следующих примерах для того, чтобы избавиться т иррациональности применяются тригонометрические подстановк ри этом используются формулы тригонометрии
|
|
sin 2 |
x cos2 |
x 1 |
и |
1 tg 2 x |
|
1 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
cos |
2 |
x |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4. |
|
|
x |
2 |
dx |
|
= |
|
x = 2sin t, |
t = arcsin |
x |
|
= |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 x2 |
|
|
dx = 2 cost dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
4sin |
2 t 2 cost dt = 4 |
sin2 t cost dt = |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 4sin2 t |
|
|
cost |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
|
2 t dt = 2 |
|
|
(1 cos 2t) dt = 2t sin 2t = |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(возвращаемся к переменнойx )
=| t = arcsin 2x |= 2 arcsin 2x sin(2 arcsin 2x) c.
Интегрирование иррациональных выражений
Вычислить |
|
|
x 1 |
|
|
|
||
2 3 |
|
|
|
|
||||
x 1 dx |
||||||||
|
||||||||
Подынтегральная функция простейшая иррациональность,
замена |
|
|
|
|
x 1 t6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 t6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 3 |
|
|
|
dx |
x t6 1 |
dx 6t5dt |
|
||||||||||||||
x 1 |
|||||||||||||||||||||
|
t3 |
|
|
|
|
|
|
t8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 t2 |
6t5dt 6 t2 2 |
dt |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
6 (t6 2t4 |
4t2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
8 |
|
|
|
|
|
)dt |
|
|
|
|
|
||||||||||
t2 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
6 t7 |
12 t5 |
8t3 |
48t |
96 |
|
arctg |
|
t |
|
C, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
||||||||||||||||||||
7 |
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t8 |
|
t2 2 |
|
||
t8 2t6 |
|
t6 2t4 4t2 8 |
|
2t6
2t6 4t4
4t4
|
|
4t4 8t2 |
|
|
|||
|
|
|
|
8t2 |
|
|
|
t 6 |
|
|
|
8t2 |
16 |
||
x 1 |
|
|
|
|
|||
|
16 |
||||||
Интегрирование иррациональных выражений
R( x)
a2 x2 dx
R( x)
a2 x2 dx
R( x)
x2 a2 dx
x asin t dx a costdt
a2 x2 a
1 sin2 t a cost
x a tg t |
|
dx |
a dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
cos2 t |
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
a2 x2 a 1 tg |
2 t |
|
||||||||||||||||
|
|
cos t |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
a |
|
dx asin t dt |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
cos t |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 a2 |
|
a |
|
|
1 a tg t |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрирование иррациональных выражений
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2sin t |
dx 2 cos tdt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1) 4 x2 dx |
4 cos2 tdt |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
4 |
4sin2 t 2 cos t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
2 (1 cos 2t)dt 2(t |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|||||||||||||||
2 sin 2t) c 2 arcsin |
|
|
sin(2 arcsin |
|
) C |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x 2 tg t dx |
2dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 tg2 t cos3 t 2dt |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
8cos2 t |
|
|
|
|||||||||
(4 x2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
2 1 |
tg |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
sin 2 t |
dt 1 cos2 t dt dt |
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
cos t |
|
|
|
|
cos t |
|
|
|
cos t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t arctg(x / 2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ln |
tg |
|
|
|
|
sin t C, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Не берущиеся интегралы
К не берущимся интегралам относятся такие, результат решения которых, т.е. первообразная, не может быть записана с помощью основных элементарных функций. Приведем примеры таких интегралов
e x2 dx |
lndxx |
sinx x |
dx |
cosx x |
dx |
||
cos x2dx |
sin x2 dx |
arctg 2 x dx |
|||||
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x3 |
|
|
|
|
|
||