Глава III. Методы и приемы интегрирования некоторых классов функций.
Интегрирование рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов
циональная дробь есть отношение двух многочленов целой степен
|
P (x) |
|
a xn a |
n 1 |
xn 1 a |
x2 a x a |
||
R(x) = |
n |
= |
n |
2 |
1 |
0 |
. |
|
Qm (x) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
bm xm bm 1xm 1 b2 x2 b1x b0 |
||||||
Если n < m, то дробь называется правильной. Если n m, то дробь называется неправильной.
Прежде, чем интегрировать неправильные дроби, следует обязательно выделить целую часть дроби путем деления многочленаPn (x) на многочлен Qm (x).
3x 5 = 1 6x 10 = 1 3(2x 1 1) 10 = 1 3(2x 1) 3 10 = 2x 1 2 2x 1 2 2x 1 2 2x 1
1 |
3(2x 1) 13 |
= |
3 |
|
13 |
. |
|
2 |
|
2x 1 |
2 |
|
|
||
2(2x 1) |
|||||||
3 |
-- целая часть, |
13 |
-- правильная дробь |
2 |
2(2x 1) |
1. x 5 x 1
dx = |
(x 1) 1 5 dx = |
|
|
x 1 |
|
|
6 |
|
dx = |
|||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
x 1 |
|||
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||
|
|
= 1 dx 6 |
|
|
= x 6ln | x 1| c. |
|||||||
|
|
x 1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(x2 |
|
3) 3 2 |
|
|
|
|
|
x2 |
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
|||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
3 x |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= |
|
1 dx |
|
|
|
|
dx |
|
= x |
1 |
|
|
arctg |
x |
|
|
c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислить |
|
x3 1 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 2 |
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 2 |
x |
|
x 2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
x3 1 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интегрирование рациональных
дробей
) Если дробь неправильная следует представить ее виде суммы многочлена и правильной дроби
2)Разложить знаменатель дроби на простые множители
I : (x a)k
II: (x2 px q)m
|
x 2 |
|
x 2 |
|
x3 1 |
(x 1)(x2 x 1) |
|||
|
|
Схема интегрирования правильной рациональной дроби.
1. Знаменатель дроби раскладываем на простые множители, которых существует четыре типа:
I (x a); II (x a)k ; III (x2 px q); IV (x2 px q)k ,
Частным случаем квадратичных множителей могут быть множители вида (x2 a2 ) или (x2 a2 )k .
При разложении используются формулы сокращенного умножения
x2 a2 = (x a)(x a), |
x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ), |
x3 a3 = (x a)(x2 ax a2 ), |
x4 a4 = (x a)(x a)(x2 a2 ). |
2. Рациональную дробь представляем в виде суммы простейших дробей, причем, как известно из алгебры, каждому из четырех простейших сомножителей в разложении знаменателя соответствует определенный
набор простейших дробей с неопределенными коэффициентами
3.Находим неопределенные коэффициенты.
4.Проводим интегрирование каждого слагаемого.
Примеры разложения дробей на сумму простейших дробей
3x 4 |
|
x (x 5)(x 7) |
A |
|
B |
|
C |
|
x |
x 5 |
x 7 |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
B |
|
|
|
C |
|
|
D |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
(x 2)3 |
(x 2)2 |
x 2 |
|||||||||||||||||
(x 3)(x 2)3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax B |
|
Cx D |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 3x 5 |
|
|
x2 4 |
||||||||||
|
(x2 3x 5)(x2 |
4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
B |
C |
|
|
Dx E |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x2 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
x2 (x 2)(x2 3) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
A |
|
|
|
|
Bx C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
x3 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
x2 2x 4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
В этих примерахA, B, C, Dнеопределенные коэффициенты
Рассмотрим примеры. |
|||
1. |
|
x |
dx |
|
|||
|
(x 5)(x 2) |
|
|
зложим подынтегральную функцию на простые слагаемые
x |
|
A |
|
|
B |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
(x 5) (x 2) |
|
5 |
x |
2 |
|||
x |
|
|
|||||
Приводим к общему знаменателю
x |
= |
A(x 2) B(x 5) |
|
(x 2) (x 5) |
(x 2)(x 5) |
||
|
оби равны, одинаковые знаменатели можно отбросить и приравнять числи
|
|
|
x = A(x 2) B(x 5) |
|
|
|
|
|||||||
ля нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение |
||||||||||||||
одставляем те значения |
|
x, при которых знаменатель обращается в нол |
||||||||||||
x 2 : |
2 B( 7) |
|
|
B 2 / 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 5 : |
5 A (7) |
|
|
A 5 / 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Полученные значения подставляем в разложение дроби |
||||||||||||||
|
x |
= |
5/ 7 |
|
2 / 7 |
|
|
5 1 |
|
2 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
(x 5) (x 2) |
|
x 2 |
7 (x 5) |
7 (x 2) |
|||||||||
|
|
x 5 |
|
|
|
|
||||||||
перь исходный интеграл распишется на сумму двух интегралов
|
x |
dx = |
5 |
|
dx |
|
2 |
|
dx |
= |
5 |
ln | x 5 | |
2 |
ln | x 2 | c |
(x 5)(x 2) |
7 |
|
7 |
|
7 |
7 |
||||||||
|
x 5 |
|
x 2 |
|
|
|
||||||||
2. |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|||||||||||
азложим подынтегральную |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
(x 4)2 (x |
2) |
(x 4)2 |
x 4 |
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
ункцию на простые слагаемые |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Приводим к общему |
|
|
1 |
|
|
|
= |
|
|
A(x |
2) B(x 4)(x |
2) C(x 4)2 |
||||||||||||||||||||||||||||
знаменателю |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
(x 4) 2 (x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 4) 2 (x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Приравниваем числители 1 = A(x |
2) B(x 4)(x 2) C(x 4)2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
я нахождения неопределенных коэффициентов в это выражение |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дставляем те значения |
|
x, при которых знаменатель обращается в ноль |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 4 : |
1 A( 6) |
|
|
A 1/ 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 : |
1 C(36) |
|
|
C 1/ 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
нахождения третьего коэффициента можно взять любое значениеx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 : |
1 2A 8B 16C |
|
|
1 1/ 3 8B 16 / 36 |
B 1/ 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
dx |
|
1 |
|
|
dx |
|
1 |
|
dx |
= |
|||||||||
Теперь исходный интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(x |
4)2 (x |
2) |
|
|
|
6 (x 4)2 |
|
36 x 4 |
|
|
36 x 2 |
|||||||||||||||||||||||
распишется на сумму трех |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
интегралов |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
ln | x 4 | |
1 |
|
ln | x 2 | C |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
(x 4) |
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||