Преподаватель:

Филипенко Николай Максимович

Доцент ОМИ

Тема V: ЭЛЕМЕНТЫ

ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА.

Криволинейные и поверхностные интегралы.

Лекция 1

Введение. СКАЛЯРНОЕ И ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ.

Изучаемые в физике величины можно разделить на два вида: скалярные и векторные. Скалярными называют величины, характеризуемые одним числом – масса, энергия, температура, а векторные величины характеризуются как своим числовым значением, так и направлением в пространстве – сила, скорость. Скалярные и векторные величины могут быть функциями

координат точек пространства и времени. В этом случае их называют скалярными и векторными полями.

Определение. В пространстве задано поле некоторой величины, если в каждой точке пространства или некоторой его области определено значение этой величины U=f(x,y,z) или F=F(x,y,z).

Поля бывают стационарными, плоскими, нестационарными. Ранее для стационарного скалярного поля (не определяя его как

поле), мы ввели понятия производной по направлению и градиента для скалярного поля U=f(x,y,z):

Направление вектора-градиента при этом есть направление, в котором поле растет с наибольшей

скоростью. Скалярное поле U=f(x,y,z), образует вполне определенное векторное поле - градиент.

Характеристиками векторных полей являются: Поток (П), циркуляция (Ц), дивергенция и ротор, которые выражаются

через криволинейные и поверхностные интегралы.

Глава I. Криволинейные интегралы.

§1. Криволинейные интегралы 1-го рода (по длине дуги)

Схема построения криволинейного интеграла первого рода

аналогична схеме построения определенного интеграла. Пусть непрерывная функция z f (x; y) задана на непрерывной кривой L,

лежащей в плоскости x0y . Разобъем линию интегрирования на элементарные части li , вычислим значения функции в произвольной

точке каждого элементарного участка кривой и умножим значения функции в точках кривой на длины соответствующих элементарных дуг. Сумма таких произведений

n

f xi ; yi li

i 1

называется интегральной суммой.

Криволинейным интегралом первого рода от функции z f (x; y)

по кривой L называется предел интегральных сумм при условии max li 0, т. е. при неограниченном увеличении числа элементарных

частей, когда все элементарные участки стягиваются в точку:

где – дифференциал дуги. Функция

называется интегрируемой вдоль кривой L (AB), сама кривая (L) – контуром интегрирования; А – начальной, B

– конечной точкой интегрирования. Аналогично можно ввести криволинейный интеграл по пространственной кривой для функции 3-х переменных f(x,y,z).

Для существования криволинейного интеграла необходимо и достаточно, чтобы функция f(x,y) была непрерывна вдоль кривой АВ , а кривая АВ была «гладкой» или «кусочно-гладкой».

Определение Кривая, заданная уравнениями: x=φ(t); y=ψ(t), называется гладкой, если функции φ(t) и ψ(t) непрерывны и имеют производные, которые не обращаются в нуль одновременно (есть касательная). Непрерывная кривая, составленная из конечного числа «гладких кусков», называется «кусочно-гладкой».

Свойства криволинейного интеграла совпадают со свойствами

определенного интеграла (вынос постоянного множителя, почленное интегрирование, разбиение линии интегрирования на части).

Вычисление криволинейного интеграла первого рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Геометрически криволинейный интеграл первого рода от неотрицательной функции f (x; y) вдоль контура L есть площадь

цилиндрической поверхности (рис.)

Sцил.пов f (x; y)dl ,

L

если же подынтегральная функция f (x; y) 1, то криволинейный интеграл от элемента дуги dl есть длина кривой L:

dl .

L

§2. Вычисление криволинейных интегралов 1-го рода.

Для вычисления криволинейного интеграла по длине дуги используется одна из следующих формул: