Тема : Определенный интеграл - приложения

Приложения определенного

интеграла

Y

Вычисление площадей

y f2 (x)

b

y f1(x)

S ( f2 (x) f1(x))dx

a

a

b X

Y

( )

2 2 ( )d

2

S 1

2

1

1

X

Найти площадь петли кривой x = t

2

1,

y = t

3

t.

4.

Строим кривую по таблице значений.

t

x

y

t

x

y

t x

y

2

3

6

0

1

0

2 3

6

1

0

0

1

0

0

t2

При вычислении площади используемS = 2 y(t) xt dt.

имметрию области

t1

Изменению x от 1 до

0

1

t

0

до

соответствует изменение параметра от

1

3

2

1

3

0

4

2

1

1

8

S=2 (t

t) (t

t) 2t dt= 4 (t

t

) dt=

4

=

.

1) dt=2 (t

3

0

0

1

5

15

Найти объем тела вращения вокруг осиOX

фигуры, ограниченной линиямиy = 2

x,

y = 1,

x = 0.

Для нахождения объема воспользуемся

формулой

b

2(x) y

2(x)] dx.

V = [ y

ox

2

1

a

В нашем случае

y2 (x) = 1, y1(x) = 2

x

.

2

= 1,

x = 1/4.

x

Находим пределы интегрирования из условия

Тогда

1/4

1/4

2

2

2

1/4

x)

] dx = (1 4x) dx = (x

2x

=

.

Vox = [1 (2

) |0

8

0

0

y = x2 ,

y = x.

фигуры, ограниченной линиями

Для нахождения объема воспользуемся

формулой

d

2( y) x 2( y)] dy.

V = [x

oy

2

1

c

x

2( y) = y, x ( y) = y, x

2( y) = y2 ,

2

1

1

ределы интегрирования находим из равенстваx = x

x1 = 0, x2 = 1

2

y1 = c = 0, y2 = d = 1.

1

2

y

2

y

3

1

1

1

V = ( y y

| =

=

.

) dy =

oy

2

3

0

2 3

6

0