P |
|
|
|
P(x, y) = x2 y, |
|
= x2 , |
|||||
|
|
y |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Q(x, y) = y2 x, |
|
|
Q |
= y2 , |
|||
|
|
x |
|||||
Q |
P = (x2 |
|
|
|
|||
y2 ). |
|||||||
x |
y |
|
|
|
|
|
|
Тогда |
Ц = (x2 y2 ) dx dy. |
|
|||||
|
|
(D) |
|
|
|
|
|
Перейдем к полярным координатам
x = cos , y = sin , dx dy = d d ,
(x2 y2 ) = 2 = 2, |
0 2 , 0 2. |
|
|||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
16 = 8 . |
Ц = |
|
d ( 2 ) d = |
d 3 |
d = 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
§6. Условие независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования .
Рассмотрим два примера: Пример 1. |
|
|
|
Вычислить значение криволинейного интеграла |
|
, |
|
Взятого по пути (L), соединяющему точки |
|
|
|
О(0,0) и А(1,1), если путь (L): |
|
|
|
1) прямая y=x ; 2) парабола |
; 3) кубическая парабола |
. |
|
Решение: 1) |
|
|
|
2) |
|
|
|
3) |
|
|
|
Пример 2. Вычислить |
|
при тех же путях интегрир. |
|
1)
2)
3)
Таким образом, в некоторых случаях величина криволинейного интеграла не зависит от пути интегрирования, а зависит только от точек А и В – начала и конца пути интегрирования. Вопрос об условиях независимости криволинейного интеграла 2-го рода от пути интегрирования решает следующая теорема: (односвязная область)
Теорема: Пусть функции P(x,y) и Q(x,y) и их частные производные
и 
непрерывны в некоторой замкнутой,
односвязной (без «дыр») области D. Тогда следующие условия эквивалентны, т.е. выполнение любого из них влечет выполнение остальных:
Замечание 1. На практике для проверки независимости интеграла от пути интегрирования проверяют условие (6.5).
Замечание 2. Необходимо проверять все уловия этой теоремы при её использовании (внутри контура функция должна быть непрерывна – нет «дыр»)
Вернёмся к нашим примерам: Пример 1.
