Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Математика / Неопределенный интеграл-23-3л.ppt
Скачиваний:
3
Добавлен:
27.11.2024
Размер:
646.66 Кб
Скачать

Тема1: Неопределенный интеграл

Преподаватель:

Филипенко Николай Максимович

Доцент ОМИ ШБИП

Глава I. Понятие и свойства неопределенного интеграла.

§1. Первообразная и неопределенный л.

§2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕРАЛОВ.

§3. Таблица основных интегралов.

Глава II. Общие методы интегрирования:

§1 Непосредственное интегрирование.

§2 Интегрирование подведением под знак дифференциала.

§3 Метод подстановки (замены переменной).

§4 Интегрирование по частям.

§5. Рекуррентные формулы.

§6. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби

Глава III. Методы и приемы интегрирования некоторых классов функций.

Основные классы интегрируемых функций

интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби,

интегралы от рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций, интегралы от тригонометрических функций.

§1. Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов

циональная дробь есть отношение двух многочленов целой степен

 

P (x)

 

a xn a

n 1

xn 1 a

x2 a x a

R(x) =

n

=

n

2

1

0

.

Qm (x)

 

 

 

 

 

 

 

bm xm bm 1xm 1 b2 x2 b1x b0

Если n < m, то дробь называется правильной. Если n m, то дробь называется неправильной.

Прежде, чем интегрировать неправильные дроби, следует обязательно выделить целую часть дроби путем деления многочленаPn (x) на многочлен Qm (x).

 

 

1)Если дробь неправильная следует представить ее

 

 

 

 

в виде суммы многочлена и правильной дроби

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить

 

x4 2

dx

 

 

 

x4

2

 

 

 

x3 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 1

 

 

 

 

x4

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x4

2

 

 

x 2

 

x 2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

1

x3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2)Разложить знаменатель дроби на простые множители

I : (x a)k

II: (x2 px q)m

 

x 2

 

x 2

x3 1

(x 1)(x2 x 1)

 

 

Схема интегрирования правильной рациональной дроби.

1. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители, которых существует четыре типа:

I (x a); II (x a)k ; III (x2 px q); IV (x2 px q)k ,

Частным случаем квадратичных множителей могут быть множители вида (x2 a2 ) или (x2 a2 )k .

При разложении используются формулы сокращенного умножения

x2 a2 = (x a)(x a),

x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ),

x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ),

x4 a4 = (x a)(x a)(x2 a2 ).

2. Рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей, причем, как известно из алгебры, каждому из четырех простейших сомножителей в разложении знаменателя соответствует определенный

набор простейших дробей с неопределенными коэффициентами

3.Находим неопределенные коэффициенты.

4.Проводим интегрирование каждого слагаемого.

Примеры разложения дробей на сумму простейших дробей

3x 4

 

x (x 5)(x 7)

A

 

B

 

C

x

x 5

x 7

 

 

1

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

B

 

 

 

C

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

x 3

(x 2)3

(x 2)2

x 2

(x 3)(x 2)3

 

 

 

x2 3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ax B

 

Cx D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 3x 5

 

 

x2 4

 

(x2 3x 5)(x2

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

2x 3

 

 

 

 

 

 

 

A

 

B

C

 

 

Dx E

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

x2 3

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

x 2

 

 

 

x2 (x 2)(x2 3)

 

 

 

 

3x

 

 

 

A

 

 

 

 

Bx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3 8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

x2 2x 4

 

 

 

 

 

В этих примерахA, B, C, Dнеопределенные коэффициенты

Рассмотрим примеры.

1.

 

x

dx

 

 

(x 5)(x 2)

 

зложим подынтегральную функцию на простые слагаемые

x

 

A

 

 

B

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

(x 5) (x 2)

 

5

x

2

x

 

 

Приводим к общему знаменателю

x

=

A(x 2) B(x 5)

(x 2) (x 5)

(x 2)(x 5)

 

оби равны, одинаковые знаменатели можно отбросить и приравнять числи

 

 

 

x = A(x 2) B(x 5)

 

 

 

 

ля нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение

одставляем те значения

 

x, при которых знаменатель обращается в нол

x 2 :

2 B( 7)

 

 

B 2 / 7

 

 

 

 

 

 

 

 

x 5 :

5 A (7)

 

 

A 5 / 7

 

 

 

 

 

 

 

 

Полученные значения подставляем в разложение дроби

 

x

=

5/ 7

 

2 / 7

 

 

5 1

 

2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 5) (x 2)

 

x 2

7 (x 5)

7 (x 2)

 

 

x 5

 

 

 

 

перь исходный интеграл распишется на сумму двух интегралов

 

x

dx =

5

 

dx

 

2

 

dx

=

5

ln | x 5 |

2

ln | x 2 | c

(x 5)(x 2)

7

 

7

 

7

7

 

x 5

 

x 2

 

 

 

2.

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

(x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

B

 

 

C

азложим подынтегральную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4) 2 (x

2)

(x 4) 2

x 4

x 2

ункцию на простые слагаемые

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приводим к общему

 

 

1

 

 

 

=

 

 

A(x

2) B(x 4)(x

2) C(x 4)2

знаменателю

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4) 2 (x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 4) 2 (x 2)

 

 

 

 

 

 

 

 

Приравниваем числители 1 = A(x

2) B(x 4)(x 2) C(x 4) 2

я нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение

дставляем те значения

 

x, при которых знаменатель обращается в ноль

x 4 :

1 A( 6)

 

 

A 1/ 6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2 :

1 C(36)

 

 

C 1/ 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нахождения третьего коэффициента можно взять любое значениеx

x 0 :

1 2A 8B 16C

 

 

1 1/ 3 8B 16 / 36

B 1/ 36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

=

1

 

 

dx

 

1

 

 

dx

 

1

 

dx

=

Теперь исходный интеграл

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x

4)2 (x

2)

 

 

 

6 (x 4)2

 

36 x 4

 

 

36 x 2

распишется на сумму трех

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

интегралов

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

1

 

ln | x 4 |

1

 

ln | x 2 | C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

6

 

(x 4)

 

 

 

 

 

36

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x

 

 

 

1

 

 

A

Bx C

Разложим подынтегральную

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x2

4) x 3

x2 4

функцию на простые слагаемые

 

Приравниваем числители

1 A(x2

4) Bx(x 3) C(x 3)

подставляем

A 1/13

x 3 :

1 A(13)

x 0 :

1 4 A 3C

C 3/13

Приравниваем коэффициенты при высшей степени x в левой и правой частях равенства

x2 : 0 A B

B 1/13

Полученные значения подставляем в разложение дроби

 

1

=

 

1

 

 

x /13 3/13

=

1

 

 

 

x

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x2 4)

13(x 3)

 

x2 4

13(x 3)

13(x2 4)

13(x2 4)

 

 

 

 

 

 

 

Теперь исходный интеграл

 

 

 

 

dx

 

 

 

=

 

 

 

распишется на сумму трех

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x 3)(x2

4)

 

 

 

интегралов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

d(x 3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

 

x 3

 

 

 

 

 

x dx

 

 

 

 

dx

 

 

 

1

 

 

 

1

2

 

3

 

x

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

ln | x 3 |

 

ln | x

4 |

 

arctg

 

C

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

4

 

 

13

 

2

 

 

2

 

2

 

 

 

x

 

 

x