Вычисление длин дуг плоских кривых

Пусть дана линия

L ,

заданная в декартовой системе координат

уравнениями y = y(x)

или x = x( y), И требуется найти

y = y(x),

x = x( y),

b

d

L = 1 x2y dy.

2

L = 1

dx.

yx

c

a

x = x(t)

t2

dt.

L = xt2 yt2

y = y(t),

t

1

x = 2cos3t,

t

= 0

Найти длину части астроиды

до

2

3 от значения 1

t

=

/2.

y = 2sin t

ривая задана параметрически, поэтому

длину дуги вычисляем по

t2

формуле

L =

xt2

yt2

dt.

Причем параметрt

t1

должен меняться от меньшего значения к большему

Предварительно находимx

= 6

2 t sin t,

y

= 6

sin

2 t cost,

t

cos

t

x2

y2

= 36

4 t

sin

2 t 36

sin

4 t

2 t = 36

sin

2 t

2

(

2 t

sin

2 t) =

t

t

cos

cos

cos

cos

= 36sin2 t cos2 t = 9sin2 2t.

x2 y2

= 9

sin

2

2t = 3

sin 2t

.

Так как cost и

t

t

sin t

положительны в первой четверти, получим

/2

3 cos 2t |0/2

3 cos cos0 =

3

1 1 =3.

L=3 sin 2t dt=

=

0

2

2

2

L =

2 2 d

Заранее выполним все вычисления и преобразования

Находим производную

'= (1 cos )' sin

Вычисляем подкоренное выражение

2 '2

(1 cos )2

sin2 1

2cos cos2 sin2

2 2cos 2(1 cos ) 2 2sin2

4sin2

Находим длину

2

2

4sin 2

d 8cos

8(cos

L 2

d 4 sin

cos 0) 8(0 1) 8.

2

2

2

0

2

0

0

Найти объем тела вращения вокруг осиOX

фигуры, ограниченной линиямиy = 2

x,

y = 1,

x = 0.

Для нахождения объема воспользуемся

формулой

b

2(x) y

2(x)] dx.

V = [ y

ox

2

1

a

В нашем случае

y2 (x) = 1, y1(x) = 2

x

.

2

= 1,

x = 1/4.

x

Находим пределы интегрирования из условия

Тогда

1/4

1/4

2

2

2

1/4

x)

] dx = (1 4x) dx = (x

2x

=

.

Vox = [1 (2

) |0

8

0

0

y = x2 ,

y = x.

фигуры, ограниченной линиями

Для нахождения объема воспользуемся

формулой

d

2( y) x 2( y)] dy.

V = [x

oy

2

1

c

x

2( y) = y, x ( y) = y, x

2( y) = y2 ,

2

1

1

ределы интегрирования находим из равенстваx = x

x1 = 0, x2 = 1

2

y1 = c = 0, y2 = d = 1.

1

2

y

2

y

3

1

1

1

V = ( y y

| =

=

.

) dy =

oy

2

3

0

2 3

6

0