Тема II. : Определенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Глава I. Понятие определенного интеграла.
§1. Задачи, приводящие к определенному инт-лу.
§2. Свойства определенного интеграла.
§3. Оценки интегралов.
§4. Формула Ньютона –Лейбница.
4.1Интеграл с переменным
верхним пределом.
4.2 Формула Ньютона-Лейбница.
4.2Формула Ньютона –Лейбница.
Те о р е м а. Величина определенного интеграла равна разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования
b f (x) dx = F(x) |ba= F(b) F(a).
a
F(x-) первообразная для функцииf (x)
Определенный интеграл есть конкретное число, которое с геометрической точки зрения удобно трактовать как площадь соответствующей криволинейной трапеции.
определенный интеграл есть семейство первообразных функций
этом состоит различие между неопределенным и определенным нтегралами.
Но неопределенный и определенный интегралы связывают общие свойства и методы вычисления.
§ 5. Замена переменной в определенном
интеграле.
Метод замены переменной в определенном интеграле основан на использовании формулы
b |
|
|
|
f (x) dx = f ( (t) (t) dt. |
|
a |
|
Отличие от метода подстановки в неопределенном интеграле |
|||
состоит в том, что нужно сменить пределы интегрирования, т.е. |
|||
в соответствии с произведенной заменой найти значения новой |
|||
переменной |
t |
t1 = |
и t2 = , |
|
|
|
x |
соответствующие значениям переменной |
|||
|
|
x1 = a |
и x2 = b. |
После выполнения интегрирования не нужно возвращаться |
|||
к старой переменной |
xа, вычисления проводить для переменнойt |
||
в интервале [ ; ].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
t = x 4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1. |
|
|
= |
|
x 4 = t |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x 4 |
|
|
|
|
4) |
|
x = 0 |
t = 4 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
x = (t |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2 t dt |
|
x2 = 5 t2 = |
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 4 |
||||||||||||||||||
3 |
2 t dt |
|
|
3 |
|
|
t dt |
|
|
|
3 |
( t 2 2) dt |
|
|
||||||||||||||
= |
t |
= 2 |
|
|
|
|
|
= 2 |
t 2 |
|
|
= |
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
2 t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
3 |
|
(t 2) dt |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
dt |
= 2 |
3dt 4 3 |
d (t 2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t 2 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
= 2t |32 4 ln | t 2 | |32 =
2 4(ln 5 ln 4) 2 4 ln(5 / 4)
2. |
dx |
= |
|
tg |
|
x |
= t |
|
dx = |
|
2dt |
sin t |
= |
|
2t |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 t |
|
|
|
1 t |
|
|||||
|
0 1 sin x |
|
|
x1 |
|
|
x2 = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= 0 t1 |
= 0, |
/2 t2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2dt
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2dt |
1 |
|
2dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 1 |
t |
|
|
= |
= |
|
= |
|
|
|10 |
= (1 2) = 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
1 |
|
2t |
0 |
1 |
t |
|
2t |
0 |
(1 |
t) |
|
|
1 |
t |
|
|
||||||
1 t2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
x = sin_ t |
t = arcsin_ x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = cost dt |
x1 = 1/2 t1 = /6 |
|
|
|||||||
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
1/2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
x2 = |
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
1 x2 = cost |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
3/2 t2 = /3 |
|||||||||||||
1 x2 |
||||||||||||||||
|
cost dt |
= |
/3 |
dt |
= ln |
|
tg |
t |
|
| /6 = |
|
|
|
||||||||||
/3 |
|
|
/6 |
|
|
|
|
|
|
|
/3 |
/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
sin t cost |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
tg |
ln |
tg |
|
= ln 0,577 ln 0,268 0,77 |
||||
6 |
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
Вычисление определенного интеграла
Непосредственное интегрирование
ассмотрим примеры вычисления определенных интегралов, при ешении которых используются таблицы неопределенных интеграл подведения под знак дифференциала, свойства интегралов формула Ньютона-Лейбница, согласно которой мы сначала аходим первообразную функцию, а затем вычисляем разность е значений в верхнем и нижнем пределах интегрирования.
1. |
|
13 |
|
|
|
3 5 |
|
dx = |
1 33 |
|
|
|
|
53 |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x |
x |
|
|
x |
x |
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
3x1/3 5x5/6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
= |
|
|
dx = 3 x1/3 dx 5 x5/6 dx = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
a |
dx = |
|
xa 1 |
|
= 3 |
x4/3 |
|
1 |
5 |
|
x11/6 |
|
|
1 |
= |
9 |
|
4/3 |
|
1 |
|
30 |
11/6 |
|
1 |
= |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
0 |
|
|
|
x |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
a |
1 |
4/3 |
|
|
11/6 |
|
|
|
4 |
|
|
|
11 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 9 |
|
(1 |
0) |
30 |
(1 |
0) = |
9 |
30 |
= |
21 |
0,48. |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
11 |
|
|
|
|
44 |
|
|||||||||
1 |
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 d (5x 11) |
|
|
|
dU |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 = |
2 |
= |
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|||||||||||||||||||||||||||
2 (11 |
5x) |
|
|
|
|
|
2 |
(11 |
5x) |
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
= 1 |
1 |
|
|
|
|
1 = |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= |
1 |
|
|
1 1 |
= 1 . |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
5 11 5x |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
11 5 |
|
11 10 |
|
5 |
6 |
|
|
6 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 (1 ex ) ex |
|
|
|
|
1 |
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. |
|
|
x = |
|
|
|
|
|
|
|
x |
dx = |
|
|
|
x |
dx |
= |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11 e |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
= 1 dx |
|
1 |
|
d (ex |
|
1) = |
|
|
|
dx = x, |
|
|
dU |
= lnU |
|
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 e |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
= x |
|
1 |
ln |1 ex |
| |
|
1 |
|
= 1 ( 1) ln |1 e | ln |1 e 1 | = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 e |
|
|
|
= 2 ln |
|
(1 e)e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= 2 ln |
|
|
|
|
|
|
= 2 ln e = 2 1 = 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 1/e |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
/4 |
sin x dx |
|
|
|
используем прием подведения |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
0 |
|
|
|
= под знак дифференциала |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x dx d(cos x) d(cos x 1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
/4 |
d(1 cos x) |
= ln |1 cos x ||0/4 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
ln |1 cos( /4) | ln |1 cos0 | = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
x dx |
|
|
1 |
1 |
|
|
d(x2 ) |
|
|
|
1 1 |
1 d(5x2 9) |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5x2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
5x |
|
9 |
|
|
2 |
0 |
|
|
5x |
|
|
9 |
|
2 5 |
0 |
5x |
|
|
9 |
10 |
|
14 3 |
|
|
0 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
5 12 9 |
|
|
|
5 02 9 1 |
14 9 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||