§2. Предел функции 2-х переменных.

•Основные понятия математического анализа функции одной переменной переносятся без особых изменений на функции многих переменных. Это понятия предела функции, непрерывности, разрывов функции. Вспомним определение предела функции y=f(x):

•Число A называется пределом функции f(x) при x стремящемся к x0, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε

найдется такое положительное число δ, что как только x будет отличаться от x0 на величину меньшую δ , значения функции будут отличаться от числа A на величину меньшую ε.

•При этом вводятся понятия окрестности точек х и А с радиусами δ, ε. Сейчас имеем z=f(x,y); пара значений (x,y) – это точка М плоскости Х0У. Поэтому можно записать z=f(М). Чтобы построить δ- окрестность точки Мо

мы должны рассматривать все точки, лежащие внутри круга с центром в т. Мо , радиуса δ, т.е.(x x0 )2 ( y y0 )2

О п р е д е л е н и е: Число А называется пределом функции z = f(x, y) при х х0 и у у0 (или в точке M0(х0; у0)), если для любого числа > 0,

найдется положительное число > 0 (зависящее от , = ( )), такое, что для всех переменных точек M(х; у), отстоящих от точки M0(х0; у0) на

расстояние меньшее, чем (т.е. при 0 < < ), выполняется неравенство

Обозначение:

По определению предел функции не зависит от направления движения точки М(х,у) к точке M0(х0; у0 .

Поэтому, если окажется, что при х х0 и у у0 с разных сторон,

f(M) стремится к разным пределам, то функция в этой точке предела не имеет.

Все свойства пределов остаются в силе (предел суммы, произведения, частного и т.д.)

0. Запишем предел в виде

Пример 2. Выяснить, существует ли предел

lim 2xy .

xy 00 x2 y2

Решение. Будем приближаться к точке (0; 0) по прямым у = kх. Если у = kх, то

Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Но так как предел функции не должен зависеть от способа приближения точки (х, у) к точке (0; 0) (например, по оси ох (k = 0) значения z стремятся к единице), то рассматриваемый предел не существует.

§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ И РАЗРЫВЫ ФУНКЦИИ.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: ФУНКЦИЯ z f (x, y) НЕПРЕРЫВНА В

Если обозначим x x0 x, y y0 y , то равенство (3.1)

можно переписать так:

•Т.О. функция z=f(x,y) непрерывна в точке М0 , если её полное приращение в этой точке величина бесконечно малая.

•Определение: U U(x x, y y,z z) U(x,y,z) - полное приращение

функции U(x, y,z) .

•Определение: Функция, непрерывная в каждой точке области, называется непрерывной в этой области.

•Точки, в которых ф-ия не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции могут располагаться как отдельно (изолированные точки разрыва), так и заполнять целые линии (линии разрыва).

Как и для функций одной переменной, сумма, разность и произведение непрерывных функций двух переменных в точке М0 будут

непрерывными в той же точке; частное непрерывных функций в точке М0 будет также непрерывной в М0 функцией, если только знаменатель

не обращается в нуль в этой точке. Справедлива также теорема о непрерывности сложной функции, теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса. Аналогично определяются предел и непрерывность функций трех и большего числа переменных.

Пример 4. Где будет разрывна функция z y2 2x ? y2 2x

Решение. Функция z непрерывна как отношение многочленов во всех точка где знаменатель не обращается в нуль. Точки разрыва расположены на лини у2 – 2х = 0, или у2 = 2х, т.е. на параболе.

ГЛАВА II ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Ф.Н.П.

§ 1. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ.

Пусть задана U=f(x,y,z), определенная в области D и дана точка M(x,y,z). Зафиксируем y и z и будем изменять х, т.е. U будет функцией только х.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: приращение функции при произвольном приращении x и фиксированных остальных переменных:

Аналогично определяются частные приращения по у и по z.

Частные приращения функции нескольких переменных.

Частные приращения функции находятся при условии, что приращение получает только одна переменная, другие при этом остаются неизменными.

xz z(x x; y) z(x; y)

yz z(x; y y) z(x; y)

Частные производные функции

Частные приращения функции находятся при условии, что приращение получает только одна переменная, другая при этом остается неизменной.

Правило вычисления частных производных. Вычисление частных производных осуществляется по правилам и формулам дифференцирования функции одной переменной с учетом того, что в процессе дифференцирования переменной является лишь та переменная, по которой проводится данное дифференцирование, а остальные переменные считаются константами.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1.( C ) = 0

2.( C U ) = C U

3.( U V )' = U V

4.( U V )' = U V U V