Тема II : Определенный интеграл Несобственные интегралы.
Тема III : Функции многих переменных.
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ
Глава III. Несобственные интегралы
§ 1. Интеграл по бесконечному промежутку – - несобственный интеграл I-го рода
Пусть функцияy = f (x) определена в полубесконечном промежутке [a; )
О п р е д е л е н и е. Несобственным интегралом I-го рода называется конечный или бесконечный предел вида
b
f (x)dx = limb f (x)dx.
a a
К несобственному интегралам I-го рода относится также интеграл
b |
b |
f (x) dx = lima f (x)dx.
|
a |
Интеграл с двумя бесконечными пределами определяется так
c
f (x) dx = f (x) dx f (x) dx.
|
|
c |
Если этот предел существует, то интеграл с х о д и т с я. В противном случае интеграл р а с х о д и т с я.
|
|
dx |
|
|
|
|
b |
|
|
dx |
= limb arctg x |b0 = |
||||||||
1. |
0 |
|
|
= limb 0 1 x2 |
|||||||||||||||
1 x2 |
|||||||||||||||||||
|
= limb arctg b |
arctg 0 = . |
Интеграл сходится. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
b |
d(x 3) |
|
|
|
b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
= limb |
|
|
|
|
|
= .limb 2 x 3 |1 = |
|||||||
|
x 3 |
|
x 3 |
||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= limb 2 |
|
|
2 |
|
|
|
= . |
|
|
|||||||||
|
b 3 |
|
4 |
|
Интеграл расходится. |
||||||||||||||
§ 2. Признаки сходимости несобственных интегралов
2.1 Теорема сравнения.
Если g(x)<f(x), то из сходимости несобственного интеграла от большей функции
f(x) следует сходимость интеграла от меньшей функции g(x) .
Следствия: Предельный признак сравнения.
Если предел отношения двух функций |
|
f (x) |
= Const 0, |
|
|
|
|||
limx (x) |
||||
|
||||
то несобственные интегралы от этих функций |
|
|
||
g(x) dx, f (x) dx |
||||
|
|
|||
|
|
a |
a |
|
ведут себя одинаково -- либо оба сходятся, либо оба расходятся.
При использовании признака сравнения в качестве функции, с которой сравнивается подынтегральная, используются две
g(x) = |
A |
и |
g(x) = qx. |
|
xk |
||||
|
|
|
Замечание: …..
Несобственные интегралы от этих функций ведут себя следующим образом:
|
dx |
при |
k > 1, сходится |
qx dx при |
q < 1, сходится, |
|
|
|
|
|
|
a xk |
|
k 1, расходится. |
a |
q 1, расходится. |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(33x 2) dx . |
Интеграл сходится, т.к. при |
x |
||||||||||
|
1 |
x 4x 1 |
|
3x 2 |
|
|
3x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
~ |
, k = 2 > 1. |
||||||
|
|
|
|
x3 4x 1 |
x3 |
|
||||||
2. |
arctg(1/x) dx. |
|
|
|
x2 |
x |
||||||
Интеграл сходится, т.к. при |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2x 3 |
arctg(1/x) |
~ 1/x |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
~ |
, |
k = 2 > 1. |
|||||||
|
|
|
2x 3 |
2x2 |
||||||||
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
||||
3. |
3x |
4x |
|
Интеграл сходится, т.к. при |
|
|
x |
|||||||||||||||
x |
5 |
x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 2 |
|
|
3x 4x |
|
|
4x |
|
|
|
4 x |
|
|
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
|
|
|
~ |
|
, |
q = |
|
< 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
2x |
5x |
|
5x |
5 |
||||||||||||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||
|
|
|
x |
|
|
e |
x |
|
|
2x e |
x |
|
|
|||||||||
|
1 2x e |
|
1 2x |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
Интеграл расходится, т.к. расходится первый интеграл:
0 |
|
dx |
|
|
1) |
|
|
. |
|
|
2x e |
x |
||
1 |
|
|
||
|
|
|
dx |
|
|
2) |
|
|
. |
||
|
2x e |
x |
|||
0 |
1 |
|
|
||
Интеграл расходится, т.к. при |
x |
ex 0 |
|||||||||||||
и |
|
1 |
~ |
|
|
|
1 |
~ |
1 |
|
, |
k = 1. |
|
||
1 2x ex |
1 2x |
2x |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Интеграл сходится, т.к. при |
|
x |
ex >> 2x 1 |
||||||||||||
|
и |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
x |
, q = 1/e < 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 2x ex |
|
ex |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
||||||
§ 3. Интеграл от разрывной (неограниченной) функции.
К несобственным интегралам 2-го рода относятся интегралы от неограниченных в некотором интервале функций. Это значит, что подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв или разрыв 2-го рода в какой-нибудь точке этого промежутка, т.е.
limx b 0 |
f (x) = , |
точкой разрыва является правый конец |
|
|
|
|
|
промежутка. Тогда |
О п р е д е л е н и е. Несобственным интегралом II-го рода называется
конечный или бесконечный предел вида
b |
|
b |
f (x)dx = lim 0 |
f (x)dx. |
|
a |
|
a |
Так как в промежутке[a; b |
] функция y = f (x) является |
|
непрерывной, то интеграл |
b |
Является обычным определенным |
|
f (x) dx |
|
a
интегралом и к нему применима формула Ньютона-Лейбница.
Если точкой разрыва является левый конец промежутка, т.е.
limx a 0 f (x) = , |
то имеем интеграл вида |
|
b |
|
b |
f (x) dx = lim 0 |
f (x) dx. |
|
a |
|
a |
c
Если функция терпит бесконечный разрыв во внутренней точке промежутка, то несобственный интеграл определяется следующим
образом |
b |
c |
b |
|
f (x) dx = f (x) dx f (x) dx. |
||
|
a |
a |
c |
В каждом из слагаемых разрыв происходит на одном из концов промежутка и задача сводится к уже рассмотренным выше случаям
b |
c |
b |
f (x) dx = lim 0 |
f (x) dx lim 0 |
f (x) dx. |
a |
a |
c |
Таким образом, при рассмотрении несобственных интегралов
II-го рода мы отступаем от точки разрыва внутрь промежутка на малую, стремящуюся к нулю, величину ,
по формуле Ньютона - Лейбница, а затем переходим к пределу при
0.
Если предел существует, то интеграл называется сходящимся, если нет, то расходящимся.
Поскольку по внешнему виду несобственный интеграл II-го рода не отличается от обычного определенного интеграла, то при решении определенного интеграла необходимо прежде всего проверить, не является ли он несобственным. Для этого нужно исследовать подынтегральную функцию на непрерывность,
т.е. узнать, не имеет ли она точек разрыва II-го рода в интервале интегрирования, а затем уже приступать к вычислениям соответственно ситуации.
5 |
dx |
|
|
|
|
1. |
|
|
|
. |
|
x |
1 |
||||
1 |
|
||||
Подынтегральная функция стремится к бесконечности приx 1,
поэтому действуем по определению несобственного интеграла
5 dx |
|
|
|
5 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |15 = |
||||||||||||
|
|
|
|
= lim 0 |
|
|
|
|
= lim 0 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1 x 1 |
x 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
= lim 0 2 |
|
|
|
|
= 4 lim 0 (2 |
|
) = 4 0 = 4. |
|||||||||||
|
5 1 |
(1 ) 1 |
|
|||||||||||||||
Несобственный интеграл сходится.
2. |
2 |
|
2x dx |
|
. |
|
2 |
||||
|
0 |
(x |
4) |
|
|
Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв на правом конце |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
промежутка при |
|
|
|
|
x = 2, |
|
поэтому действуем по определению |
|
||||||||||||||||||||||||||
несобственного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2 |
x dx |
|
|
|
|
|
2 |
x dx |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 d (x2 4) |
|
|
|
|||||||||||||||
0 (x2 4)2 |
= lim 0 |
0 |
|
|
|
|
= lim 0 2 |
0 |
(x2 |
4)2 |
= |
|
||||||||||||||||||||||
(x2 |
4)2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
= lim 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|0 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
x |
4 |
2 |
lim 0 |
(2 ) |
4 |
|
4 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= |
|
lim 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= . |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
4 4 2 |
4 |
|
|
|
|
2 |
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Несобственный интеграл расходится.