Тема II. : Определенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Глава I. Понятие определенного интеграла.
§1. Задачи, приводящие к определенному инт-лу.
§2. Свойства определенного интеграла.
§3. Оценки интегралов.
§4. Формула Ньютона –Лейбница.
4.1Интеграл с переменным
верхним пределом.
4.2 Формула Ньютона-Лейбница.
§ 5. Замена переменной в определенном интеграле.
§ 6. Интегрирование по частям в определенном интеграле.
|
Глава II. Приложения |
|||
|
определенного интеграла |
|||
Y |
§ 1. |
Вычисление площадей |
||
y f2 (x) |
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
b |
|
|
y f1(x) |
S ( f2 (x) f1(x))dx |
||
|
a |
|
||
|
a |
b X |
|
|
Y |
( ) |
|
|
|
|
|
2 2 ( )d |
||
|
2 |
|
S 1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||
|
|
X |
|
|
Вычисление площадей плоских фигур
b
S = y(x) dx
a
b
S = [ y2 (x) y1(x)] dx
a
d
S = x( y) dy
c
d
S = [x2 ( y) x1( y)] dy
c
2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
xy = 2, y = 2x, y = 3.
Строим фигуру. Для решения задачи воспользуемся формулой
где
Значение
Значение
|
Искомая площадь |
x |
|
y |
, |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
2 |
||||||||||||
|
3 |
y |
|
2 |
|
y2 |
|
|
3 |
|
9 |
||
S = |
|
|
|
|
|
dy = |
|
2ln y |
| = |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
y |
|
|
4 |
|
|
2 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
d
S = [x2 ( y) x1( y)] dy.
x1 ( yñ) = 2/y, x2 ( y) = y/2,
d = 3определилось по построени c = 2 получим, решая систему
|
xy = 2, |
y = 2x |
|
|
|||
|
|
y2 |
2, |
y2 4, |
|
y 2 |
|
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
4 2(ln3 ln 2) 5 |
2ln |
3 . |
||||
|
4 |
|
|
4 |
|
2 |
|
Рассмотрим вычисление площади фигуры, границы которой заданы параметрически x = x(t)
L : y = y(t),
В таких случаях в интеграле для вычисления площади делается замена переменной
b
Формула S = y(x) dx
a
t2
принимает вид S = y(t) x (t) dt
t1
Таким образом , под знак интеграла подставляем выражение дляy находим дифференциал второй функцииdx = x' (t)dt , а также необходимо знать пределы изменения переменнойt.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
|||
3. Найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||
|
a2 |
b2 |
|||||||||||||||
В данном случае имеет смысл перейти к параметрическому |
|
|
|
||||||||||||||
способу задания эллипса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x = a cost, |
|
y = bsin t. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Строим фигуру. В силу симметрии можно вычислить площадь |
|
|
|
||||||||||||||
заштрихованной области, а затем результат умножить на 4. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для вычисления площади используем формулу |
|
t2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
y = bsin t, |
|
|
|
S = y(t) xt dt. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
xt dt = asin t dt. |
t1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Пределы изменения переменной |
t |
найдем из условий |
||||||||||||
|
|
|
|
x = a cost, |
при |
x1 = 0 t1 = /2, |
при x2 |
= a |
t2 = 0. |
||||||||
t2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
/2 |
|
/2 |
cos 2t dt = |
|||||
S = y(t) xt dt = 4 bsin t asin t dt = 4 ab sin2 t dt = 4 ab 1 |
|||||||||||||||||
t1 |
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
t |
|
sin 2t |
/2 |
|
|
|
|
Итак, Sэл |
= a b. |
|||||||
= 4 ab |
|
|
|
|
|0 |
= 4 ab |
|
= ab. |
|||||||||
2 |
4 |
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
§ 2. Вычисление площади криволинейного сектора.
Рассмотрим вычисление площади фигуры, границы которой заданы в полярной системе координат уравнением
( ), где |
1 2 |
S= 1 2 ( ) d 2
S = |
1 |
|
|
( ) 2 ( )] d |
2 |
[ 2 |
|||
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
||
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
= 1 cos .
|
0 |
/ 2 |
3 / 2 |
2 |
|
0 |
1 |
2 1 |
2 |
При составлении выражения для вычисления площади используем симметрию фигуры
S = |
1 |
|
2 |
( ) d = |
|
(1 cos )2 d = |
|
(1 2cos |
2 |
) d = |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 2 |
|
|
|
|
|
|
cos 2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3/2 2cos |
|
d = |
|||||||
= |
1 |
2cos |
|
|
|
d = |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
2sin |
sin 2 |
|
|
3 |
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
= |
2 |
4 |
|
|
|0 = |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
§ 3. Вычисление длин кривых
L : y f (x), |
a x b |
L : ( ),
L : |
x x(t) |
, t1 t t2 |
|
||
|
y y(t) |
|
b
l 
1 f '(x) 2 dx
a
l 
( ) 2 '( ) 2 d
t2
l 
x'(t) 2 y'(t) 2 dt
t1