Тема1: Неопределенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Глава I. Понятие и свойства неопределенного интеграла.
§1. Первообразная и неопределенный л.
§2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕРАЛОВ.
§3. Таблица основных интегралов.
Глава II. Общие методы интегрирования:
§1 Непосредственное интегрирование.
§2 Интегрирование подведением под знак дифференциала.
§3 Метод подстановки (замены переменной).
§4 Интегрирование по частям.
§5. Рекуррентные формулы.
§6. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби
Глава III. Методы и приемы интегрирования некоторых классов функций.
Основные классы интегрируемых функций
интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби,
интегралы от рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций, интегралы от тригонометрических функций.
§1. Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов
циональная дробь есть отношение двух многочленов целой степен
|
P (x) |
|
a xn a |
n 1 |
xn 1 a |
x2 a x a |
||
R(x) = |
n |
= |
n |
2 |
1 |
0 |
. |
|
Qm (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
bm xm bm 1xm 1 b2 x2 b1x b0 |
||||||
Если n < m, то дробь называется правильной. Если n m, то дробь называется неправильной.
Прежде, чем интегрировать неправильные дроби, следует обязательно выделить целую часть дроби путем деления многочленаPn (x) на многочлен Qm (x).
Схема интегрирования правильной рациональной дроби.
1. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители, которых существует четыре типа:
I (x a); II (x a)k ; III (x2 px q); IV (x2 px q)k ,
Частным случаем квадратичных множителей могут быть множители вида (x2 a2 ) или (x2 a2 )k .
При разложении используются формулы сокращенного умножения
x2 a2 = (x a)(x a), |
x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ), |
x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ), |
x4 a4 = (x a)(x a)(x2 a2 ). |
2. Рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей, причем, как известно из алгебры, каждому из четырех простейших сомножителей в разложении знаменателя соответствует определенный
набор простейших дробей с неопределенными коэффициентами
3.Находим неопределенные коэффициенты.
4.Проводим интегрирование каждого слагаемого.
§2. Интегрирование тригонометрических функций. 1.Универсальная тригонометрическая подстановка
|
x |
|
x = 2arctg t, |
dx = |
2 |
dt; |
|
1 |
t2 |
|
|
2t |
||
tg |
|
= t |
|
cos x = |
|
|
, |
sin x = |
|
. |
||||
|
|
1 t2 |
|
|
||||||||||
2 |
|
1 |
t2 |
1 t2 |
||||||||||
С помощью универсальной подстановки находятся интегралы вида
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
, |
|
|
dx |
, |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
sin x dx |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
asin x bcos x c |
|
|
|
cos x |
|
|
|
2cos x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
(3sin x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
tg |
x |
= t, dx = |
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
1. |
|
= |
|
|
2 |
|
|
2t |
|
|
1 t |
2 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
= |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2t |
|
|
2 |
|
8t 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 4sin x |
|
|
sin x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
tg(x/2) |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||
= |
|
|
= |
|
|
|
|
= |
|
|
ln |
|
3 |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
3 |
|
|
c |
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4t |
1 |
2) |
3 |
2 3 |
t |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
tg(x/2) |
2 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
t |
|
(t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2.Тангенциальная подстановка
|
tg x = t, |
|
|
|
|
|
x = arctg t, |
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
dt |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
cos2 x = |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
, |
|
sin2 x = 1 |
cos2 x = 1 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 tg2 x |
1 t2 |
|
|
1 t2 |
1 |
t2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Такая подстановка характерна для таких интегралов |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
, |
|
|
|
tgk x dx. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
5sin |
x |
|
|
|
|
x bcos |
x c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
asin |
|
|
|
|
|
a btg x c tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
tg x = t, |
|
|
|
dx = |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2dt |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
1 t2 |
|
= |
1 t2 |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 cos |
x |
|
|
|
cos2 x = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3t |
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
= 1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
arctg t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
= |
|
3 |
3 |
= |
|
|
|
|
3 |
|
3tg x |
c |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4/3 |
3 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
3 x dx, |
|
5 x dx , |
|
|
4 x |
|
|
3 x dx, |
|
|
sin3 x dx, |
cos3 x |
||||||||
sin |
cos |
sin |
|
cos x |
||||||||||||||||
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin4 x dx, |
||||||
характерной особенностью которых является наличие в числителе |
||||||||||||||||||||
sin x или cos xв |
н е ч е т н о й степени используется прием |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
подведения под знак дифференциала: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
cos x dx = d(sin x) |
|
|
sin x dx = d(cos x), |
|||||||||||||
3. |
sin3 x dx = sin2 x(sin x dx) = sin2 x d(cos x) = |
|||||||||||||||||||
= (1 |
|
2 x) d(cos x) = |
(d(cos x) |
cos |
2 x d(cos x)) = |
|||||||||||||||
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
= |
|
d(cos x) |
|
|
2 |
x d(cos x) = cos x |
|
cos3 x |
C. |
|
||||||||||
|
cos |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. Интегрирование тригонометрических функций
В интегралах вида cos2 x dx, sin4 2x dx. |
|
cos2 x sin6 x dx, |
||||||||||
только с четными степенямиsin x, cos x |
|
|
|
|||||||||
применяются |
|
|
формулы |
понижения |
|
|
|
|||||
степени |
|
|
|
1 |
cos 2x |
|
|
|
1 cos 2x . |
|
||
sin2 x = |
, |
cos2 x = |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
x |
|
1 |
cos x |
|
1 |
|
cos x |
|
||
1. sin |
|
|
dx = |
2 |
dx = |
|
dx |
|
2 |
dx |
||
|
||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
= |
1 |
dx 1 |
cos x dx = |
1 x |
1 sin x C. |
|
||||||
|
2 |
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||