Примеры нахождение частных производных первого порядка
1. z = 5x2 3y2.
|
= 10x, |
так как 3y2 |
= const |
zx |
при дифференцировании по x, |
||
|
|
||
z = 6y,
y
так как 5x2 = const
при дифференцировании по y
2.z x2 y3
zx' y3 (x2 )' y3 2x 2xy3
z'y x2 ( y3 )' x2 3y2 3x2 y2
Здесь при дифференцировании мы каждый раз отделяем множитель, который зависит от одной переменной и является константой для той переменной, по которой проводится дифференцирование, и находим производную от второго множителя.
3.z x2 y3
zx' |
1 |
x2 |
' |
1 |
|
2x |
2x |
|
|
Здесь |
1 |
const |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y3 |
||||||||||||||
y3 |
|
y3 |
|
y3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
' |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
' |
|
2 |
y |
3 |
|
' |
|
|
2 |
3y |
4 |
|
3x2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
zy x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
4 |
|||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
const |
|
|
|
|
||||
В этом случае константой является |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Функция не является дробью относительно каждой переменной, так как числитель и знаменатель зависят только от одной переменной. Поэтому постоянный множитель отделяем в виде постоянного коэффициента и дифференцируем по второй переменной
4. |
z (2x 3) ln y |
|
|
|
|
|
так как |
ln y |
является постоянным множителем |
|
zx = 2 ln y, |
|
при дифференцировании по x, |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
так как (2x 3) |
|
|
|
|||
|
|
|||
zy = (2x 3) |
|
|
||
|
y |
|
является постоянным множителем при |
|
|
|
|
||
|
|
|
дифференцировании по |
y |
5.z x y
|
y 1 |
, |
|
y |
|
|
|
|
|||
zx = y x |
|
zy = x ln x, |
|
||
функция является степенной функцией относительно переменной x |
|||||
c постоянным показателем степени n = y |
(U n )' n U n 1 U ' |
||||
и функция является показательной функцией относительно переменной y
c постоянным основанием a = y |
|
|
|
(aU )' aU ln a U ' |
||||||
6.z (x4 x3 1)cos7y |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
x |
2 |
1) |
cos7 y 1 |
(x |
4 |
x |
2 |
|
zx = cos7 y (x |
|
|
|
|
|
1)x = |
||||
= cos7 y (x4 |
x2 1)cos7 y 1 (4x3 2x). |
|||||||||
|
4 |
x |
2 |
1) |
cos7 y |
ln(x |
4 |
x |
2 |
1) |
|
zy = (x |
|
|
|
|
|
(cos7 y)y = |
(x4 x2 1)cos7 y ln(x4 x2 1) ( 7sin 7 y).