
- •Тема1: Неопределенный интеграл
- •Глава I. Понятие и свойства неопределенного интеграла.
- •Глава III. Методы и приемы интегрирования некоторых классов функций.
- •§1. Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов
- •Схема интегрирования правильной рациональной дроби.
- •Примеры разложения дробей на сумму простейших дробей
- •Рассмотрим примеры.
- •§2. Интегрирование тригонометрических функций. 1.Универсальная тригонометрическая подстановка
- •2.Тангенциальная подстановка
- •4. Интегрирование тригонометрических функций
- •5. При решении интегралов применяются некоторые искусственные приемы, например
- •Интегрирование тригонометрических выражений
- •§3. Интегрирование иррациональных функций.
- •следующих примерах для того, чтобы избавиться т иррациональности применяются тригонометрические подстановк ри этом
- •Интегрирование иррациональных выражений
- •Интегрирование иррациональных выражений
- •Интегрирование иррациональных выражений
- •Не берущиеся интегралы

Тема1: Неопределенный интеграл |
Преподаватель:
Филипенко Николай Максимович
Доцент ОМИ ШБИП
Глава I. Понятие и свойства неопределенного интеграла.
§1. Первообразная и неопределенный л.
§2. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕРАЛОВ.
§3. Таблица основных интегралов.
Глава II. Общие методы интегрирования:
§1 Непосредственное интегрирование.
§2 Интегрирование подведением под знак дифференциала.
§3 Метод подстановки (замены переменной).
§4 Интегрирование по частям.
§5. Рекуррентные формулы.
§6. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби
Глава III. Методы и приемы интегрирования некоторых классов функций.
Основные классы интегрируемых функций
интегралы, содержащие квадратный трехчлен в знаменателе дроби,
интегралы от рациональных дробей, интегралы от иррациональных функций, интегралы от тригонометрических функций.
§1. Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов
циональная дробь есть отношение двух многочленов целой степен
|
P (x) |
|
a xn a |
n 1 |
xn 1 a |
x2 a x a |
||
R(x) = |
n |
= |
n |
2 |
1 |
0 |
. |
|
Qm (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
bm xm bm 1xm 1 b2 x2 b1x b0 |
Если n < m, то дробь называется правильной. Если n m, то дробь называется неправильной.
Прежде, чем интегрировать неправильные дроби, следует обязательно выделить целую часть дроби путем деления многочленаPn (x) на многочлен Qm (x).
|
|
1)Если дробь неправильная следует представить ее |
|
|
|||||||||||||||
|
|
в виде суммы многочлена и правильной дроби |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Вычислить |
|
x4 2 |
dx |
|
|
|
x4 |
2 |
|
|
|
x3 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
x4 |
x |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x4 |
2 |
|
|
x 2 |
|
x 2 |
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x3 |
1 |
x3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2)Разложить знаменатель дроби на простые множители
I : (x a)k
II: (x2 px q)m
|
x 2 |
|
x 2 |
|
x3 1 |
(x 1)(x2 x 1) |
|||
|
|
Схема интегрирования правильной рациональной дроби.
1. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители, которых существует четыре типа:
I (x a); II (x a)k ; III (x2 px q); IV (x2 px q)k ,
Частным случаем квадратичных множителей могут быть множители вида (x2 a2 ) или (x2 a2 )k .
При разложении используются формулы сокращенного умножения
x2 a2 = (x a)(x a), |
x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ), |
x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ), |
x4 a4 = (x a)(x a)(x2 a2 ). |
2. Рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей, причем, как известно из алгебры, каждому из четырех простейших сомножителей в разложении знаменателя соответствует определенный
набор простейших дробей с неопределенными коэффициентами
3.Находим неопределенные коэффициенты.
4.Проводим интегрирование каждого слагаемого.

Примеры разложения дробей на сумму простейших дробей
3x 4 |
|
x (x 5)(x 7) |
A |
|
B |
|
C |
|
x |
x 5 |
x 7 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
D |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
(x 2)3 |
(x 2)2 |
x 2 |
|||||||||||||||||
(x 3)(x 2)3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax B |
|
Cx D |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 5 |
|
|
x2 4 |
||||||||||
|
(x2 3x 5)(x2 |
4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
C |
|
|
Dx E |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 (x 2)(x2 3) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
A |
|
|
|
|
Bx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
x2 2x 4 |
|
|
|
|
|
В этих примерахA, B, C, Dнеопределенные коэффициенты

Рассмотрим примеры. |
|||
1. |
|
x |
dx |
|
|||
|
(x 5)(x 2) |
|
зложим подынтегральную функцию на простые слагаемые
x |
|
A |
|
|
B |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(x 5) (x 2) |
|
5 |
x |
2 |
|||
x |
|
|
Приводим к общему знаменателю
x |
= |
A(x 2) B(x 5) |
|
(x 2) (x 5) |
(x 2)(x 5) |
||
|
оби равны, одинаковые знаменатели можно отбросить и приравнять числи
|
|
|
x = A(x 2) B(x 5) |
|
|
|
|
|||||||
ля нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение |
||||||||||||||
одставляем те значения |
|
x, при которых знаменатель обращается в нол |
||||||||||||
x 2 : |
2 B( 7) |
|
|
B 2 / 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 5 : |
5 A (7) |
|
|
A 5 / 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученные значения подставляем в разложение дроби |
||||||||||||||
|
x |
= |
5/ 7 |
|
2 / 7 |
|
|
5 1 |
|
2 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x 5) (x 2) |
|
x 2 |
7 (x 5) |
7 (x 2) |
|||||||||
|
|
x 5 |
|
|
|
|
перь исходный интеграл распишется на сумму двух интегралов
|
x |
dx = |
5 |
|
dx |
|
2 |
|
dx |
= |
5 |
ln | x 5 | |
2 |
ln | x 2 | c |
(x 5)(x 2) |
7 |
|
7 |
|
7 |
7 |
||||||||
|
x 5 |
|
x 2 |
|
|
|

2. |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|||||||||||
азложим подынтегральную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(x 4) 2 (x |
2) |
(x 4) 2 |
x 4 |
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ункцию на простые слагаемые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Приводим к общему |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
A(x |
2) B(x 4)(x |
2) C(x 4)2 |
||||||||||||||||||||||||||||
знаменателю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(x 4) 2 (x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4) 2 (x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Приравниваем числители 1 = A(x |
2) B(x 4)(x 2) C(x 4) 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
я нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дставляем те значения |
|
x, при которых знаменатель обращается в ноль |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 4 : |
1 A( 6) |
|
|
A 1/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 : |
1 C(36) |
|
|
C 1/ 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нахождения третьего коэффициента можно взять любое значениеx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 : |
1 2A 8B 16C |
|
|
1 1/ 3 8B 16 / 36 |
B 1/ 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
dx |
|
1 |
|
|
dx |
|
1 |
|
dx |
= |
|||||||||
Теперь исходный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x |
4)2 (x |
2) |
|
|
|
6 (x 4)2 |
|
36 x 4 |
|
|
36 x 2 |
|||||||||||||||||||||||
распишется на сумму трех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интегралов |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
ln | x 4 | |
1 |
|
ln | x 2 | C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
(x 4) |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

3. |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
(x 3)(x |
|
|
|
1 |
|
|
A |
Bx C |
|||
Разложим подынтегральную |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x 3)(x2 |
4) x 3 |
x2 4 |
|||||||||
функцию на простые слагаемые |
|
|||||||||||
Приравниваем числители |
1 A(x2 |
4) Bx(x 3) C(x 3) |
подставляем |
A 1/13 |
|
x 3 : |
1 A(13) |
|
x 0 : |
1 4 A 3C |
C 3/13 |
Приравниваем коэффициенты при высшей степени x в левой и правой частях равенства
x2 : 0 A B |
B 1/13 |
Полученные значения подставляем в разложение дроби
|
1 |
= |
|
1 |
|
|
x /13 3/13 |
= |
1 |
|
|
|
x |
|
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(x 3)(x2 4) |
13(x 3) |
|
x2 4 |
13(x 3) |
13(x2 4) |
13(x2 4) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Теперь исходный интеграл |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= |
|
|
|
||||||
распишется на сумму трех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
(x 3)(x2 |
4) |
|
|
|
||||||||||||||
интегралов |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
d(x 3) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
13 |
|
x 3 |
|||
|
|
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
x |
|||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
ln | x 3 | |
|
ln | x |
4 | |
|
arctg |
|
C |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
4 |
|
|
4 |
|
|
13 |
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
