§2. Интегрирование тригонометрических функций. 1.Универсальная тригонометрическая подстановка

x

x = 2arctg t,

dx =

2

dt;

1

t2

2t

tg

= t

cos x =

,

sin x =

.

1 t2

2

1

t2

1 t2

dx

,

dx

,

dx

,

sin x dx

2

.

asin x bcos x c

cos x

2cos x 5

(3sin x 2)

dx

tg

x

= t, dx =

2dt

2dt

2dt

1 t

2

1.

=

2

2t

1 t

2

=

=

=

2t

2

8t 2

2 4sin x

sin x =

2 4

2t

1 t2

1 t2

dt

dt

1

t

2

1

tg(x/2)

2

=

=

=

ln

3

=

ln

3

c

2

2

4t

1

2)

3

2 3

t

2

3

2

3

tg(x/2)

2

3

t

(t

dx

tg

x

= t

cos x =

1

t2

2.

=

2

1 t

2

=

2dt

5sin x

2cos x

3

dx =

sin x =

2t

1 t2

1 t2

2 dt

2dt

dt

=

1 t2

2

=

== 2

=

2t

1

t

t

2

) 10t

2(1

t

2

)

2

10t 5

3 5

2

3(1

t

1 t2

1 t2

2

dt

= 2

1

ln |

(t

5)

20

|=

5)

2

20

2

20

(t

5)

20

(t

x

1

tg

5

20

=

ln |

2

| C.

2

x

5

tg

5

20

2

tg x = t,

x = arctg t,

dx =

dt

,

1 t2

t2

1

1

1

cos2 x =

=

,

sin2 x = 1

cos2 x = 1

=

.

1 tg2 x

1 t2

1 t2

1

t2

Такая подстановка характерна для таких интегралов

dx

,

dx

,

dx

,

tgk x dx.

2

2

2

2

5sin

x

x bcos

x c

x

3

asin

a btg x c tg

dx

tg x = t,

dx =

dt

dt

2dt

3.

=

1 t2

=

1 t2

=

=

2

1

3 cos

x

cos2 x =

3

1

3t

4

1 t2

1 t2

= 1

dt

1

arctg t

arctg

2

=

3

3

=

3

3tg x

c

4/3

3

2

2

2

3

t

6

4. dx4

tg x = t

cos2 x =

1

=

1 t2

=

x

dt

cos

dx =

1 t2

dt

= (1 t2 ) dt = t t3

tg3x

= tg x

=

1 t2

C.

(

1

)2

3

3

1 t2

3 x dx,

5 x dx ,

4 x

3 x dx,

sin3 x dx,

cos3 x

sin

cos

sin

cos x

cos

sin4 x dx,

характерной особенностью которых является наличие в числителе

sin x или cos xв

н е ч е т н о й степени используется прием

подведения под знак дифференциала:

cos x dx = d(sin x)

sin x dx = d(cos x),

3.

sin3 x dx = sin2 x(sin x dx) = sin2 x d(cos x) =

= (1

2 x) d(cos x) =

(d(cos x)

cos

2 x d(cos x)) =

cos

=

d(cos x)

2

x d(cos x) = cos x

cos3 x

C.

cos

3

В интегралах вида cos2 x dx, sin4 2x dx.

cos2 x sin6 x dx,

только с четными степенямиsin x, cos x

применяются

формулы

понижения

степени

1

cos 2x

1 cos 2x .

sin2 x =

,

cos2 x =

2

2

2

x

1

cos x

1

cos x

1. sin

dx =

2

dx =

dx

2

dx

2

2

=

1

dx 1

cos x dx =

1 x

1 sin x C.

2

2

2

2

5.

dx

=

sin2 x cos2 x

dx

=

2

xcos x

sin

2

xcos x

sin

=

sin2 x

dx

cos2 x

dx =

dx

cos x

dx =

2

xcos x

2

xcos x

2

x

sin

sin

cos x

sin

dx

d(sin x)

x

1

=

= ln

tg

C.

cos x

sin2 x

2

sin x

4

2.

x2

dx =

x 7

1) Применим подстановку

= t

x 7

2) Найдем

x 7 = t

2

, x = t

2

7,

dx = (t

2

7) dt = 2t dt

3) Подставим в исходный интеграл и проинтегрируем

=

(t2 7)2

t 2t dt = 2 t2 (t2

7)2 dt = 2 t2

(t4

14t2 49) dt =

= 2 (t6

7

14 t

5

49 t

3

14t4 49t2 ) dt = 2 t

.

7

5

3

x2

dx = 2

28

98

C.

(x 7)7

(x 7)5

(x 7)3

x 7

7

5

3