Тема II. : Определенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Глава I. Понятие определенного интеграла.
§ 1. Задачи, приводящие к определенному инт-лу.
Пусть в промежутке[ a;bзадана] |
y = f (x). |
|
непрерывная функция |
||
1. Разобьем |
[ a;b ] |
|
промежуток |
произвольно |
|
на n частей с |
xi (i = 1, 2, ..., n). |
|
длинами |
|
|
В каждом частичном промежутке выберем |
||
|
|
y = f (x) |
иi вычислим значения функции |
||
в каждой из этих точек. Получим значения |
||
f ( 1 ), |
f ( 2 ), f ( 3 ), ..., f ( n ). |
|
3. Эти значения f ( iумножим) на длины соответствующих частичных промежутков xi ,а полученные произведения
f ( i ) xсложимi . Получится сумма (1.1):
n
Sn f ( 1 ) x1 f ( 2 ) x2 ... f ( n ) xn = f ( i ) xi ,
i=1
оторая называется интегральной суммой функцииy = f (x). в данном промежутке.
Оп р е д е л е н и е. Определенным интегралом от функцииy = f (x)
винтервале [a;bназывается] конечный предел соответствующей
интегральной суммы при неограниченном увеличении числа |
|||||||
|
|
|
|
n и стремлении длин всех |
|||
разбиений промежутка на части |
|
и обозначается символом |
|||||
|
|
|
|
x 0 |
|||
частичных промежутков к нулю |
i |
|
|
||||
|
b |
|
|
n |
|
|
|
|
f (x) dx = |
f ( |
) x S (1.2). |
||||
|
Геометрический |
смыслlimn i=1 |
i |
|
i |
||
|
определенного |
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
Определённый интеграл от |
|
|
|
|
||
|
неотрицательной в промежутке |
|
|
||||
|
функции удобно трактовать как |
|
|
||||
|
площадь криволинейной |
|
|
|
|
||
|
трапеции, |
|
|
|
|
|
|
|
ограниченной сверху графиком |
|
|
||||
|
этой |
OX , |
x = b, |
|
|
||
слева и справа прямымиx = a, |
|
|
|||||
|
функции, снизу осью |
|
|
|
|
||
параллельными осиOY |
|
|
|
|
|||
|
§ 3. Оценки интегралов. |
|||
1. Определенный интеграл от алгебраической суммы |
||||
ункций |
|
|
|
|
равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых |
||||
|
b |
b |
b |
|
|
[ f (x) g(x)]dx = |
f (x) dx g(x)dx. |
||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
a |
|
2. Постоянный множитель выносится за знак определенного |
||||
интеграла |
b |
b |
|
|
|
k f (x) dx = k f (x) dx. |
|||
|
|
|
|
|
|
a |
a [a;b] |
разбит точкойc |
|
3. Если промежуток интегрирования |
|
|||
асти, то определенный интеграл можно представить в виде суммы егралов по отдельным частям промежутка
b |
c |
b |
f (x) dx = f (x) dx f (x) dx. |
||
a |
a |
c |
4. При перемене местами пределов интегрирования |
||
определенный |
b |
a |
интеграл меняет свой знак |
(x) dx = f (x) dx. |
|
|
f |
|
a |
b |
|
7. Если |
f (x) g(x) для всех |
x [a; b], то |
b |
b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
f (x) dx g(x) dx. |
|
|
|
|
|
a |
a |
|
5. Интеграл с равными пределами интегрирования равен |
||||
|
нулю |
a |
|
|
|
|
|
f (x) dx = 0. |
|
|
|
6. |
|
a |
b |
|
|
f (x) 0 для всехx [a; b], т |
f (x) dx 0. |
|
|||
Если |
о |
a |
|
|
|
. Теорема о среднем для определенного интеграла:Если функция |
||||||
y = f (x) |
|
|
|
[a, b] , то |
b |
|
непрерывна в промежутке |
f (x)dx = f (c)(b a), |
|||||
где (b a) - длина отрезка, а |
c (a, b). |
|||||
a |
||||||
Величина f (c) |
называется |
|
||||
средним значением функции в |
|
|||||
интервале и вычисляется по формуле |
|
|||||
|
|
1 |
|
b |
|
|
fcр.зн. = |
f (c) = |
|
f (x)dx. |
|
||
|
|
|
||||
b |
|
|
||||
|
|
a a |
|
|||
§4. Формула Ньютона –Лейбница.
4.1Интеграл с переменным верхним пределом.
4.2Формула Ньютона –Лейбница.
Те о р е м а. Величина определенного интеграла равна разности значений любой первообразной от подынтегральной функции, взятых при верхнем и нижнем пределах интегрирования
b f (x)dx = F(x) |ba = F(b) F(a).
a
F(x-) первообразная для функцииf (x)
Определенный интеграл есть конкретное число, которое с геометрической точки зрения удобно трактовать как площадь соответствующей криволинейной трапеции.
определенный интеграл есть семейство первообразных функций
этом состоит различие между неопределенным и определенным нтегралами.
Но неопределенный и определенный интегралы связывают общие свойства и методы вычисления.
§ 5. Замена переменной в определенном
интеграле.
Метод замены переменной в определенном интеграле основан на использовании формулы
b |
|
|
|
f (x) dx = f ( (t) (t) dt. |
|
a |
|
Отличие от метода подстановки в неопределенном интеграле |
|||
состоит в том, что нужно сменить пределы интегрирования, т.е. |
|||
в соответствии с произведенной заменой найти значения новой |
|||
переменной |
t |
t1 = |
и t2 = , |
|
|
|
x |
соответствующие значениям переменной |
|||
|
|
x1 = a |
и x2 = b. |
После выполнения интегрирования не нужно возвращаться |
|||
к старой переменной |
xа, вычисления проводить для переменнойt |
||
в интервале [ ; ].
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
= t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
t = x 4 |
|
|
|
|
|||||||||
|
1. |
|
|
= |
|
x 4 = t |
|
|
|
|
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x 4 |
|
|
|
|
4) |
|
x = 0 |
t = 4 |
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
0 2 |
|
|
|
|
x = (t |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = 2 t dt |
|
x2 = 5 t2 = |
|
3 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 4 |
||||||||||||||||||
3 |
2 t dt |
|
|
3 |
|
|
t dt |
|
|
|
3 |
( t 2 2) dt |
|
|
||||||||||||||
= |
t |
= 2 |
|
|
|
|
|
= 2 |
t 2 |
|
|
= |
||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
2 t |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2 |
3 |
|
(t 2) dt |
|
|
4 |
3 |
|
|
|
dt |
= 2 |
3dt 4 3 |
d (t 2) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
t 2 |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 t |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||
= 2t |32 4 ln | t 2 | |32 =
2 4(ln 5 ln 4) 2 4 ln(5 / 4)
2. |
dx |
= |
|
tg |
|
x |
= t |
|
dx = |
|
2dt |
sin t |
= |
|
2t |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 t |
|
|
|
1 t |
|
|||||
|
0 1 sin x |
|
|
x1 |
|
|
x2 = |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
= 0 t1 |
= 0, |
/2 t2 = 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
2dt
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2dt |
1 |
|
2dt |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
= 1 |
t |
|
|
= |
= |
|
= |
|
|
|10 |
= (1 2) = 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
0 |
1 |
|
2t |
0 |
1 |
t |
|
2t |
0 |
(1 |
t) |
|
|
1 |
t |
|
|
||||||
1 t2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
x = sin_ t |
t = arcsin_ x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx = cost dt |
x1 = 1/2 t1 = /6 |
|
|
|||||||
|
|
3/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
1/2 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
x2 = |
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
1 x2 = cost |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
3/2 t2 = /3 |
|||||||||||||
1 x2 |
||||||||||||||||
/3 cost dt |
|
/3 dt |
|
|
t |
|
|
/3 |
|||
|
|
|
|
||||||||
/6 |
|
= |
/6 |
|
= ln |
tg |
|
|
|
| /6 = |
|
sin t |
2 |
||||||||||
sin t cost |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
tg |
ln |
tg |
|
= ln 0,577 ln 0,268 0,77 |
||||
6 |
12 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||